Автореферат (1149396)
Текст из файла
На правах рукописиТодоров Дмитрий ИгоревичДИФФЕОМОРФИЗМЫ И ПОТОКИ НАГЛАДКИХ МНОГООБРАЗИЯХ СОСВОЙСТВАМИ ОТСЛЕЖИВАНИЯСпециальность 01.01.04 — Геометрия и топологияАВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание учёной степеникандидата физико-математических наукСанкт-Петербург2014Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственномуниверситете.Научный руководитель: доктор физико-математических наук,профессорПИЛЮГИНСергейЮрьевич,СанктПетербургский государственный университет, профессорОфициальные оппоненты:МАЛЮТИНАндрейВалерьевич,докторфизикоматематических наук, ПОМИ РАН, ведущий научный сотрудникБЕГУНЕвгенияНиколаевна,кандидатфизикоматематических наук, доцент, Санкт-Петербургский государственный университет кино и телевидения, доцентВедущая организация: Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций имени проф.
М. А. БончБруевичаЗащита состоится 24 сентября 2014 г. в 18 часов на заседании диссертационного совета Д 212.232.29 при СанктПетербургском государственном университете по адресу: 198504,Санкт-Петербург, В.О. 10 линия 33-35, ауд. 74.С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотекеим. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9 и на сайте http://spbu.ru/science/disser/dissertatsiidopushchennye-k-zashchite-i-svedeniya-o-zashchite.Автореферат разослан “Ученый секретарьдиссертационного совета”2014 г.НежинскийВладимир МихайловичОбщая характеристика работыАктуальность темыКлассической задачей при изучении глобальной структурымножества диффеоморфизмов замкнутого гладкого многообразия является задача о характеризации множества диффеоморфизмов, топологически сопряжённых с их 1 -малыми возмущениями. Такие диффеоморфизмы называются структурно устойчивыми (определение структурной устойчивости восходит к Андронову и Понтрягину).Вопросу об условиях, при которых диффеоморфизм иливекторное поле являются структурно устойчивыми, посвящены многочисленные исследования.В последнее десятилетие появились работы, в которых структурная устойчивость характеризуется в терминах свойства отслеживания приближённых траекторий (псевдотраекторий).Так, было показано, что 1 -внутренность множества диффеоморфизмов, обладающих свойством отслеживания, совпадает сомножеством структурно устойчивых диффеоморфизмов.
Аналогичный результат был доказан для векторных полей без точекпокоя.Позднее оказалось, что структурную устойчивость можно характеризовать, накладывая дополнительные условия на свойствоотслеживания; так, показано, что липшицево свойство отслеживания эквивалентно структурной устойчивости.Цель работыЦель работы состоит в нахождении новых достаточных условий структурной устойчивости диффеморфизмов и потоков назамкнутых гладких многообразиях.3Методы исследованийВ качестве основного инструмента при изучении диффеоморфизмов используется теорема Мане о необходимом и достаточном условиях структурной устойчивости. Технически, применение теоремы Мане сводится к использованию дискретного аналога теоремы Плисса о связи между разрешимостью систем разностных уравнений и гиперболичностью последовательности коэффициентов.
Доказательство теоремы, усиливающей этот дискретный аналог теоремы Плисса, приводится в приложении.При изучении потоков дискретный аналог теоремы Плиссаиспользуется для доказательства гиперболичности неблуждающего множества и выполнения строгого условия трансверсальности. Классическая теория гиперболических систем, в свою очередь, гарантирует, что выполнение двух этих свойств эквивалентно структурной устойчивости в случае отсутствия точек покоя.Основные результаты работыДоказывается эквивалентность структурной устойчивости илипшицева обратного отслеживания для диффеоморфизмов игладких векторных полей, гёльдерова обратного отслеживаниядля диффеоморфизмов, и одного из вариантов предельного свойства отслеживания.Научная новизнаВсе результаты диссертации являются новыми.Теоретическая и практическая ценностьРабота носит теоретический характер.
Полученные результаты позволяют характеризовать множество структурноустойчивых систем с помощью различных свойств липшицеваобратного и предельного отслеживания.4С точки зрения приложений результаты диссертации можноинтерпретировать как доказательство невозможности хорошегочисленного приближения негиперболических систем.Апробация работыРезультаты диссертационной работы были изложены на следующих конференциях и семинарах:1. семинар в Boston University – Бостон, США, 2013;2. семинар в Georgia Institute of Technology – Атланта, США,2013;3. семинар в Northwestern University – Чикаго, США, 2013;4.
Динамика, бифуркации и странные аттракторы – НижнийНовгород, Россия, 2013;5. International Conference Beyond Uniform Hyperbolicity–Бедлево, Польша, 2013;6. Dynamical Systems: 100 years after Poincaré – Хихон, Испания, 2012;7. Dynamics, Topology and Computations – Бедлево, Польша,2012;8. ICTP-ESF School and Conference in Dynamical Systems –Триест, Италия, 2012;9.
