Диссертация (1149357), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Подставляя решение из уравнения (2.18), получим:|2 | =1 2 |(( − ) + 1 1 ℎ1 1 +22˜|1 − 21 22 + 22 12 |+ 2 2 ℎ2 2 )(11 1 − 21 2 ) − (0 0 + 1 1 1 + 2 2 2 )(21 1 − 22 2 )|.(2.19)Рисунок 2.5: АЧХ длинного несимметричного и симметричного роторов снеидеальным АБУНа рис. 2.5 представлена зависимость безразмерных амплитуд прецессион-¯1 = 1 /(1 + 2 ) (сплошная кривая) и ¯2 = 2 (пунктир)√︀частоты = /11 /0 для "длинного"ротора, расчитанныеных движенийотбезразмернойизсоотношений (2.18) и (2.19). Правый график соответствует симметричному ротору (1= 2 = 0.5м); левый — несимметричному (11= 1/3м,2 = 2/3м).Расчет проведен при следующих значениях параметров:0 = 10кг, = 0.01,1 = 2 = 0.07 = 0.02,ℎ1 = ℎ2 = 0.45 м,1 = 1,кг,1 = 2 = 1кг,2 = 1 + /2, 1 = 2 = 0.005 м,(2.20)1 = 2 = 0.1 м, 0 = 0.01 м.Из графиков видно, что в области первой критической скорости движениенесимметричного длинного ротора представляет собой суперпозицию цилин-67дрической и конической прецессий, которую будем далее называть гиперболоидальной [59], а движение симметричного ротора близко к цилиндрическойпрецессии, так как амплитуда угловой прецессии мала.
В области второй критической скорости у обоих типов роторов движение в силу малости амплитуды¯1близко к конической прецессии, которая уменьшается в закритической области.Рисунок 2.6: Процесс установления полусбалансированного режимаПроцесс установления полусбалансированного режима при постоянной угловой скорости вращения ротораслучае, когда массы шариков = 600с−1продемонстрирован на рис. 2.6 в1 = 2 = 0.375 кг. Прочие расчетные параметрыаналогичны (2.20).
В этом случае амплитуды прецессионного движения стре-68мятся к значениям, определяемым соотношениями (2.12) и отмеченные на левоми среднем графиках пунктиром. Балансировочные шарики при этом занимаютпозиции, определяемые соотношениями (2.14), которым отвечают пунктирныелинии на правом графике.Таким образом, результаты расчетов подтверждают, что для динамическинеуравновешенного ротора, оснащенного двухплоскостным эксцентрично насаженным АБУ, при выполнении условий (2.15), в закритической области устанавливается полусбалансированный режим с постоянными амплитудами остаточной вибрации, зависящими от эксцентриситетов АБУ и определяемыми формулами (2.12).Рисунок 2.7: Процесс установления несбалансированного режима69В случае невыполнения условий (2.15), для ротора, вращающегося с постоянной угловой скоростью = 600−1с, с массой шариков1 = 2 = 0.175кг.устанавливается стационарный несбалансированный режим.
Амплитуды прецессионного движения ротора и углы отклонения шариков АБУ в случае несбалансированного режима продемонстрированы на рис. 2.7. Мы видим, что однаиз обойм АБУ “не сработала” (левый нижний график), поскольку шарики, всилу недостаточной массы, не смогли разойтись и занять уравновешивающуюпозицию.2.3 Устойчивость стационарных режимовПервое уравнение системы (2.7) описывает движение точкищей системе координат. Поэтому координаты1 , 2и1 , 2во вращаю-являются медленноменяющимися функциями времени, а их производные можно считать малымипо сравнению с единицей. С учетом этого упростим уравнения (2.7), пренебрегая в них членами второго порядка малости.
