Автореферат (1149753), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Диссертация является самостоятельной законченной научно-исследовательской работой. Все основные результаты получены соискателем лично, либо при его прямом участии в неразделимомсоавторстве.Структура и объем работы. Диссертация состоит из Введения, 4глав, Заключения и 1 приложения. Полный объем диссертации составляет 107страниц. Диссертация содержит 5 рисунков, 4 таблицы и список литературыиз 36 наименований.Содержание работыВо Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, описаныметодология и методы исследования, степень разработанности темы исследования, а также показана практическая значимость полученных результатови представлены выносимые на защиту научные положения.Первая часть главы 1 посвящена постановке задачи исследования явления критического замедления в рамках А-модели.7Модель А описывает критическую динамику в системе с несохраняющимся параметром порядка (r, t).
Время релаксации tc (k) фурье-компоненты(k, t) в этом случае остается конечным при k = 0. “Критическое замедление” заключается в том, что это время степенным образом возрастает приприближении температуры к критической: tc |k=0 ⇠ rcz ⇠ (TTc ) ⌫ z , гдеz > 0 – динамический критический индекс, ⌫ > 0 – критический индекс,характеризующий рост радиуса корреляции rc ⇠ (T Tc ) ⌫ .Задачей статистического подхода является расчет показателя z. Он будет основан на использовании стохастического уравнения Ланжевена с последующим переходом к эквивалентной квантово-полевой модели.Наиболее известной моделью критической статики является так называемая '4 -модель, для которой действие S0st ( 0 ) имеет видS0st ( 0 )=Zdr✓(@0 (r))22+⌧020 (r)21+ g04!40 (r)◆.(1)Модель '4 была исторически первой, в которой удалось эффективно использовать метод ренормализационной группы и разложения по формально малому параметру " = 4 d – отклонению размерности пространства d от критической размерности dc = 4.
В настоящее время статические критическиеиндексы (в частности, индекс ⌫) рассчитаны в шестом порядке "-разложения.По статическому действию определяется уравнение стохастической динамики. Модель А отвечает несохраняющемуся параметру порядка и отсутствию межмодового взаимодействия, уравнение Ланжевена имеет в этом случае вид@t0 (r, t) =·S0st0 (x)+ f (r, t) ,0 (r, t0 (r)! 0 (r,t)!1) ! 0 ,(2)где – кинетический коэффициент Онсагера, f – гауссова “случайная сила”с корреляторомhf (r1 , t1 )f (r2 , t2 )i = 2(r1r2 ) (t1t2 ) .(3)Анализ стохастической модели (1)–(3) значительно облегчается, еслипереформулировать ее в виде квантово-полевой модели [12]. В такой моделисредние вычисляются в виде функционального интеграла по набору 0 ⌘8{0,00}основногоhF (0,0и вспомогательного00 )i=CZDZ0D00полей00 F ( 0,00 ) exp(S0 ( 0 )) ,(4)где действие S0 ( 0 ) определяется выражениемS0 ( 0 ) =0 00 0 0=0 00 0 0++0000@t@t00++00✓@S0st=020⌧001g03!30◆(5),в котором подразумеваются интегрирования по координате и по времени.Модели (5) отвечает стандартная теория возмущений и фейнмановскаядиаграммная техника.
При " ! 0 диаграммы УФ-расходятся, что проявляется в полюсах по ". Модель мультипликативно ренормируема, ренормированное действие имеет вид✓◆10 002"3SR = Z1+Z2 @ t +Z3 @Z4 ⌧Z5 µ g,(6)3!оно получается из исходного ренормировкой полей и параметров0= Z ,⌧0 = ⌧ Z⌧ ,g0 = gµ" Zg ,0= Z ,00=0Z 0.(7)По константам ренормировки Zi вводятся бэта-функция (g) и ренормгрупповые функции i (g) :(g) ="g,1 + g @g ln Zgi (g)="g @g ln Zi.1 + g @g ln Zg(8)Условие (g⇤ ) = 0 определяет значение заряда g⇤ в неподвижной точке, авеличины i⇤ ⌘ i (g⇤ ) – значения критических индексов.
По сравнению состатической моделью (5) единственным новым индексом является ⇤ , иско⇤мый динамический индекс z выражается через него соотношением z = 2.Из связи констант ренормировок в (6), (7) следует, что= 31 . Учитывая, что хорошо известный индекс Фишера ⌘ = 3⇤ , находим z = 2 ⌘ + 1⇤ ,так что нашей целью будет нахождение величины 1⇤ .Оригинальной частью первой главы является обобщение фейнмановского представления на диаграммы динамической модели, позволяющее сопо-9ставлять диаграмме интеграл по фейнмановским параметрам непосредственно по виду диаграммы, минуя импульсное представление. Эта часть первойглавы основана на материале работы [1].Определение РГ-функции 1 , исходя из соотношения (8), требует вычисления содержащих полюса по " констант ренормировок, что усложняетчисленные расчеты.
Во второй главе проведено обобщение метода вычисления РГ-функций без использования констант ренормировок (“теория безрасходимостей”) на случай динамической теории. Содержание второй главы основано на работе [2].Используя уравнения ренормгруппы для соответствующего набора 1неприводимых ренормированных функцийR⌘ h i j iR1-непр , нетрудно выразить через них РГ-функции i . Однакоi, jэто не решает проблемы, так как при обычном способе вычисления функций Ri , j полюса вначале возникают, а потом сокращаются контрчленами.Хотелось бы получить форму записи контрчленов, в которой они включеныв совместное с исходной диаграммой выражение, так что интеграл не имеетособенностей, и полюса вообще не возникают.
