Диссертация (1149645), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

В.А. Стеклова РАН (Москва, 8 апреля 2013 г.);2)на семинаре кафедры математической кибернетики Московскогогосударственного университета им. М.В. Ломоносова (Москва, 28 ноября 2014 г.);3)на Международной конференции студентов, аспирантов и молодыхученых «Ломоносов-2013» (Москва, МГУ, 9 – 12 апреля 2013 г.);4)на XLVII Международной конференции «Процессы управления иустойчивость» (Санкт-Петербург, СПбГУ, 4 – 7 апреля 2016 г.);5)на IX Международной Петрозаводской конференции «Вероятностныеметоды в дискретной математике» (Петрозаводск, Институт прикладныхматематических исследований Карельского научного центра РАН, 30 мая –3 июня 2016 г.);6)на Международной конференции по алгебре, анализу и геометрии,посвященной юбилеям выдающихся профессоров Казанского университета,математиков Петра Алексеевича (1895 – 1944) и Александра Петровича (1926 –1998) Широковых (Казань, КФУ, 26 июня – 2 июля 2016 г.);7)на Международной научно-практической конференции «Математика всовременном мире», посвященной 150-летию Д.А.

Граве (Вологда, ВГПУ,7 – 10 октября 2013 г.);8)на XII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленнойматематике (Сочи-Адлер, 1 – 8 октября 2011 г.);9)на6-йМеждународнойнаучно-техническойконференции«Информатизация процессов формирования открытых систем на основе САПР,АСНИ, СУБД» (Вологда, ВоГТУ, 24 – 25 июня 2011 г.);10) на XIII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленнойматематике (весенняя открытая сессия, Петрозаводск, 2 – 9 июня 2012 г.);811) на7-йМеждународнойнаучно-техническойконференции«Информатизация процессов формирования открытых систем на основе САПР,АСНИ, СУБД и систем искусственного интеллекта» (Вологда, ВоГТУ, 28 июня2013 г.);12) на XIII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленнойматематике (осенняя открытая сессия, Сочи-Вардане, 1 – 8 октября 2012 г.);13) на Всероссийской научно-практической конференции «Череповецкиенаучные чтения-2010» (Череповец, ЧГУ, 2 – 3 ноября 2010 г.);14) на XIV Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленнойматематике (Великий Новгород, 29 сентября – 5 октября 2013 г.);15) на XIX межвузовской военно-научной конференции (Череповец,филиал ВКА им.

А.Ф. Можайского, 25 – 26 ноября 2010 г.);16) на Всероссийской научно-практической конференции «Череповецкиенаучные чтения-2011» (Череповец, ЧГУ, 1 – 2 ноября 2011 г.);17) на XX межвузовской военно-научной конференции (Череповец, филиалВоен. акад. МО РФ, 11 октября 2012 г.);18) на Всероссийской научно-практической конференции «Череповецкиенаучные чтения-2012» (Череповец, ЧГУ, 1 – 2 ноября 2012 г.);19) на XXXIX военно-научной конференции молодых специалистов(Череповец, филиал ВКА им.

А.Ф. Можайского, 11 – 13 мая 2011 г.);20) наXLвоенно-научнойконференциимолодыхспециалистов(Череповец, филиал Воен. акад. МО РФ, 2 – 4 мая 2012 г.);21) на 41-й военно-научной конференции молодых специалистов и ученых(Череповец, филиал Воен. акад. МО РФ, 13 – 15 мая 2013 г.);22) на Всероссийской научно-практической конференции «Череповецкиенаучные чтения-2013» (Череповец, ЧГУ, 6 – 7 ноября 2013 г.);23) на42-йвоенно-научнойконференциимолодыхспециалистов(Череповец, ЧВВИУРЭ, 13 – 15 мая 2014 г.);24) на 1-й совместной военно-научной конференции ФГУП «18 ЦНИИ»МО РФ и ЧВВИУРЭ (Череповец, ЧВВИУРЭ, 21 – 22 мая 2015 г.).9Результаты исследования опубликованы в 26 работах ([43] – [68]), изкоторых [48], [50], [56] и [67] – в рецензируемых журналах, рекомендованныхВАК РФ. В совместной работе [67] автору диссертации принадлежат теоремы 2.1,3.3 и 3.4 диссертации, а также формула (2.2) диссертации.

Кроме того, всовместной работе [68] автору диссертации принадлежат примеры вычисленияпроизводящихфункцийраспределенийстатистикв последовательностях1-зависимых индикаторов.Основные результаты и положения, выносимые на защиту:1)Полученкомбинаторно-алгебраическийметодвычисленияпроизведений Адамара рациональных функций.2)Комбинаторно-алгебраическим методом получено общее решениезадачи перечисления замощений прямоугольника размера 2×r плитками размеров1×1, 1×m и 1×n, а для n = 3 формулы получены в явном виде.3)задачиКомбинаторно-алгебраическим методом получено общее решениеперечислениязамощенийпрямоугольника размера 2×r плиткамипроизвольной длины.4)Комбинаторно-алгебраическим методом решена задача перечисленияупорядоченных разбиений компонент двумерного вектора на слагаемые (перваякомпонента разбивается на слагаемые 1 и n, а вторая – на слагаемые 1 и m, где m,n – произвольные целые числа, m ≥ 2, n ≥ 2).5)Комбинаторно-алгебраическим методом решена задача перечисленияупорядоченных разбиений компонент двумерного вектора на произвольныеслагаемые.6)Комбинаторным методом автором получены явные формулы длявычисления производящей функции суммы весов замощений прямоугольникаплитками по числу типов взаимного расположения плиток при m = 2, n = 2, атакже при m = 2, n ≥ 2.7)Получено общее решение задач вычисления производящей функциивесов замощений прямоугольника плитками по числу типов взаимного10расположения плиток, а также вычисления производящей функции весовразбиений.8)Доказаны теоремы, позволяющие с применением произведенияАдамара вычислить производящие функции распределений некоторых статистикот серий рекуррентных событий, производящие функции распределенийнекоторых статистик от осциллирующего случайного блуждания, а такжепроизводящую функцию вероятностей того, что в случайном процессе на какомто шаге появится прямоугольник размера k×n, состоящий из m плиток.

