Диссертация (1149607), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Свободная энергия в данном случаеявно зависит от функции M(r). Данное обстоятельство связано с тем, чтоферромагнетики обычно находятся в метастабильных, но не в равновесных состояниях [272]. Задание естественных переменных свободной энергии, вообще говоря, не определяет M(r) однозначно. В микромагнетизмепрактически всегда рассматривается только «магнитная» часть свободнойэнергии, не связанная с зависимостью данной величины от температуры иобъема.
Температура ферромагнетика полагается много меньшей температуры Кюри.Свободная энергия ферромагнетика в рамках модели микромагнетизма может быть представлена в виду суммы четырех основных слагаемых: обменной энергии ex , энергии магнитокристаллической анизотропии an , энергии размагничивающего поля m , и так называемой зеемановской энергии взаимодействия намагниченности с внешним магнитнымполем ext [272]: = ex + an + m + ext =∫︁(︀ [︀]︀)︀ (∇ )2 + (∇ )2 + (∇ )2 +an −1/20 m·Hm −0 m·Hext (2.3),где , , – компоненты единичного вектора m = M/ , an –плотность энергии магнитной анизотропии, Hm – размагничивающее поле; – обменная постоянная (exchange stiffness constant), зависящая от силы обменного взаимодействия, постоянной решетки, величины спина атомаи симметрии элементарной ячейки.
Интегрирование проводится по всемуобъему ферромагнетика.Размагничивающее поле при отсутствии свободных токов может бытьнайдено при помощи введения магнитного скалярного потенциала (rot(Hm ) = 0 ⇒ Hm = −∇ ), удовлетворяющего соответствующему уравнению Пуассона:53⎧⎪⎪△in = div(M)⎪⎪⎪⎪⎨△ = 0out⎪⎪in = out⎪⎪⎪⎪⎩in /n − out /n = M · n(2.4)Решение уравнения 2.4 существует, единственно и может быть записанов явном виде:1 (r) = −4∫︁∇′ M(r′ )1′ +′|r − r |4∫︁n · M(r′ )′|r − r′ |(2.5)Тем не менее данное явное решение обычно не используется на практикеввиду трудоемкости интегрирования вблизи r.
Учитывая аналогию междууравнением Пуассона в электростатике и уравнением 2.4, величину div(M)можно рассматривать в качестве плотности магнитных зарядов, которыеявляются источниками поля Hm . Тогда, используя теорему Ирншоу, можно заключить, что наличие магнитных зарядов в объеме ферромагнетикасущественно повышает энергию размагничивающего поля (pole avoidanceprinciple) [20].Следует отметить, что выражение для плотности обменной энергиив 2.3, строго говоря, верно только для простой кубической, ГЦК, ОЦКи гексагональной решеток [20]. Однако почти всегда его можно использовать в качестве хорошей аппроксимации реального кристалла в приближении непрерывной среды.
Уравнение 2.3 не является выражением дляполной магнитной свободной энергии ферромагнетика. Оно должно былобы также содержать не зависящее от направления M связанное с обменной энергией слагаемое [273]. Однако при варьировании по M при учетеусловия |M(r)| = , данное слагаемое исчезает, в связи с этим его сразуможно не учитывать.Метастабильное состояние ферромагнетика доставляет минимум функционалу . Варьируя по M при учете условия |M(r)| = , можно54получить уравнения Брауна (Brown’s equations) [17]:⎧⎨ m × H = 00 eff⃒⎩ m ⃒ = 0(2.6)n ,где m/n есть производная от единичного вектора намагниченности понормали к поверхности ферромагнетика . Величина Heff – так называемое эффективное поле.
Эффективное поле определяется как:Heff =21 an+ Hm + Hext∇(∇m) −0 0 m(2.7)Уравнения Брауна 2.6 позволяют определить экстремум свободной энергии, но не гарантируют, что найденная функция будет доставлять минимум функционалу. Для решения данного вопроса необходимо проводитьдополнительное исследование.Существенным недостатком уравнений Брауна является отсутствие возможности предсказать по заданной начальной конфигурации системы метастабильное состояние, в которое перейдет система при релаксации. Кроме того, с помощью данных уравнений невозможно описать динамику системы. В связи с этим в практических расчетах чаще всего используются феноменологические динамические уравнения, описывающие изменениенамагниченности системы во времени [272].Все уравнения такого типа содержат член, учитывающий прецессию намагниченности вокруг эффективного поля Heff , и отличаются только выражением, описывающим затухание прецессии (диссипацию).
УравнениеЛандау-Лифшица (ЛЛ) имеет вид:M= −M × Heff −M × [M × Heff ](2.8),где – величина, обычно полагаемая равной гиромагнитному отношениюдля изолированного электрона, – феноменологический коэффициент, характеризующий диссипацию.Гильберт предложил использовать другую форму диссипативногочлена [274]. Полученное им уравнение называют уравнением Ландау-55Лифшица-Гильберта (ЛЛГ):MM= −M × Heff +M×(2.9),где – безразмерный феноменологический коэффициент.
