Диссертация (1149533), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Среди таких характеристик можно отметить ляпуновское время TL (1.13) и усредненный параметр MEGNO (1.19), в основе которых лежит ляпуновское характеристическое число (LCN), определяющее количественную меру скорости расхождения первоначально близких траекторий. Ляпуновское время TL представляет собой инверсию LCN, а параметр MEGNO – есть взвешенная по времени интегральная форма ляпуновскогохарактеристического числа.В последнее время для исследования динамики астероидов на относительно коротких интервалах времени стали использоваться так называемые быстрые ляпуновские индикаторы.
Всеони основаны на решении уравнений в вариациях, определяющих эволюцию касательного вектора изучаемой орбиты (Шефер, 2011; Шефер, Коксин, 2013). К быстрым ляпуновским индикаторам также относится параметр MEGNO (Mean Exponential Growth of Nearby Orbit), то есть среднее экспоненциальное расхождение близких орбит (Cincotta et al, 2003). В нашей работе (Быкова и др., 2011) показано, что в качестве характеристики хаотического движения АСЗ целесообразно использовать именно этот индикатор хаотичности.
Такой выбор обусловлен тем, что параметр MEGNO позволяет уверенно разделять регулярный и хаотический режимы движения астероидов на относительно небольших интервалах времени и определять характер их орбит.В нижеследующих параграфах представлены результаты MEGNO–анализа движения всехАСЗ, известных на эпоху 18.04.2013, и даны оценки времени предсказуемости их орбит. Подробное описание алгоритма и программы для вычисления параметра MEGNO приведено в первой ивторой главах данной работы.
Для хаотических орбит с экспоненциальным расхождением близ-45ких траекторий усредненный параметр MEGNO всегда будет больше двух, причем, в среднем,будет наблюдаться его линейное возрастание. Для квазипериодических (регулярных) орбит с линейным расхождением близких траекторий усредненный параметр MEGNO будет осциллироватьоколо значения 2, а для устойчивых орбит типа гармонического осциллятора всегда будет равеннулю (Cincotta et al, 2003).3.1 Сравнительный анализ численных методов оценивания хаотичностиорбит АСЗВ задаче прогнозирования динамики АСЗ встает вопрос о выборе метода оценки временипрогнозируемости их движения.
С целью выявление наиболее точного метода определения характеристик хаотического движения было проведено сравнение различных численных алгоритмов оценки времени предсказуемости движения АСЗ. В качестве параметра, на основе которогопроводилась оценка, использовалось ляпуновское характеристическое число (LCN), определяющее среднюю скорость расхождения первоначально близких траекторий.Было рассмотрено три алгоритма определения времени предсказуемости движения АСЗ:два алгоритма вычисления ляпуновского времени (метод теневой траектории и метод вариациипараметра) и MEGNO-анализ. Остановимся на них подробней.Метод теневой траектории. Принимая q x, x в качестве вектора состоянияисследуемого астероида в прямоугольной системе координат, уравнения его движения будутиметь вид (1.14).
Интегрируя эти уравнения для исследуемого объекта и пробной частицы сначальными условиями, незначительно отличающимися друг от друга, получим опорнуютраекторию и некоторую теневую траекторию. Затем находим скорость расхождения этихпервоначально близких траекторий как функцию времени по формуле d t ln d t0 t .t t0(3.1)Если траектории квазипериодические, то d растет в среднем линейно и (t) со временем стремится кнулю, если траектории хаотические, то d растет экспоненциально и (t) стремится к некоторойположительной константе (Murray, Dermott, 1999).
Представляя зависимость величины отвремени графически в логарифмической шкале, определяем момент времени, начиная с которого приближается к некоторому постоянному значению и колеблется около него. Таким образом,характер полученной траектории определяется из графиков зависимости lg((t)) от lg(t).Применение этого алгоритма на больших интервалах времени может привести к вычислительным трудностям, связанным с тем, что первоначально близкие траектории могут разойтись46так далеко, что локальную скорость расхождения определить будет невозможно. Эта трудностьпреодолевается перенормировкой вектора отклонения траекторий с некоторым временным шагом t (Wisdom, 1983).
Тогда на интервале времени в N шагов вычисляется по формулеN 1 N ln hk ,N t k 1(3.2)где hk ― отношение расстояний между опорной и теневой фазовыми точками до и после перенормировки в момент tk .Вариационный метод. Ляпуновское характеристическое число (LCN) может бытьвычислено из решения вариационных уравнений.Обозначим начальное малое отклонение вектора состояния q через δ = δ(t0). Эволюциюэтого отклонения со временем δ(t) с точностью до малых первого порядка можно описатьвариационным уравнением вида (1.15).Тогда средняя скорость расхождения первоначально близких траекторий определится поформуле (Wisdom, 1983) t ln t0 t t t0,(3.3)где ||δ(t)|| = δ – евклидова длина вектора отклонения δ(t).Характер траектории определяется, как и в предыдущем алгоритме, из графиковзависимости lg((t)) от lg(t).MEGNO–анализ.