Для этой цели удобной оказалась схема ренормировки с вычитанием контчленов на нулевых импульсах ичастотах в точке нормировки ⌧ = µ2 . В этой схеме константы ренормировки,как и в схеме минимальных вычитаний (MS), зависят только от заряда g,уравнения РГ в этих схемах также совпадают.В выбранной схеме ренормировки РГ-функции i были выражены через величины Fj = (⌧ @⌧ ¯ R(⌧ @⌧ R ¯ j ) |⌧ =µ2 , в которых процедураj ) |⌧ =µ2 =ренормировки была заменена действием R-операции Боголюбова-Парасюка,а черта над функцией ¯ j означает, что она нормирована на единицу приg = 0. Искомую запись контрчленов при ренормировке удается получить длявеличинfj = R(⌧ @⌧ ¯ j ) |⌧ =µ2 ,(9)в которых по сравнению с Fj операции R и @⌧ переставлены местами.
Действие R-операции на диаграммы величин fj можно записать в видеR =YZi1dai (10(10)ai )ni @anii +1 ({a}),где произведение берется по всем существенным подграфам(i)(включая10диаграммукак целое), ai – параметр растяжения внутри i-го подграфаимпульсов и частот, втекающих в этот подграф, ni = 0 для логарифмических подграфов и ni = 1 для квадратичных. Преимущество такой записиренормированных величин состоит в том, что ответ представляется в видеинтегралов, конечных при " = 0, причем в форме, в которой не происходитсокращения больших вкладов в подынтегральном выражении.В работе [1] показано, что величины Fj и fj связаны соотношениемFj = (1 F4 )fj , гдеF4 =(⌧ @⌧ R ¯ 4 ) |⌧ =µ2 ,,¯4 =0,⌧0|⌧ =0.p=0, !=0Эта достаточно нетривиальная связь аналогична использованной Зин-Жюстеномдля доказательства ренормируемости статической '4 -модели [13].Искомая РГ-функция 1 выражается через fj соотношениями1=2f1,1 + f3fj ⌘R(⌧ @⌧ ¯ j ) |⌧ =µ2 ,где¯1 =020,¯3 =p=0, !=0@ p20(11).(12)p=0, !=0⇤2f3⇤Выражая из соотношения 3⇤ = ⌘ = 1+f⇤ величину f3 через индекс Фишера3⌘, получаем для искомого индекса 1⇤ представление⇤1= f1⇤ (2⌘).Величина f1 была вычислена в четырехпетлевом приближении по диаграммам 1-неприводимой функции ¯ 1 согласно соотношениям (11), (12) и(10).
Диаграммы с однопетлевыми подграфами были вычислены в импульсном представлении, остальные диаграммы – в фейнмановском представленииметодом Sector Decomposition, необходимое число членов "-разложения величины g⇤ в используемой схеме ренормировки взято из работы [14].В третьей главе искомая РГ-функция 1 находится на основе стандартного представления (8) через константу ренормировки Z1 . Расчет производится в схеме минимальных вычитаний на основе фейнмановского представления динамических диаграмм, полученного в главе 1, с использованиемметода Sector Decomposition, дающего конструктивное представление для вы-11четов при полюсах по ".
Содержание третьей главы основано на работе [3].Метод Sector Decomposition основан на делении области интегрирования по фейнмановским параметрам на сектора, в каждом из которых искомые вычеты достаточно просто выделяются. Преимущество этого методазаключается в простоте автоматизации процедуры выделения полюсов. Этоприводит к тому, что вычисления ограничены только мощностью компьютерных ресурсов. Очень существенно также, что подынтегральное выражение вкаждом из секторов является плавной знакопостоянной функцией феймановских параметров, что значительно повышает точность численного интегрирования. Последнее обстоятельство делает этот метод весьма полезным и вслучае, когда вычисляемый интеграл не содержит полюсов по ", что использовалось при вычислениях части диаграмм во второй главе.Основным недостатком является очень большое число секторов, которые получаются в результате деления области интегрирования в старших порядках теории возмущений.
Этим объясняется то обстоятельство, что, будучипредложенным в 1977 году Спиром для доказательства ренормируемости [15],этот прием лишь в 2000 году стал использоваться для вычислительных целей [6]. Острота проблемы еще сильнее проявляется в задачах динамики, вкоторых уже число исходных диаграмм многократно превышает число статических диаграмм той же топологии.
Чтобы несколько уменьшить числонеобходимых для вычисления диаграмм, в диссертации применяется метод“редукции” диаграмм. Как уже отмечалось, в модели А имеется единственная дополнительная к статике константа ренормировки, остальные константы равны своим статическим аналогам. На диаграммном языке это означает,что сумма определенных динамических диаграмм на нулевой частоте равнаодной статической. Был разработан конструктивный рецепт подобной “редукции” диаграмм и, хотя необходимые для расчета динамического индексадиаграммы не сводятся полностью к статическим, такая редукция позволилазначительно сократить число диаграмм и упростить их вид. В рассмотренномчетырехпетлевом приближении это сократило число диаграмм с 66 до 17.Процедура разбиения на сектора не однозначна, существует несколько“стратегий” декомпозиции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