Тогда упрощенные уравнения ввещественном виде будут выглядеть следующим образом:(11 1 + 12 2 + 2(0 + 1 + 2 )˙1 + 4(1 ℎ1 + 2 ℎ2 )˙2 ) − 11 ˙1 − 12 ˙2 ++ ( 2 (0 + 1 + 2 ) − 11 )1 + (2 2 (1 ℎ1 + 2 ℎ2 ) − 12 )2 + 2 (0 0 cos ++ 1 1 cos 1 + 2 2 cos 2 ) + 1 1 (cos 11 (˙ 11 + )2 + cos 21 (˙ 21 + )2 )++ 2 2 (cos 12 (˙ 12 + )2 + cos 22 (˙ 22 + )2 ) = 0,70− (11 1 + 12 2 + 2(0 + 1 + 2 )˙1 + 4(1 ℎ1 + 2 ℎ2 )˙2 ) − 11 ˙1 − 12 ˙2 ++ ( 2 (0 + 1 + 2 ) − 11 )1 + (2 2 (1 ℎ1 + 2 ℎ2 ) − 12 )2 + 2 (0 0 sin ++ 1 1 sin 1 + 2 2 sin 2 ) + 1 1 (sin 11 (˙ 11 + )2 + sin 21 (˙ 21 + )2 )++ 2 2 (sin 12 (˙ 12 + )2 + sin 22 (˙ 22 + )2 ) = 0, 2 (1 1 ℎ1 sin 1 + 2 2 ℎ2 sin 2 ) + ( 2 (1 ℎ1 + 2 ℎ2 ) − 12 )1 + ( 2 (1 ℎ21 + 2 ℎ22 + − ) − 22 )2 − (12 1 + 22 2 ) − 12 ˙1 − 22 ˙2 − 2(1 ℎ1 + 2 ℎ2 )˙1 ++ ( − 2( + 1 ℎ21 + 2 ℎ22 ))˙2 + 1 1 ℎ1 (sin 11 (˙ 11 + )2 + sin 21 (˙ 21 + )2 )++ 2 2 ℎ2 (sin 12 (˙ 12 + )2 + sin 22 (˙ 22 + )2 ) = 0, 2 (( − ) − (1 1 ℎ1 cos 1 + 2 2 ℎ2 cos 2 )) + ( 2 (1 ℎ1 + 2 ℎ2 ) − 12 )1 ++ ( 2 (1 ℎ21 + 2 ℎ22 + − ) − 22 )2 − (12 1 + 22 2 ) + 12 ˙1 + 22 ˙2 −− 2(1 ℎ1 + 2 ℎ2 )˙ 1 + ( − 2( + 1 ℎ21 + 2 ℎ22 + (3/4) 2 ))˙ 2 −− (3/4) ( 2 22 + ˙ 2 ) − 1 1 ℎ1 (cos 11 (˙ 11 + )2 + cos 21 (˙ 21 + )2 )−− 2 2 ℎ2 (cos 12 (˙ 12 + )2 + cos 22 (˙ 22 + )2 ) = 0,4 ˙ 1 + 1 1 (sin 1 ((1 cos 1 + 1 + ℎ1 2 ) + 2(˙ 1 + ℎ1 ˙ 2 ))−− cos 1 ((1 sin 1 + 1 + ℎ1 2 ) − 2(˙1 + ℎ1 ˙2 ))) = 0,5 ˙ 2 + 2 2 (sin 2 ((2 cos 2 + 1 + ℎ2 2 ) + 2(˙ 1 + ℎ2 ˙ 2 ))−− cos 2 ((2 sin 2 + 1 + ℎ2 2 ) − 2(˙1 + ℎ2 ˙2 ))) = 0, = 1,2.(2.21)Пусть∆1 , ∆2 , ∆1 , ∆2 , ∆11 , ∆21 , ∆12и∆22обобщенных координат от их стационарных значений120 , 220 .— малые отклонения10 , 20 , 10 , 20 , 110 , 210 ,Подставим выражения1 = 10 + ∆1 ,2 = 20 + ∆2 ,1 = 10 + ∆1 ,2 = 20 + ∆2 ,1 = 10 + ∆1 ,2 = 20 + ∆2 ,71в уравнения (2.21), разложим в ряд по малым отклонениям, пренебрегая малыми второго порядка и выше.
