Автореферат (1149644)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

На правах рукописиПотехина Елена АлексеевнаПрименение произведения Адамара степенных рядовв комбинаторных и вероятностных задачахСпециальность 01.01.09 – дискретная математикаи математическая кибернетикаАвторефератдиссертации на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукСанкт-Петербург – 20172Работа выполнена в Череповецком государственном университетеНаучный руководитель:кандидат физико-математических наук, доцентТоловиков Михаил ИгоревичОфициальные оппоненты: Кузьмин Олег Викторович,доктор физико-математических наук, профессор,ФГБОУ ВО «Иркутский государственный университет»,заведующий кафедрой теории вероятностей и дискретнойматематикиЧуднов Александр Михайлович,доктор технических наук, профессор,ФГКВОУ ВО «Военная академия связи имени МаршалаСоветского Союза С.М. Буденного»,профессор кафедры автоматизированных систем специальногоназначенияВедущая организация:ФГБОУ ВО «Вологодский государственный университет»Защита состоится «___» _______ 2017 г.

в __ часов на заседании диссертационного совета Д 212.232.29 на базе Санкт-Петербургского государственного университета по адресу:199178, Санкт-Петербург, 10 линия В.О., д. 33/35, ауд. 74.С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького СанктПетербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург,Университетская набережная, 7/9 и на сайте http://spbu.ru/science/disser/dissertatsiidopushchennye-k-zashchite-i-svedeniya-o-zashchite.Автореферат разослан «___»_________2017 г.Ученый секретарьдиссертационного совета Д 212.232.29доктор физико-математических наук,профессорНежинский В.М.3ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫАктуальность темы исследования. Произведением Адамара формальных степенных рядов G  x    k 0 g k x k и H  x    k 0 hk x k называется степенной рядG  x   H  x    k 0 g k hk x k .Хорошо известно, что произведение Адамара разложений в ряд рациональныхфункций является рациональной функцией.

В то же время, явных формул для вычисления произведения Адамара степенных рядов рациональных функций в общем случае донедавнего времени известно не было. Техника вычисления произведения Адамара в задачах дискретной математики недостаточно развита и не систематизирована.Произведение Адамара степенных рядов находит применение в ряде задач перечислительной комбинаторики и дискретной теории вероятностей. В некоторых из нихприменение произведения Адамара позволяет найти решение в явном виде.

Конкретныезадачи, с одной стороны, служат источником примеров, в которых требуется вычислятьпроизведение Адамара степенных рядов, а с другой – их решение позволяет находить новые методы вычисления произведения Адамара рациональных функций в более или менее общих ситуациях.Цель работы: исследовать возможности применения произведения Адамара степенных рядов для некоторого класса комбинаторных и вероятностных задач.Задачи диссертационной работы:– проанализировать существующие методы вычисления произведения Адамарастепенных рядов рациональных функций;– проанализировать существующие подходы к решению комбинаторных и вероятностных задач с применением произведения Адамара;– получить новый метод вычисления произведения Адамара степенных рядов рациональных функций;– используя новый метод вычисления произведения Адамара степенных рядов рациональных функций, решить ряд комбинаторных задач;– решить некоторые вероятностные задачи с применением произведения Адамара.Объектом исследования является класс комбинаторных и вероятностных задач.Предметом исследования являются комбинаторные и вероятностные задачи, связанные с применением произведения Адамара степенных рядов, а также методы вычисления произведения Адамара степенных рядов рациональных функций.Методологическую и теоретическую основу исследования составляют научныетруды отечественных и зарубежных авторов в области комбинаторного анализа и дискретной теории вероятностей.Методы исследования.

При выполнении исследования использовались следующие методы: метод производящих функций, методы линейной алгебры, теории вероятностей, метод трансфер-матрицы, а также алгебраический метод вычисления произведенияАдамара.Научная новизна результатов исследования:1) Автором получен новый комбинаторно-алгебраический метод вычисления произведения Адамара рациональных функций. Известный ранее алгебраический метод1 [19]вычисления произведения Адамара рациональных функций требует вычисления опреде1Толовиков М.И. Случайные блуждания и произведение Адамара степенных рядов // Обозрение прикладной и промышленной математики.

2011. Т. 18, вып. 3. С. 505-506.4лителей порядка m + n. С помощью методов комбинаторного анализа и линейной алгебры порядок определителей автором снижен до величины min(m, n), что расширяет возможности применения произведения Адамара для получения решения конкретных задачв явном виде.2) С помощью полученного автором нового метода вычисления произведенияАдамара найдено общее решение задачи перечисления замощений прямоугольника размера 2×r плитками размеров 1×1, 1×m и 1×n, а для n = 3 формулы получены автором вявном виде. Решение этой задачи в частных случаях (при n = 2) с помощью комбинаторных методов ранее опубликовали в своих работах Л.

