Автореферат (1149644), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Граве (Вологда, 2013 г.);– на XII, XIII и XIV Всероссийских симпозиумах по прикладной и промышленнойматематике (2011 – 2013 гг.)– на 6-й и 7-й Международных научно-технических конференциях «Информатизация процессов формирования открытых систем на основе САПР, АСНИ, СУБД» (Вологда, ВоГТУ, 2011 г., 2013 г.);– на четырех Всероссийских научно-практических конференциях «Череповецкиенаучные чтения» (Череповец, ЧГУ, 2010 – 2013 гг.);– на семи военно-научных конференциях (Череповец, филиал Воен. акад. МО РФ,ЧВВИУРЭ, 2010 – 2015 гг.).Публикации.

Результаты исследования опубликованы в 26 работах ([1] – [26]), изкоторых [9], [17], [19] и [23] – в журналах, рекомендованных ВАК РФ. В совместной работе [19] соискателю принадлежат разделы 4 и 7, а также свойство 3 теоремы 7. Крометого, в совместной работе [1] соискателю принадлежат примеры вычисления производящих функций распределений статистик в последовательностях 1-зависимых индикаторов.Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, а также списка литературы, содержащего 102 наименования. Работа проиллюстрирована 38 рисунками. Общий объем работы – 138 страниц.ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫОсновная часть работы разделена на три главы.В первой главе выполнен обзор и анализ существующих методов вычисления произведения Адамара степенных рядов рациональных функций, а также существующих6подходов к решению комбинаторных и вероятностных задач с применением произведения Адамара.Во второй главе автором сформулированы и доказаны теоремы, позволяющие получить с применением произведения Адамара степенных рядов рациональных функцийобщее решение задач перечисления замощений прямоугольника плитками, вычисленияпроизводящей функции весов замощений прямоугольника плитками по числу типов взаимного расположения плиток, перечисления упорядоченных разбиений компонент двумерного вектора на произвольные слагаемые.

Эти теоремы также дают новый метод вычисления произведения Адамара степенных рядов рациональных функций.В главе 1 упомянуты все существовавшие до недавнего времени решения задачиперечисления замощений прямоугольника размера 2×r плитками размера 1×1 с весомa и плитками размера 1×m с весом b в верхнем ряду, а также плитками размера 1×1 свесом c и плитками размера 1×n с весом d в нижнем ряду, сводящиеся к вычислениюпроизведения Адамара (1 – ax – bxm) –1  (1 – cx – dxn) –1.

Это произведение Адамаравычислил комбинаторным методом Й.Х. Ким при n = 2, b = 1, d = 1. При n > 2 комбинаторным методом решить данную задачу весьма затруднительно.В параграфе 2.1 приводится решение указанной выше задачи при произвольных mи n с помощью комбинаторно-алгебраического метода вычисления произведения Адамара, предложенного автором. Применение известного ранее алгебраического метода требует вычисления определителей порядка n + m. Порядок определителей удалось снизитьна величину m. Полученный результат выражает следующая теорема, сформулированнаяи доказанная автором.Теорема 1.

Для любых целых m, n, k (m ≥ 2, n ≥ 2, k < m) справедлива следующаяформула:det R n1xk,nm1  ax  bx 1  cx  dxdet S nгде Sn – матрица порядка n вида1  acx  B1A12A1,n2A1,n1bcx n  A1,n 1  A22A2,n2A2,n1A2,n c  B2B3c  A32A3,n2A3,n1A3,n,Bn1An1,2c  An1,n2 1  An1,n1An1,nBAAcA1Ann ,2n ,n  2n , n 1n ,nm–i+1m+j–iгдеBi = –dfm–i+1x,Aij = –bdfm–i–n+jx,i = 1, 2, …, n,j = 2, 3, …, n, m nf m  f m  a, b    i 0 Cmi ( n1)i a mnibi при m  0 , f m  0 при m  0 , матрица Rn получаетсяиз Sn заменой первой строки строкойf k x k bf k n1x k 1bf k 3 x k n3 bf k 2 x k n2 bf k 1 xk n1  .Выпишем полученный результат в явном виде при n = 3.