Первые три уравнения системы (2.21) примутвид:11 (∆1 )′ + 12 (∆2 )′ − 2((0 + 1 + 2 )(∆1 )′ + 2(1 ℎ1 + 2 ℎ2 )(∆2 )′ ++ 1 1 ((∆11 )′ cos 110 + (∆21 )′ cos 210 ) + 2 2 ((∆12 )′ cos 120 ++ (∆22 )′ cos 220 )) + (11 − 2 (0 + 1 + 2 ))∆1 + (12 − 2 2 (1 ℎ1 ++ 2 ℎ2 ))∆2 − (11 ∆1 − 12 ∆2 ) + 2 (1 1 (∆11 sin 110 + ∆21 sin 210 )++ 2 2 (∆12 sin 120 + ∆22 sin 220 )) + (11 − 2 (0 + 1 + 2 ))10 + (12 −− 2 2 (1 ℎ1 + 2 ℎ2 ))20 − (11 10 − 12 20 ) − (1 1 (cos 110 + cos 210 )++ 2 2 (cos 120 + cos 220 ) + 0 0 cos + 1 1 cos 1 + 2 2 cos 2 ) = 0,11 (∆1 )′ + 12 (∆2 )′ + 2((0 + 1 + 2 )(∆1 )′ + 2(1 ℎ1 + 2 ℎ2 )(∆2 )′ −− 1 1 ((∆11 )′ sin 110 + (∆21 )′ sin 210 ) − 2 2 ((∆12 )′ sin 120 ++ (∆22 )′ sin 220 )) + (11 − 2 (0 + 1 + 2 ))∆1 + (12 − 2 2 (1 ℎ1 ++ 2 ℎ2 ))∆2 + (11 ∆1 − 12 ∆2 ) − 2 (1 1 (∆11 cos 110 + ∆21 cos 210 )++ 2 2 (∆12 cos 120 + ∆22 cos 220 )) + (11 − 2 (0 + 1 + 2 ))10 + (12 −− 2 2 (1 ℎ1 + 2 ℎ2 ))20 + (11 10 − 12 20 ) − (1 1 (sin 110 + sin 210 )++ 2 2 (sin 120 + sin 220 ) + 0 0 sin + 1 1 sin 1 + 2 2 sin 2 ) = 0,− 12 (∆1 )′ − 22 (∆2 )′ − 2((1 ℎ1 + 2 ℎ2 )(∆1 )′ + ( /2 − + 1 ℎ21 ++ 2 ℎ22 )(∆2 )′ − 1 1 ℎ1 ((∆11 )′ sin 110 + (∆21 )′ sin 210 )−− 2 2 ℎ2 ((∆12 )′ sin 120 + (∆22 )′ sin 220 ))++ ( 2 (1 ℎ1 + 2 ℎ2 ) − 12 )∆1 + ( 2 ( − + 1 ℎ21 + 2 ℎ22 ) − 22 )∆2 −− (12 ∆1 + 22 ∆2 ) + 2 (1 1 ℎ1 (∆11 sin 110 + ∆21 sin 210 )++ 2 2 ℎ2 (∆12 sin 120 + ∆22 sin 220 )) + (( 2 (1 ℎ1 + 2 ℎ2 ) − 12 )10 ++ ( 2 ( − + 1 ℎ21 + 2 ℎ22 ) − 22 )20 − (12 10 + 22 20 ) + 2 (1 1 ℎ1 (sin 110 ++ sin 210 ) + 2 2 ℎ2 (sin 120 + sin 220 ) + 1 1 sin 1 + 2 2 sin 2 ) = 0,(2.22)72Оставшиеся уравнения системы (2.21) будут выглядеть следующим образом:12 (∆1 )′ + 22 (∆2 )′ − 2((1 ℎ1 + 2 ℎ2 )(∆1 )′ − ( /2 − − 1 ℎ21 − 2 ℎ22 −− (3/4) 20 )(∆2 )′ + 1 1 ℎ1 ((∆11 )′ cos 110 + (∆21 )′ cos 210 )++ 2 2 ℎ2 ((∆12 )′ cos 120 + (∆22 )′ cos 220 )) − ( 2 (1 ℎ1 + 2 ℎ2 ) − 12 )∆1 −− ( 2 ( − + 1 ℎ21 + 2 ℎ22 + (3/2) 20 ) − 22 )∆2 − (12 ∆1 + 22 ∆2 )++ 2 (1 1 ℎ1 (∆11 sin 110 + ∆21 sin 210 ) + 2 2 ℎ2 (∆12 sin 120 ++ ∆22 sin 220 )) − (( 2 (1 ℎ1 + 2 ℎ2 ) − 12 )10 − ( 2 ( − + 1 ℎ21 + 2 ℎ22 )−− 22 )20 − (12 10 + 22 20 ) − 2 (1 1 