Явновычисленыраспределениянекоторыххарактеристикслучайныхпоследовательностей при условии, что производящие функции исходныхслучайных величин рациональны.Основная часть работы разделена на три главы.В первой главе выполнен обзор и анализ существующих методоввычисления произведения Адамара степенных рядов рациональных функций, атакже существующих подходов к решению комбинаторных и вероятностныхзадач с применением произведения Адамара.Вовторойглавеавторомсформулированыидоказанытеоремы,позволяющие получить с применением произведения Адамара степенных рядоврациональныхфункцийобщеерешениезадачперечислениязамощенийпрямоугольника плитками, вычисления производящей функции весов замощенийпрямоугольника плитками по числу типов взаимного расположения плиток,перечисления упорядоченных разбиений компонент двумерного вектора напроизвольные слагаемые.

Доказанные во второй главе теоремы также дают новыйметод вычисления произведения Адамара степенных рядов рациональныхфункций.В третьей главе рассмотрены приложения произведения Адамара квычислению производящих функций распределений некоторых статистик отсерий рекуррентных событий, а также производящих функций распределенийнекоторых статистик от осциллирующего случайного блуждания. В этой главепоказанавозможностьявноговычисленияраспределенийнекоторых11характеристик случайных последовательностей при условии, что производящиефункции исходных случайных величин рациональны.12Глава 1. Произведение Адамара в комбинаторных и вероятностныхзадачах и методы его вычисленияПроизведение Адамара степенных рядов находит применение в рядекомбинаторных и вероятностных задач.

Однако, возможности его использованиядля решения теоретических и прикладных комбинаторных и вероятностных задачизучены недостаточно.Помимо задач перечислительной комбинаторики и дискретной теориивероятностей в научной литературе можно встретить применения произведенияАдамаравзадачахкомплексногоанализа([1],[16],линейного[37]),программирования [90], математической физики ([88], [102]). В книге [7]Л. Бибербаха изложены глубокие результаты по изучению свойств произведенияАдамара (там же приведена обширная библиография).

Свойства произведенияАдамара исследованы также в работах В.И. Горбайчука и В.И. Кузьмича [12],К.Н. Бояджиева[89].Привлекаютвниманиеисследователейисвойствапроизведения Адамара нескольких функций [91]. Результаты исследованиямногомерного произведения Адамара представлены в работах Л.А. Айзенберга[1], М.М.

Елина [16], В.П. Кривоколеско [28], К.В. Сафонова [78].Хорошоизвестно,чтопроизведениеАдамараразложенийврядрациональных функций является рациональной функцией ([80, c. 308], [34, с. 55]).Как отмечает Р. Стенли [80, c. 380], установление точного источника утвержденияорациональностипроизведенияАдамарастепенныхрядов,заданныхрациональными функциями, является трудной задачей.

Подобные утверждениядлядругихклассовдифференциальнымфункций,уравнениямнапример,судовлетворяющихполиномиальнымилинейнымкоэффициентами,рассматриваются в работах А. Гурвица (см. [34, с. 55]) и Р. Стенли [101]. Вопрос орациональности произведения Адамара рациональных функций несколькихпеременных исследовал Е.К. Лейнартас ([35] – [37]). В то же время, явных13формул для вычисления произведения Адамара степенных рядов рациональныхфункций в общем случае до недавнего времени известно не было.Таким образом, две основные темы, которые мы хотим затронуть,следующие:1) комбинаторные и вероятностные задачи, связанные с применениемпроизведения Адамара степенных рядов;2) методывычисленияпроизведенияАдамарастепенныхрядоврациональных функций.Эти две темы тесно связаны между собой, поскольку конкретные задачи, содной стороны, служат источником примеров, в которых требуется вычислятьпроизведение Адамара степенных рядов, а с другой – их решение позволяетнаходить новые приѐмы вычисления произведений Адамара рациональныхфункций в более или менее общих ситуациях.О п р е д е л е н и е 1.1.

Произведением Адамара формальных степенныхрядовG  x    gk xkk 0иH  x    hk x kk 0называется степенной рядG  x   H  x    g k hk x kk 0([93, c. 55], [41, c. 85], [42, c. 67]).Один из методов вычисления произведения Адамара степенных рядоврациональныхфункцийсвязансприменениемследующегосвойствапроизведения Адамара:G  x 1    k   g k x k     q k x k    g k q k x k   g k  qx   G  qx  .1  qx  k 0k 0  k 0 k 014Однако этот метод применим только в том случае, когда удается найти корнизнаменателя одной из рациональных функций, для которых требуется вычислитьпроизведение Адамара. При этом используется разложение на простейшие дроби.Произведение Адамара тесно связано с Ω-оператором П.А.

Характеристики

Список файлов диссертации