В данном методе в качестве основной характеристики среднегоэкспоненциального расхождения двух близких траекторий рассматривается взвешенная повремени интегральная величина ляпуновского характеристического числа LCN, так называемыйусредненный параметр MEGNO. Алгоритм определения параметра MEGNO и его усредненнойвеличины приведен в пункте 1.4.2 данной работы.Описанные алгоритмы были применены для оценки времени предсказуемости движенияАСЗ c орбитами различных классов. Рассмотрена орбитальная эволюция АСЗ 4179 Toutatis,2608 Seneca и 887 Alinda, движущихся в окрестности резонанса 3/1 с Юпитером, 3753 Cruithne,движущегосявокрестностирезонанса1/1сЗемлей,астероидов99942 Apophis,153814 2001 WN5, проходящих через сферу тяготения Земли, а также астероида 10 Hygiea,принадлежащего Главному поясу астероидов.Движение астероидов рассматривалось в рамках возмущенной задачи двух тел впрямоугольной гелиоцентрической системе координат.
Начальные значения кеплеровских47элементов орбит перечисленных астероидов (a, e, i, , , M0) были взяты из каталога Е. Боуэлла(www: ftp://ftp.lowell.edu/pub/elgb/astorb.dat) на эпоху t0 = 08.02.2011 и представлены втаблице 3.1.Таблица 3.1 ― Кеплеровские элементы орбит астероидовa, а.е.ei, град, град, град4179 Toutatis2.530381440.629207710.446325124.436563278.594448887 Alinda2.478183370.567119409.355106110.553824350.3046632608 Seneca2.510081430.5759871714.970634168.44736935.9088333753 Cruithne0.997620690.5149333919.808466126.26774943.78762199942 Apophis0.922294210.191115383.331899204.431337126.424970153814 2001 WN51.711712240.467147241.921886277.64951844.38963010 Hygiea3.139754530.116677703.840415283.424666313.041702ОбъектИнтегрирование уравнений движения проводилось численно методом Эверхарта спеременным шагом на допустимом интервале времени, на котором сохраняется приемлемаяточность.
Точность интегрирования оценивалась путем сравнения результатов прямого иобратного интегрирования. В качестве приемлемой погрешности принималось значение, непревышающее 108 а. е. в величине вектора положения АСЗ. Параметры интегратора выбиралисьдля каждого объекта индивидуально для достижения оптимального соотношения точность–быстродействие. В модель сил включено влияние больших планет, Плутона, Луны, трех самыхкрупных астероидов: Цереры, Паллады, Весты. При исследовании движения астероидов,попадающих в сферу тяготения Земли (99942 Apophis и 153814 2001 WN5), также учитывалосьвлияние светового давления и сжатия Земли.На рисунках 3.1–3.3 показаны сближения рассматриваемых АСЗ с большими планетами иэволюция резонансной щели для резонансных астероидов.
Сближения и эволюция представлены на интервале времени от начальной эпохи t0 до 3000 года для резонансных объектов и до2200 года для астероидов, проходящих через сферу тяготения Земли.Как показывают рисунки, все исследуемые астероиды имеют сближения с внутреннимипланетами, из них три объекта имеют много сближений, в том числе тесных. Это – 4179 Toutatis,находящийся в неустойчивом резонансе с Юпитером, 99942 Apophis и 153814 2001 WN5, проходящие через сферу тяготения Земли. При интегрировании уравнений движения этих объектов изза тесных сближений быстро накапливается ошибка округления, вследствие чего прогнозироватьих орбитальную эволюцию на большой интервал времени не удается даже на длинной разряднойсетке.48а1а2б1б2Рисунок 3.1 — Сближения с большими планетами и эволюция резонансной щели для астероидов4179 Toutatis (а1, б1) и 2608 Seneca (а2, б2); d – расстояние до планеты в а.е., – в (/сут), T – время вгодах.
Сближения с Венерой показаны знаком (○), с Землей – (●), с Марсом – (*)а1а2б1б2Рисунок 3.2 — Сближения с большими планетами и эволюция резонансной щели для астероидов887 Alinda (а1, б1) и 3753 Cruithne (а2, б2); d – расстояние до планеты в а.е., – в (/сут), T – время в годах. Сближения с Землей показаны знаком (●), с Марсом – (*)а1а2Рисунок 3.3 — Сближения с Венерой (○), Землей (●) и Марсом (*)для астероидов 99942 Apophis (а1) и153814 2001 WN5 (а2); d – расстояние до планеты в а.е., T – время в годах49Среди всех рассмотренных АСЗ выделяется астероид 887 Alinda, который находится вустойчивой резонансной геометрической конфигурации «астероид–Юпитер» и не имеет на рассматриваемом интервале времени тесных сближений с планетами. Уравнения движения этогообъекта удается проинтегрировать с приемлемой точностью, по крайней мере, на 6000 лет.Для всех указанных АСЗ были выполнены оценки хаотичности их движения с помощьюописанных алгоритмов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
