Автореферат (1149674), страница 2
Текст из файла (страница 2)
г.Личный вклад автора. Автором диссертации разработан и реализованв виде программного кода численный метод нелинейного матричного интегрирования систем ОДУ, построена модель спин-орбитального движениязаряженных частиц в электромагнитных полях, явно учитывающая сохранение полной энергии. Разработан и протестирован комплекс программ длякомпьютерного моделирования спин-орбитального взаимодействия. Получены результаты вычислительных экспериментов, проведен анализ и оптимизация структуры электростатического накопительного кольца.Публикации.
По материалам диссертации опубликовано 20 работ, 3 изних в изданиях, рекомендованных ВАК, 11 публикаций индексируются вбазе данных Scopus. Список работ приведен в конце автореферата.Структура и объем работы. Общий объем диссертация составляет127 страниц машинописного текста. Основной текст представлен на 112страницах и состоит из введения, 5 глав, заключения, списка литературыиз 118 наименований. Работа также содержит 42 рисунка, 5 таблиц и 5приложений, носящих информативный и иллюстрирующий характер.СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫВведение описывает актуальность рассматриваемых задач и возможныенаправления их решения.
Обоснована необходимость разработки новых методов математического и компьютерного моделирования спин-орбитальнойдинамики. Приведен обзор литературы, посвященной численным методам,применяемым при анализе нелинейных систем ОДУ.Первая глава носит постановочный характер и, в основном, содержитописание используемых физико-математических моделей. Глава состоит изтрех параграфов, посвященных вопросам моделирования, построения численных методов и разработки программных средств. Представлены основные уравнения спин-орбитальной динамики заряженных частиц во временной области.
Приведено сравнение классических пошаговых методовинтегрирования систем ОДУ и подходов, основанных на построении отображений, указаны их преимущества и недостатки. Описано назначение ифункциональность разрабатываемого программного обеспечения, а такжеуказаны предъявляемые к нему требования корректности, надежности имасштабируемости.7Вторая глава диссертации посвящена построению математической модели спин-орбитального взаимодействия заряженных частиц.
УравнениеНьютона – Лоренца орбитального движения заряженной частицы в электромагнитном поле ṗ = q(E + B × v) и уравнение Томаса – Баргманна –Мишеля – Телегди (Т – БМТ)()−qγE×βṠ =(1 + γG)B⊥ + (1 + G)B∥ + (Gγ +)× S,m0 γγ+1cописывающее вращение трехмерного вектора спина S, представлены в виденелинейной системы ОДУ dX/ds = F(s, X) в ортогональной криволинейной системе координат. Здесь под s понимается длина дуги вдоль опорнойкривой, q, m0 , v, v – заряд, масса, вектор и модуль скорости соответственно,γ – фактор Лоренца, G – аномальный магнитный фактор частицы, β = v/c,B⊥ и B∥ – поперечная и продольная компоненты магнитного поля по отношению к v, E – вектор напряженности электрического поля. Вектор состояния системы X = (x, y, t, px , py , W, Sx , Sy , Ss ) образован каноническисопряженными парами переменных, где x, y – координаты в горизонтальной и вертикальной плоскостях, px , py , Sx , Sy , Ss – проекции импульса испина, t – время движения в поле, W – кинетическая энергия частицы.Также в главе приведено описание основных подходов, используемыхпри численном моделирования спин-орбитальной динамики на основе применения нелинейного матричного отображения.
В данном случае решениесистемы dX/ds = F(s, X) представляется в виде матричного разложенияв ряд Тейлора до заданного порядка нелинейности[2][k]X = R0 + R1 X0 + R1 X0 + . . . + R1 X0 ,[i]где Ri являются числовыми матрицами, а под X0 понимается i-ая кронекеровская степень вектора начального состояния X0 . Каждая кронекеровская степень представляет собой вектор-столбец2 с размерностью, согласующейся с соответствующей матрицей Ri .Третья глава содержит описание разработанного численного методапостроения нелинейного матричного отображения. Корректность работыалгоритма протестирована на известных модельных задачах.Основная идея метода основана на предположении, что правые частисистемы ОДУ допускают разложение в матричный ряд Тейлора по степеням вектора состояния XdX = P0 (t) + P(t)1 X + P(t)1 X[2] + .
. . + P(t)1 X[k] .dt2 БеллманР. Введение в теорию матриц. — М.: Наука, 1969 — 368 с.8Заметим, что элементы матриц Pi могут быть как постоянными числовыми коэффициентами, так и функциями, зависящими от независимойпеременной t. Дифференцируя матричное представления искомого общегорешения, можно записать систему двух уравненийddddd[2][k]X = R0 (t) + R1 (t)X0 + R2 (t)X0 + .
