Автореферат (1149429), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Мы называем такое поле PT-омом. Используятехнику общей псевдоэрмитовой теории, показано, что космология двухскалярных полей с PT-омом имеет вещественный спектр энергии.Научная новизна. В настоящей работе была впервые построена интегрируемая модель космологии с несколькими скалярными полями, потенциалы которых являются экспоненцильными функциями. В работепредложен интеграл движения как калибровочное условие, полученатраектория в минисуперпространстве, с которой можно прямо сравнитьгауссовский пакет.Впервые было проведено исследование PT-симметричной теории вквантовой космологии для решения проблемы фантома в рамках геометродинамики. Получено, что PT-симметричная космология имеет вещественный спектр энергии.Теоретическая и практическая значимость. В первой части диссертации предлагается интеграл движения как калибровочное условиедля модель Луивилля, решение которой неявно зависит от параметравремени, так что сравнение с квазиклассической теорией становится более прямым.Точно решаемая модель с несколькими полями, изложенная в диссертации, может быть использована для построения модели темной энергии с индексом уравнения состояния, пересекающим линию w = 1(phantom dividing line), а также для развития РТ-симметричной теории,применимой в космологии.Методология и методы исследования.
Исследования, составляющие диссертацию, проводились методами геометродинамики в приближении минисуперпространства (см. Рис. 1) и псевдо-эрмитовой квантовой механики. Первый метод позволяет интегрировать уравнение УилераДеВитта, рассмотреть космологическую сингулярность и доинфляционные условия; второй позволяет исследовать неэрмитовую квантовую космологию, получить вещественный спектр энергий Вселенной. Подробноеизложение см. в главе 1.Положения, выносимые на защиту:6• Используя интегралы движения на связях как калибровочные условия, решены уравнения Фридмана с тремя типами полей Лиувилля. Решения являются траекториями в МСП, которые неявно зависят от времени.
Полученные решения сопоставлены с волновымипакетами в квантовой теории.• Построена интегрируемая модель с несколькими скалярными полями, при помощи специальной кинетической матрицы, котораяобеспечивает возможность разделения переменных. Для этой модели получены решения уравнения Уилера-ДеВитта в терминахспециальных функций.• Для описания периода эволюции Вселенной с индексом уравнениясостояния меньше -1, применена идея PT-симметрии: рассмотренаквантовая геометродинамика с двумя типами скалярных полей, одно – типа квинтэссенции, другое – типа РТ-ома. Показано, что дляпериодических граничных условий спектр энергий вещественный.Степень достоверности и апробация результатов.
Результаты,изложенные в диссертации, опубликованы в 2 печатных работах из списка ВАК, докладывались и обсуждались на 4 международных конференциях:Публикации:1. Andrianov A. A., Novikov O. O., Lan Chen. Quantum cosmology ofmulti field scalar matter: Some exact solutions[J]. Theoretical andMathematical Physics, 2015, 184(3): 1224-1233.2. Andrianov A. A., Lan Chen, Novikov O. O. PT-Symmetric Classicaland Quantum Cosmology// In: Non-Hermitian Hamiltonians in QuantumPhysics. Springer Proceedings in Physics 184, 2016: 29-44.Доклады на конференциях:1. 2016. �QUARKS-2016�.
19th International Seminar on High EnergyPhysics.2. 2015. 15th International Workshop on Pseudo-Hermitian Hamiltoniansin Quantum Physics.73. 2015. 5th International Conference ”Models in Quantum Field Theory”,dedicated to Alexander Nikolaevich Vasiliev.4. 2014.
International Conference dedicated to the Yu.V. Novozhilov’s90-th anniversary. In Search of Fundamental Symmetries.Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают вклад автора в опубликованныеработы. Подготовка к публикации полученных результатов проводиласьсовместно с соавторами. Все представленные в диссертации результатыполучены авторам самостоятельно.Структура и объем диссертации.
Диссертация включает в себявведение, 4 главы основного текста, заключение и приложение. Объемдиссертации составляет 79 страниц, включая 23 рисунка. Список литературы содержит 51 источник.Содержание работыВо введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана значимость полученных результатов, представлены выносимыена защиту научные положения.Первая глава представляет собой обзор литературы, связанной стемой диссертационного исследования. Используя простые примеры, изложены основные идеи, посвященные геометродинамике в приближенииминисуперпространства и применения в ней РТ-симметричной квантовой теории.
Указаны основные вопросы, связанные с квантовой гравитацией.Во второй главе рассмотрены модели с одним скалярным полем,получены решения классических уравнений движения в новых калибровках, выражающихся через интегралы движения. Также изучены теже модели в квазиклассическом приближении, получены волновые пакеты, проведено их сравнение с траекториями в минисуперпространстве.Модели классифицируются по виду скалярных полей с потенциаламиЛиувилля: квинтэссенция, обозначается символом , фантом, обозначается символом и PT-ом, обозначается .