семинар в Université de Bretagne Occidentale – Брест, Франция, 2012;10. семинар в IRMAR – Ренн, Франция, 2012;11. IUTAM Symposium on 50 Years of Chaos: Applied andTheoretical – Киото, Япония, 2011;512. семинар по динамическим системам в лаб. им. П.Л. Чебышёва – Санк-Петербург, Россия, 2011, 2012, 2013.ПубликацииОсновные результаты диссертации опубликованы в печатныхработах автора [1–3] в рецензируемых научных журналах из перечня ВАК, ссылки на которые приведены в конце автореферата.Работа [1] написана в соавторстве. Диссертанту принадлежитдоказательство для случая класса методов Θ , соавторам – постановка задачи, введение и доказательство для случая классаметодов Θ .Структура и объём диссертацииДиссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения,приложения и списка литературы.
Список литературы включает42 названия. Объём диссертации 72 страницы.Содержание диссертацииВ первой главе приводится обзор имеющихся результатов,связанных с липшицевым отслеживанием для диффеоморфизмов, определяется липшицево обратное отслеживание для диффеоморфизмов и доказывается его эквивалентность структурнойустойчивости.Пусть – диффеоморфизм класса 1 замкнутого гладкогомногообразия с римановой метрикой dist. Здесь и далее всегда будут иметься в виду многообразия гладкости 8 .
Обозначим “ dim . Пусть ą 0.Определение 1. Будем называть -псевдотраекторией последовательность t uPZ точек , для которой выполнены нера-6венстваdistp`1 , p qq ă , P Z.Мы будем рассматривать свойства обратного отслеживанияпсевдотраекторий, порождённых двумя классами методов.Определение 2. Будем называть -методом класса Θ семействонепрерывных отображений t uPZ , : Ñ , для котороговыполнены неравенстваdistp pq, pqq ă , P , P Z.Последовательность t uPZ точек называется траекторией-метода t u класса Θ , если`1 “ p q, P Z.Определение 3.
Будем называть -методом класса Θ семействонепрерывных отображений t uPZ , : Ñ , для котороговыполнено следующее:0 “ Id;distp p pqq, `1 pqq ă , P , P Z.Последовательность t uPZ точек называется траекторией-метода t u класса Θ , если существует такая точка P , что “ pq, P Z.Определение 4.
Будем говорить, что диффеоморфизм обладаетлипшицевым свойством обратного отслеживания относительнокласса Θ (класса Θ ) на траектории точки P , если существуют такие положительные константы 0 , , что для любого-метода t u класса Θ (класса Θ ) с ď 0 найдется такаятраектория t u метода t u, что выполнены неравенстваdistp , pqq ă ,7 P Z.Определение 5. Будем говорить, что диффеоморфизм обладает липшицевым свойством обратного отслеживания относительно класса Θ (класса Θ ), если он обладает липшицевымсвойством обратного отслеживания относительно этого класса натраектории каждой точки P . Будем писать, соответственно, P LISP или P LISP .Рассмотрим множество Diff 1 p q гладких диффеоморфизмов на себя. Хорошо известно, что любое гладкое замкнутое многообразие вкладывается в R для некоторого натурального .
Тогда можно отождествить касательное пространство и пространство R Ă R для любой точки P .Пусть P Diff 1 p q. Дифференциал pq действует из одного -мерного подпространства R в другое -мерное подпространство R . Определим расстояние между диффеоморфизмами1 , 2 P Diff 1 p q следующим образом:1 p1 , 2 q “ 0 p1 , 2 q ` sup } pq ´ pq} ,Pгде }¨} – стандартная операторная норма и˘`0 p1 , 2 q “ max max distp1 pq, 2 pqq, distp1´1 pq, 2´1 pqq .PОчевидно, 1 является метрикой на пространстве Diff 1 p q. Топологию, порождённую такой метрикой, называют 1 -топологией.Определение 1.
Диффеоморфизм называется структурноустойчивым, если существует такая окрестность диффеоморфизма в 1 -топологии, что любой диффеоморфизм P топологически сопряжен с .Множество структурно устойчивых диффеоморфизмов будемобозначать через .Основным результатом главы является следующая теорема:Теорема 1. Следующие условия эквиваленты:8• диффеоморфизм структурно устойчив• P LISP• P LISP .Во второй главе определяется липшицево обратное отслеживание для потоков и доказывается его эквивалентность структурной устойчивости.Пусть Φ — поток на замкнутом гладком многообразии сримановой метрикой dist. Пусть ą 0.Определение 6.
Будем говорить, что отображение : R Ñ является -псевдотраекторией для потока Φ, если для любого PRdist pp ` q, Φp, pqqq ă , P r´1, 1s.Определение 7. Будем говорить, что гладкое отображение Ψ :R ˆ Ñ является -методом для потока Φ, если для любогоPRdist pΨp ` , q, Φp, Ψp, qqq ă , P r´1, 1s,и Ψp0, q “ для любого P .Обозначим через Rep множество всех возрастающих гомеоморфизмов : R Ñ R, для которых p0q “ 0. Введём такжеследующее обозначение:ˇ⃒ˇ*"ˇ⃒ ˇ pq ´ pqˇ⃒ˇ´ 1ˇ ď , ‰ .Rep pq “ P Rep ⃒ ˇ´Определение 8. Будем говорить, что поток Φ обладает свойствомлипшицева обратного отслеживания (Φ P LISP), если для любойточки P существуют такие константы , 0 , что для каждого-метода Ψ при ď 0 существуют такая точка ˆpq P и такаярепараметризация P Rep pq , чтоdistpΦp, q, Ψppq, ˆpq qq ă ,9 P R.Пусть поток Φ порождён 1 векторным полем на .
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