. . + Rk (t)X0 ,dtdtdtdtdtdX =P0 (t) + P1 (t)X + P2 (t)X[2] + . . . + Pp (t)X[p] = P0 (t)+dt()[2][k]+P1 (t) R0 (t) + R1 (t)X0 + R2 (t)X0 + . . . + Rk (t)X0 ++...+()[p][2][k]+Pp (t) R0 (t) + R1 (t)X0 + R2 (t)X0 + . . . + Rk (t)X0.После раскрытия всех скобок и приведения подобных слагаемых получим новую систему ОДУ, описывающих динамику матричного отображения R0 , R1 , R2 = . . .
= Rk ,∑d[i]R0 (t) =Pi (t)R0 ,dti=1p∑d∂X[i]Rk (t) =,Pi (t)[i]dt∂(X )∗i=1pk = 1, 2, . . .0Численно решая эти уравнения с начальным условием R0 = 0, R1 = E, Ri =0, i = 2, k, можно получить искомое матричное отображение. Здесь следуетотметить, что построенная таким образом система ОДУ не зависит от вектора начальных состояний X0 , а набор матриц {Ri }ki=0 описывает общеерешение в виде матричного ряда Тейлора.Данный алгоритм формализован в виде последовательности команд напсевдокоде, которые могут служить блок-схемой для реализации метода наязыках программирования высокого уровня.
В главе приведено описаниеразработанных численных библиотек на языках Python и C++/C#.Верификация алгоритма и программного кода проведена на примеречисленного анализа модели Лотки – Вольтеры, описывающей осцилляторс учетом нелинейных эффектов; движения в области устойчивого фокуса;осциллятора Ван-дер-Поля, обладающего предельным циклом; модели Хенона – Хейлеса, при определенных условиях приводящей к динамическомухаосу. Сравнение результатов моделирования с пошаговым интегрированием (метод Рунге – Кутта 4-го порядка) показало применимость разработанного подхода для решения указанных задач.9В четвертой главе описаны построенные программные инструментарии и среда компьютерного моделирования.
Приведены результаты сравнения работы программы с другими пакетами численного анализа динамикичастиц, а также ее сопоставление с экспериментальными данными.Разработанная среда модеподсистемаразложение нелинейныхGUIлирования позволяет, с однойсимвольныхфункций в ряды Тейлораподсветкавычисленийстороны, проводить вычисли- синтаксисательные эксперименты, не вни- автодополнениебиблиотекаIDEкая в структуру применяемых визуальныйэлектромагнитныхалгоритмов, а с другой, обладая редакторэлементовфайловаяорганизациясвойством масштабируемости, автогенерацияпроектакодадопускает модификацию алгоритмов и логики работы безРис. 1. Основные компоненты программыглубокого погружения в предметную область.
Архитектура среды программирования имеет компонентную структуру и представлена на рис. 1. Среди основных подмодулей следует особо выделить встроенный интерпретатор команд и собственнуюподсистему символьных вычислений.Рис. 2. MODE: интегрированная среда моделированияВнешний вид среды моделирования (MODE) представлен на рис. 2.Программа имеет дружественный пользовательский интерфейс, оснащенный системой всплывающих подсказок и автогенератором кода.
Для описания структуры кольца доступен как текстовый, так и графический редакторы. Среда MODE допускает свое развертывание на удаленном веб-сервереи поддерживает автоматическое обновление.Для проверки корректности функционирования разработанной средымоделирования использовались сторонние программы численного анализа,широко применяемые в ускорительной физике. Сравнения спиновой динамики с расчетами, проведенными в пакете COSY Infinity (см.
табл. 1),показали их хорошее соответствие между собой, а вычисление характеристик пучка (бета-функции, дисперсии, частоты колебаний) проверено впрограмме OptiM.10Таблица 1. Скорость вращения спина (c)Тестовый случай COSY Infinity Разработанный методЦилиндрический конденсаторδT = 1 · 10−45749.45749.0δT = 3 · 10−4635.6635.5∆x = 0.0031184.31184.3Цилиндрический конденсатор × 16δT = 1 · 10−45705.15704.6δT = 3 · 10−4633.9633.8∆x = 0.0031188.51188.5Кольцо из конденсаторов и квадруполейδT = 1 · 10−40.20080.2008δT = 3 · 10−40.07040.07042072.32072.3∆x = 0.003Кольцо из конденсаторов и квадруполей с RF полемδT = 1 · 10−44438.24415.3δT = 3 · 10−4492.9491.7Корректность работы разработанной среды также подтверждена в сравнении с экспериментальными данными.
В эксперименте «Aug/Sep 2013Beamtime@COSY»3 осуществлялся горизонтальный вывод пучка заряженных протонов отклоняющим полем, абсолютное значение магнитной индукции которого росло со временем. Частота вращения спина в магнитномнакопительном кольце имеет постоянное значение. Однако с ростом отклоняющей компоненты поля при выводе пучка следует ожидать и ростачастоты вращения спина. Данное положение было проверено в результате эксперимента. При помощи среды MODE поля отклоняющих магнитовбыли описаны параметрическим нелинейным матричнымотображением третьего порядка. Вычисления динамики проводились в среде MATLAB, гдес течение времени магнитноеполе увеличивалось в соответствии с экспериментом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
