Автореферат (1149396), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Фиксируем вложение многообразия в R для достаточно большого.ˆ : ÑОбозначим через дифференциал отображения R , соответствующего векторному полю при вложении многообразия в R . Зададим расстояние между двумя гладкимивекторными полями , на многообразии следующим образом:1 p, q “ 0 p, q ` max }pq ´ pq} ,P0 p, q “ max |pq ´ pq| .PНесложно проверить, что так определённая функция 1 – метрикана множестве гладких векторных полей на многообразии .Определение 2.

Векторное поле называется структурноустойчивым, если существует такая его окрестность в пространстве (с топологией, порождённой метрикой 1 ), что длялюбого векторного поля P существует гомеоморфизм насебя, который отображает траектории потока, порождённого полем в траектории потока, порождённого полем , сохраняя ихориентацию.Точка называется точкой покоя для потока Φ, если Φp, q “ для любого P R.Основным результатом главы является следующая теорема:Теорема 2. Пусть у потока Φ нет точек покоя. В этом случаепоток Φ структурно устойчив тогда и только тогда, когда Φ PLISP.Во третьей главе определяется гёльдерово обратное отслеживание для диффеоморфизмов и доказывается его эквивалентность структурной устойчивости при некоторых значениях экспонент.10Пусть — диффеоморфизм замкнутого гладкого многообразия с римановой метрикой dist.Определение 9.

Будем говорить, что диффеоморфизм обладает гёльдеровым свойством обратного отслеживания с показателем ą 0 на траектории точки P , если существуют такиеположительные константы 0 , , что для любого -метода t uкласса Θ с ď 0 найдётся такая траектория t u метода t u,что выполнены неравенстваdistp , pqq ă , P Z.Определение 10. Будем говорить, что диффеоморфизм обладает гёльдеровым свойством обратного отслеживания с показателем ą 0, если он обладает гёльдеровым свойством обратногоотслеживания с показателем на траектории любой точки P .Будем писать, соответственно, P HISPpq.Для формулировки основного результата понадобится следующее определение:Определение 11.

Пусть P p0, 1s. Мы будем обозначать черезDiff 1` p q множество таких диффеоморфизмов : Ñ , чтодля любой точки существуют такие окрестность нуля Ă и число ą 0, что выполняется следующая оценка:`˘dist pexp pqq, exp pq p pqq ď ||1` , P .Замечание 1.

Очевидно, что Diff 1` p q Ă Diff 1 p q, поэтомуможно говорить о структурной устойчивости P Diff 1` p q.Основным результатом главы является следующая теорема:Теорема 3. Пусть P Diff 1` p q, P p0, 1s и пусть число таково, что 1 ą ą 1{p1 ` q. Диффеоморфзим структурноустойчив тогда и только тогда, когда P HISPpq.11В четвёртой главе приводится обзор имеющихся результатов,связанных с двусторонним предельным отслеживанием для диффеоморфизмов, определяется липшицево двустороннее предельное отслеживание для диффеоморфизмов и доказывается его эквивалентность структурной устойчивости.Пусть — диффеоморфизм замкнутого гладкого многообразия с римановой метрикой dist.Пусть – неотрицательное вещественное число.

Обозначимбанахово пространство последовательностей “ t u векторовиз R , занумерованных целыми числами, с ограниченной нормой }} “ sup | | p|| ` 1q , через pZq.PZОпределение 3. Последовательность “ t uPZ точек назовём -убывающей -псевдотраекторией динамической системы , если }t pqu} ă .Определение 4. Диффеоморфизм обладает липшицевым двусторонним предельным свойством отслеживания с показателем, если существуют такие положительные константы 0 , ą 0,что для любой -убывающей -псевдотраектории t u с ď 0существует такая точка P , что›( ›› distp pq, q› ă .PZ В таком случае будет использоваться обозначение LTSLmSPpq .PОсновным результатом главы является следующая теорема:Теорема 4.

Диффеоморфизм структурно устойчив тогда итолько тогда, когда P LTSLmSPpq.12Публикации автора по теме диссертации врецензируемых научных журналах:1. Пилюгин С. Ю., Вольфсон Г. И., Тодоров Д. И. Динамические системы с липшицевыми обратными свойствамиотслеживания // Вестник СПбГУ. 2011. Т. 3, № 1.

С. 48–54.2. Todorov D. Generalizations of analogs of theorems of Maizeland Pliss and their application in shadowing theory // DiscreteContin. Dyn. Syst. 2013. Т. 33, № 9. С. 4187–4205.3. Todorov D. Lipschitz Inverse Shadowing For NonsingularFlows // Dynamical Systems: An International Journal. 2014.Т. 29. С. 40–55.Другие публикации автора:4. Todorov D. Analogues of Theorems of Maizel And Pliss AndTheir Applications in The Shadowing Theory // 2011 KyotoWorkshop on NOLTA, Киото, Япония, 2011, C. 13, тезисы докладов.5. Todorov D.

Analogs of Theorems of Maizel And Pliss And TheirApplication in Shadowing Theory // Международная конференция “Dynamical Systems 100 years after Poincaré”, Хихон, Испания, 2012, C. 101, тезисы докладов.6. Todorov D. Lipschitz inverse shadowing for nonsingular flows //Международная конференция “Динамика, бифуркации истранные аттракторы”, Нижний Новгород, Россия, 2013,C. 109, тезисы докладов.13.

Характеристики

Список файлов диссертации