Получим: для любого целого m ≥ 2 и любого целого k < m справедлива формулаP  x1xk,(1)3m1  ax  bx 1  cx  dxQ  xгдеP  x   b2d 2 ( f m1 f m3 f k 2  f m1 f m4 f k 1  f m22 f k 2  f m2 f m3 f k 1 7 f m2 f m4 f k  f m23 f k ) x2mk  bcd ( f m1 f k 1  f m2 f k  bf m3 f k 2  bf m4 f k 1 ) xmk 1  bd  f m1 f k 2  f m2 f k 1  2 f m3 f k  x mk  bc2 f k 1x k 2  bcf k 2 x k 1  f k x k ,Q  x   bmd 3 x3m  bcd 2 ( f m f m2  f m21  2bf m1 f m4  2bf m2 f m3  abf m2 f m4  abf m23 ) x2 m1  bd 2 (2 f m f m3  2 f m1 f m2  bf m2 f m4  bf m23 ) x2 m  bc2 d  2 f m1  af m2  bf m4  x m2  bcd  3 f m2  2af m3  xm1  d  f m  2bf m3  x m  bc3 x3  acx  1.В параграфе 2.2 приводится решение задачи перечисления замощений прямоугольника плитками произвольной длины.

Рассмотрим производящую функциюr 0f r  d1 , d2 ,..., d n  x r  1  d1 x  d 2 x 2  ...  d n x n 1последовательности, задаваемой ре-куррентным соотношениемfr(d1, d2,…, dn) = d1 fr – 1 + d2 fr – 2 + … + dn fr – nс начальными условиями f0 = 1 и fr = 0 при r < 0. При di = 1 (i = 1, 2, …, n) и n = 2 даннаяпоследовательность представляет собой последовательность чисел Фибоначчи. Элементfr(d1, d2,…, dn) может быть интерпретирован как сумма весов замощений прямоугольникаразмера 1×r плитками размеров 1×1, 1×2,…, 1×n и весами d1, d2,…, dn, соответственно.Под весом замощения понимается произведение весов образующих его плиток.Коэффициент fr(d1, d2,…, dn) fr(b1, b2,…, bm) при xr в произведении(1 – d1x – d2x2 –…– dnxn) –1  (1 – b1x – b2x2 –…– bmxm) –1 =  r 0 f r  d1 , d2 ,..., dn  f r  b1 , b2 ,..., bm  x rможет быть интерпретирован как сумма весов замощений прямоугольника размера 2×rплитками размеров 1×1, 1×2,…, 1×n в верхнем ряду, а также плитками размеров 1×1,1×2,…, 1×m – в нижнем ряду.

Плитка верхнего ряда размера 1×i имеет вес di(i = 1, 2,…, n). Плитка нижнего ряда размера 1×j имеет вес bj (j = 1, 2,…, m).Общее решение задачи перечисления замощений прямоугольника размера 2×rплитками произвольной длины выражено теоремами 2 и 3, сформулированными и доказанными автором.Теорема 2. Для любых целых m, n, k (m ≥ 2, n ≥ 2, k < m) справедлива следующаяформула:k1 det R m,mk1xk,1  d1 x  d 2 x 2  ...  d n x n 1  b1 x  b2 x 2  ...  bm x mdet Rгде R – матрица порядка m вида1  A11 d1 x  A12 d 2 x 2  A13d m2 x m2  A1,m1 B1 1  A22d1 x  A23d m3 x m3  A2,m1 B2  A21 A31A321  A33d m4 x m4  A3,m1 B3 ,AAm1,2Am1,31  Am1,m1Bm1  m1,1 AAAABm ,2m ,3m , m 1m  m,18d0 = – 1,Aij   s mi 1 d s x s  t m j 1 bt f s t i  j ,nmBi   s mi f s mi d s x s ,ni  1,2,..., m ,j = 1, 2, …, m – 1, fs = b1 fs–1 + b2 fs–2 + … + bm fs–m при s > 0, fs = 1 при s = 0, fs = 0 при s < 0,матрица Rm,m–k получается из R вычеркиванием m-й строки и (m – k)-го столбца.Теорема 3.