Шапиро1 и Й.Х. Ким2.3) Полученный автором новый метод вычисления произведения Адамара рациональных функций позволяет в задаче перечисления замощений прямоугольника размера2×r плитками снять ограничения на длину плитки и решить известную ранее задачу в новой постановке (получено общее решение задачи перечисления замощений прямоугольника размера 2×r плитками произвольной длины).4) С помощью полученного автором нового метода вычисления произведенияАдамара рациональных функций (теоремы 1, 2 и 3) решена задача перечисления упорядоченных разбиений компонент двумерного вектора на слагаемые (первая компонентаразбивается на слагаемые 1 и n, а вторая – на слагаемые 1 и m, где m, n – произвольныецелые числа, m ≥ 2, n ≥ 2). Ранее эта задача была решена только в частных случаях приn = 2 3.5) С помощью доказанных автором теорем 2 и 3 решена задача перечисления упорядоченных разбиений компонент двумерного вектора на произвольные слагаемые.

Полученный автором новый метод вычисления произведения Адамара рациональных функций позволяет в данной задаче снять ограничения на величину слагаемого и решать известную ранее задачу в новой постановке.6) Комбинаторным методом автором получены явные формулы для вычисленияпроизводящей функции весов замощений прямоугольника плитками по числу типов взаимного расположения плиток с максимальными длинами в верхнем и нижнем ряду m = 2,n = 2 соответственно, а также при m = 2, n ≥ 2. Объект исследования в данном случае является новым.7) Получено общее решение задачи вычисления производящей функции весов замощений прямоугольника плитками по числу типов взаимного расположения плиток, атакже вычисления производящей функции весов разбиений. Решение получено с применением метода трансфер-матрицы, что по сравнению с комбинаторным методом позволяет снять ограничения на длину плитки, а также на величину слагаемого в разбиении.8) С применением произведения Адамара автором явно вычислены производящиефункции распределений некоторых статистик от серий рекуррентных событий, а такжепроизводящие функции распределений некоторых статистик от осциллирующего случайного блуждания.

Ранее произведение Адамара в задачах исследования распределенийстатистик от серий указанных выше случайных событий не применялось. Применениепроизведения Адамара позволяет явно вычислить производящие функции распределений1Shapiro L.W. A combinatorial proof of a Chebyshev polynomial identity // Discrete Math.1981. Vol. 34. P. 203-206.2Kim J.H.

Hadamard products, lattice paths, and skew tableaux. Doctor of Philosophy thesis,Brandeis University Department of Mathematics. ProQuest, UMI Dissertation Publishing, 2012. 69 p.3Стенли Р. Перечислительная комбинаторика: Пер. с англ. М.: Мир, 1990. 440 с.5некоторых характеристик случайных последовательностей в тех случаях, в которых ихявное вычисление с помощью комбинаторных методов затруднительно.Теоретическая и практическая значимость исследования. Работа носит теоретический характер. Результаты ее первой главы представляют методический интерес имогут быть использованы в преподавании, в частности, для чтения специальных курсов.Все результаты представляют интерес для специалистов по комбинаторному анализу итеории вероятностей и могут быть использованы в этих областях для решения конкретных задач.

Некоторые результаты исследования (теоремы 10 и 11) могут быть использованы при разработке алгоритмов распределения ресурсов в вычислительных сетях.Апробация результатов исследования. Результаты исследования докладывалисьна 24 научных конференциях, симпозиумах и семинарах:– на семинаре отдела дискретной математики Математического институтаим. В.А. Стеклова РАН (Москва, 8 апреля 2013 г.);– на семинаре кафедры математической кибернетики Московского государственного университета им.

М.В. Ломоносова (28 ноября 2014 г.);– на XX Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых«Ломоносов-2013» (Москва, МГУ, 9 – 12 апреля 2013 г.);– на XLVII Международной конференции «Процессы управления и устойчивость»(Санкт-Петербург, СПбГУ, 4 – 7 апреля 2016 г.);– на IX Международной Петрозаводской конференции «Вероятностные методы вдискретной математике» (Петрозаводск, Институт прикладных математических исследований Карельского научного центра РАН, 30 мая – 3 июня 2016 г.);– на Международной конференции по алгебре, анализу и геометрии (Казань, КФУ,26 июня – 2 июля 2016 г.);– на Международной научно-практической конференции «Математика в современном мире», посвященной 150-летию Д.А.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов диссертации