ℎ1 (cos 110 cos 210 ) + 2 2 ℎ2 (cos 120 ++ cos 220 ) + 1 1 cos 1 + 2 2 cos 2 + ( − )) = 0,4 (∆1 )′ + 1 1 (2(((∆1 )′ + ℎ2 (∆2 )′ ) cos 10 + ((∆1 )′ + ℎ2 (∆2 )′ ) sin 10 )++ ((∆1 + ℎ2 ∆2 ) sin 10 − (∆1 + ℎ2 ∆2 ) cos 10 + (1 cos(1 − 10 ) + (10 ++ ℎ1 20 ) sin 10 + (10 + ℎ1 20 ) cos 10 )∆1 ) + 1 sin(1 − 10 ) + (10 ++ ℎ1 20 ) cos 10 + (10 + ℎ1 20 ) sin 10 ) = 0,5 (∆2 )′ + 1 1 (2(((∆1 )′ + ℎ2 (∆2 )′ ) cos 20 + ((∆1 )′ + ℎ2 (∆2 )′ ) sin 20 )++ ((∆1 + ℎ2 ∆2 ) sin 20 − (∆1 + ℎ2 ∆2 ) cos 20 + (1 cos(1 − 20 ) + (10 ++ ℎ1 20 ) sin 20 + (10 + ℎ1 20 ) cos 20 )∆2 ) + 1 sin(1 − 20 ) + (10 ++ ℎ1 20 ) cos 20 + (10 + ℎ1 20 ) sin 20 ) = 0, = 1,2.(2.23)Объединив системы (2.22) и (2.23), получим полную линейную систему уравнений в вариациях.
Для иследования устойчивости полусбалансированного режима, подставим в качестве стационарных значений−ℎ2 1 cos 1 + ℎ1 2 cos 2−ℎ2 1 sin 1 + ℎ1 2 sin 2, 10 =,ℎ2 − ℎ1ℎ2 − ℎ11 cos 1 − 2 cos 21 sin 1 − 2 sin 2, 20 =,=ℎ2 − ℎ1ℎ2 − ℎ110 =20а также значения для углов(2.14).110 , 210 , 120и220 ,рассчитанные по формулам73Характеристический полином полной системы, состоящей из уравнений(2.22) и (2.23), имеет восьмой порядок, а следовательно мы имеем девять егокоэффициентов:коэффициенты0 , 1 , 2 , ..., 8 .,Воспользуемся критерием Рауса и рассчитаемпо рекурсивной формуле1,1 = 0 ,2,1 = 2 ,3,1 = 4 4,1 = 6 , 5,1 = 8 ,1,2 = 1 ,,2,2 = 3 , 3,3 = 5 4,2 = 7 , 5,2 = 0,1,−2= +1,−2 −+1,−1 .1,−1(2.24)Необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости полусбалансированного режима имеют вид:1, > 0,(2.25) = 1,...,8.Результаты численных расчетов, представленные на рис.
2.8 и 2.9 в видедвупараметических диаграмм устойчивости, получены для случая, когда2и1 =4 = 5 .На левом графике рис. 2.8 штриховкой показана область устойчивости полусбалансированного режима для симметричного ротора в зависисмости от безразмерных параметров1 , 2и,где√︀11 /0 ,√︀2 = 4 /0 (1 + 2 )2 11 /0 .1 = 1 /0Левый график рассчитан при2 = 0.1,а правый — при1 = 0.1.Остальныепараметры соответствуют значениям (2.20).На рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