Для любых целых m, n, k (m ≥ 2, n ≥ 2, k < m) справедлива следующаяформула:1xkdet G,2n2m1  d1 x  d 2 x  ...  d n x 1  b1x  b2 x  ...  bm xdet Hгде H – матрица порядка n видаL12L13L1,n1L1,n  D11  L22L23L2,n1L2,n  D2 D3b1  L321  L33L3,n1L3,n , Dn1 bn3  Ln1,2 bn4  Ln1,31  Ln1,n1Ln1,n DbLbLbL1Ln2n ,2n 3n ,31n , n 1n,n  nms  j imi 1s  j isb0 = – 1, Lij   s i bs xt  j dt f st  j i , Di   s0 bsi1 f s x , i  1,2,..., n , j = 2, 3, …, n,fs = d1 fs–1 + d2 fs–2 + … + dn fs–n при s > 0, fs = 1 при s = 0, fs = 0 при s < 0, матрица G получается из H заменой первой строки строкойСn1 Сn  ,С1 С2 С3Ci  x k i 1  s i d s f k s i 1 .nТеорема 2 используется при n ≥ m, а теорема 3 – при n ≤ m.

Эти теоремы применимы для правильных рациональных дробей (при k < m). В общем случае можно выделитьцелую часть дроби, применить свойство линейности произведения Адамара, а такжеформулу x k   s 0 g s x s  g k x k .В параграфах 2.3 и 2.4 указывается связь задач перечисления упорядоченных разбиений компонент вектора на фиксированные и произвольные слагаемые с задачами перечисления замощений прямоугольника плитками, рассмотренными в параграфах 2.1 и2.2.В параграфе 2.5 решена задача перечисления замощений прямоугольника плитками по числу типов взаимного расположения плиток.

Задача замощения прямоугольникаплитками рассматривается в динамике. Укладка верхнего ряда прямоугольника размера2×r выполняется плитками размеров 1×1, 1×2,…, 1×n и весами d1, d2,…, dn, соответственно, а нижнего ряда – плитками размеров 1×1, 1×2,…, 1×m и весами b1, b2,…, bm, соответственно.

Укладка верхнего ряда выполняется последовательно слева направо до тех пор,пока верхний ряд не станет выступать над нижним. Затем выполняется укладка нижнегоряда последовательно слева направо до тех пор, пока нижний ряд не станет выступатьотносительно верхнего. Таким образом, путем чередования укладки верхнего и нижнегоряда, заполняется весь прямоугольник. В случае, когда не выступает ни верхний ряд, нинижний, полагаем, что выступает нижний ряд, и переходим к укладке верхнего ряда. Взависимости от того, выступает верхний ряд или нижний, любую плитку можно отнестик одному из четырех типов: нн, нв, вн, вв.

Плитку верхнего ряда назовем плиткой типанв, если при ее укладке выступающим становится верхний ряд. Плитку верхнего ряда9назовем плиткой типа нн, если при ее укладке выступающим остается нижний ряд. Аналогично определяются типы вн и вв для плиток нижнего ряда.Вычислим производящую функциюF  x, uнн , uнв , uвн , uвв  k 0i1 i2 i3 i4  ki1 i2 i3 i4 kwk ,i1 ,i2 ,i3 ,i4 uннuнвuвнuвв x ,где wk ,i1 ,i2 ,i3 ,i4 – сумма весов замощений прямоугольников всевозможных размеров k плитками, из которых i1 плиток типа нн, i2 плиток типа нв, i3 плиток типа вн, i4 плиток типа вв.Рассмотрим сначала частные случаи решения указанной выше задачи, позволяющие получить формулы в явном виде.Рассмотрим замощения прямоугольника размера 2×r плитками размера 1×1 с весомc и плитками размера 1×n с весом d в верхнем ряду, а также плитками размера 1×1 с весом a и плитками размера 1×m с весом b в нижнем ряду.

Характеристики

Список файлов диссертации