Уравнения 2.8 и2.9 обладают схожей математической структурой [275]. Однако оказалось,что с физической точки зрения они не эквивалентны. В частности, можнопоказать, что в пределе большой диссипации → ∞ ( → ∞) уравненияЛЛ и ЛЛГ приводят соответственно к M/ → ∞ и M/ → 0 [276,277].Ясно, что уравнение ЛЛГ является физически более корректным. В дальнейшем мы будем рассматривать только данное уравнение. Отметим, чтоуравнение ЛЛГ может быть применимо только на масштабах времени больших одной пикосекунды и масштабах длины много больших постояннойрешетки исследуемого материала [278]. Следует заметить, что метод микромагнетизма при данном уровне развития вычислительной техники практически неприменим для систем, размер которых превышает один микрон [240].2.5.2.
Метод решения уравнения ЛЛГ, параметры материаловВ большинстве практически важных случаев получить аналитическое решение уравнения ЛЛГ не представляется возможным ввиду его нелинейности. В связи с этим были развиты различные численные схемы, предназначенные для решения данного уравнения. Их можно подразделить на двакласса: алгоритмы, использующие для дискретизации объема исследуемойструктуры метод конечных разностей, и схемы, основанные на примененииметода конечных элементов [279, 280].В данной работе для решения уравнения ЛЛГ был использован пакетмикромагнитных расчетов Nmag [281]. Данный пакет позволяет решитьуравнение ЛЛГ с помощью метода конечных элементов. Конечные элементы имеют форму тетраэдров.
Причем в программе реализован особыйподход, позволяющий не подвергать дискретизации пространство, окружа-56ющее ферромагнетик, но вместо этого использовать плотные матрицы поверхностных элементов. Данный подход называют методом «конечный элемент - поверхностный элемент» (Finite Element Method/Boundary ElementMethod) [282]. Плотные матрицы поверхностных элементов были аппроксимированы с помощью иерархических матриц [283], что позволило существенно уменьшить объем оперативной памяти, необходимой для проведения расчетов.Уравнение ЛЛГ позволяет проследить за тонкими деталями динамики исследуемой системы.
Однако для выполнения поставленных в даннойработе задач достаточно знать только конечное метастабильное состояние,в которое перейдет система в результате релаксации. В связи с этим дляускорения расчетов значение феноменологической постоянной , характеризующей диссипацию, было положено равным единице. Отметим, что вреальных материалах ≈ 0.01. Расчеты, выполненные для различныхзначений , приводили к одним и тем же результатам.
Различалось тольковремя счета.Результаты экспериментов по широкоугольной дифракции синхротронного излучения на ИО показали, что образцы на основе никеля состоят изполикристаллических зерен, имеющих ГЦК структуру [246, 247]. Размерзерен не превышает 50 нм. ИО на основе кобальта также являются поликристаллами, обладающими ГПУ структурой, размер кристаллитов непревышает 30 нм [249].
Было установлено, что зерна ориентированы случайным образом, какой-либо текстуры не наблюдалось. В соответствии сданными SAXS размер элементарной ячейки был выбран равным 710 нмдля ИО, выполненных из никеля и 760 нм для ИО на основе кобальта, чтосущественно превышает размеры поликристаллитов. В связи с этим магнитокристаллическая анизотропия никеля и кобальта не учитывалась припроведении расчетов.При моделировании были использованы следующие параметры материалов: = 10−11 Дж/м, = 4.82 · 105 А/м для ИО на основе никеля и = 3 · 10−11 Дж/м, = 1.4 · 106 А/м для ИО, выполненных изкобальта [44, 284, 285]. Как было указано выше важной характеристикой√︀ферромагнитного материала является обменная длина: exch = 2/0 S2 .57Обменная длина позволяет оценить расстояния, на которых преобладаетобменное взаимодействие.
Следовательно, ожидается, что на расстояниях порядка обменной длины направление намагниченности должно слабоизменяться. Обменная длина составляет 8.3 и 4.9 nm для образцов, выполненных из никеля и кобальта соответственно.Ключевым параметром, контролирующим корректность микромагнитных вычислений, является линейный размер конечного элемента. Для достижения приемлемой точности он не должен превышать обменной длины [286]. Однако линейный размер элементарной ячейки ИО составляетпорядка 700 nm. Моделирование распределения намагниченности в объекте такого размера представляет собой достаточно сложную вычислительную задачу даже для высокопроизводительных вычислительных систем. В результате оказывается невозможным рассчитать распределениенамагниченности не только во всем образце, но даже в нескольких соседних элементарных ячейках. Таким образом, в данной работе микромагнитные вычисления проводились только для одной элементарной ячейки ИО.Тем не менее, как будет показано далее, вычисление распределения намагниченности даже в одной элементарной ячейке позволило установитьосновные магнитные свойства ИО и получить количественное согласие сэкспериментальными данными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