Соответствующие лагранжи8аны имеют вид2˙23 ↵˙+{ N 2 2N 2L = N e3↵Ve!(1)◆3 ↵˙ 2˙2L = NeVe(2){ N 2 2N 2✓◆223↵˙˙L = N e3↵+V ei,(3)22{N2Nгде N – функция хода, { = 8⇡G, a = exp ↵ – масштабный фактор и всепараметры, входящие в лагранжианы – вещественные.В качестве калибровочных условий выбраны уравнения для интегралов движения на связи!˙↵˙! = e3↵+(4){N N✓◆↵˙˙! = e3↵(5){N N✓◆↵˙˙! = e3↵ i+.(6){N NТакие калибровки позволяют сразу получить классические траектории вминисуперпространстве, следовательно, сравнение с квазиклассическимслучаем становится легким.
Рис. 2–5 показывают классические решенияи волновые пакеты.Третья глава посвящена интегрируемой модели космологии с несколькими скалярными полями. Для этого вводятся нетривиальные кинетические члены, которые включают в себя специальное смешивание такое,что в конечном итоге можно разделить переменные в уравнении УилераДеВитта и найти его точные решения в терминах специальных функций.Лагранжиан такой модели имеет вид01Z˙a ˙b X3 ↵˙ 21XS = dt N e3↵ @+MVa e a a A ,(7)ab2{N2NNa3↵✓a,bгде a (a = 1, ..., n) набор n-скалярных полей, Mab – n ⇥ n мерная матрица,✓◆6{a bPMab =,=,(8)abdadb1 + 6{ a da 19Рис.
2: Квинтэссенция с положительным потенциалом Лиувилля, слева– волновой пакет | (↵, )|, справа – классическая траектория в минисуперпространстве.Рис. 3: Квинтэссенция с отрицательным потенциалом Лиувилля, слева– волновой пакет | |, справа – классическая траектория в минисуперпространстве.da ненулевые константы и обратная матрица Mab✓◆d6{a(M 1 )ab =.ab +daa bПри преобразовании xa = 6↵ +a a,10(9)модель может быть решена в га-Рис. 4: Фантом с потенциалом Лиувилля, слева – волновой пакет | |,справа – классическая траектория в минисуперпространстве.Рис.
5: Фантом с постояным потенциалом, слева – волновой пакет | |,справа – классическая траектория в минисуперпространстве.мильтоновом формализме:ex a =Easech2da VaEa(t + t0 )2#{xa ,da✓◆X{! 2daEa =6{ ++ Ca d a ,Ca = 0.12na↵a =где"r2Ea!tda11(10)(11)(12)Здесь константы Ea могут быть либо положительными, либо отрицательными.Решение уравнения УДВ имеет два типаs!pxa22|Ea |i{!x22|V|a1~da Ke2 , ⌫=(13)i⌫a = e~ |da |~|da |для Ea > 0, da , Va > 0 и Ea > 0, da < 0, Va < 0, иs!px22|Ea |i{!x22|V|aa2~da Je2 , ⌫=⌫a = e~ |da |~|da |(14)для Ea < 0, da < 0, Va > 0 и Ea < 0, da > 0, Va < 0.
Таким образом,волновой пакет построен такZYi1 2= d! A(!)e ~ !↵(15)a b.a,bЧетвертая глава посвящена применению РТ-симметричной теориив геометродинамике. Для этого построен РТ-симметричный лагранжианматерии"!#2˙2˙ ˙111˙L = N e3↵+i+V1 e 1 + V2 ei 2 , (16)2221+2NN N 2Nгде= 6{/(1 2)2 R, и1,22 R, РТ-симметрия значитPT ↵PT = ↵, PT PT = , PT PT =PT iPT = i, PT N PT = N.,(17)Теперь заменим переменные в лагранжиане L ,x = 6↵ +тогда решениями являются✓2↵ = ↵0 + { !t1,iz = 6↵ + i2,◆11{x i{z++m1 m2m1m2"r#EExxex =sech2(t + t0 )m1 V 1216{12(18)(19)(20)Ezeiz =sech2m2 V 2где"r#Ez(t + t0 ) ,2(21)⌘⌘{! 2 ⇣m1{! 2 ⇣m2Ex =6{ ++ Cm1 , Ez =6{+ Cm2 .
(22)122122Рис. 6 и 7 показывают сравнение индекса уравнения состояния междутеорией с фантомом и с РТ-омом.0.50.0!0.5!1.0!1.50.70.80.91.01.11.21.31.4w!a"Рис. 6: w(a)- РТ-ом!0.5!1.0!1.5!2.00.81.01.21.4w!a"Рис. 7: w(a)-ФантомКвантование этой теории описано через уравнение ВДВ{~2 2@12 ↵m 1 ~2 2@2 xm 2 ~2 2@ + {~2 @x @↵2 z!i{~2 @z @↵ + V1 ex13V2 eiz(↵, x, z) = 0.(23)Чтобы решить его, разложим переменные при помощи анзацаi(↵, x, z) = e ~ ↵!(24)1 (x, !) 2 (z, !)и получаем{! 212✓1+C2◆1+ V1 ex1+ i{!~@x1m 1 ~2 2@2 x1=0(25)✓◆{! 2 1m 2 ~2 2izCV2 e 2 + {!~@z 2@ 2 = 0.(26)212 22 zПредположим, что z вещественно, это приводит к периодическому потенциалу. Наложим периодическое условие для волновой функции РТома, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
