Диссертация (1149357), страница 7
Текст из файла (страница 7)
В качестве обобщенных координат будем использовать:— абсолютные координаты точкидвижными плоскостямиротора; ; , и ( = 1,...,; = 1,2),— углы между осью вращения и непо-(рис. 2.3);— угол собственного вращения— относительные углы отклонения балансиро-вочных шариков в обоймах АБУ (рис. 2.1б).Рисунок 2.3: Системы координат и углы поворотовСистема координатворотов на угол1 1 1 1 1вокруг осипереходит в системупереходит в систему1и на угол1 1 в результате по-относительно осипри повороте вокруг оси ;на уголсистема.Обо-55значим соответствующие матрицы поворота через , и :⎞cos sin 0cos 0 − sin 100⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜ = ⎜0 cos sin ⎟ , = ⎜ 0 10 ⎟ , = ⎜− sin cos 0⎟ .⎠⎝⎠⎝⎠⎝00 1sin 0 cos 0 − sin cos ⎛⎞⎛⎞⎛Матрицу перехода между системами координати1 1 1найдем,перемножив матрицы элементарных поворотов.
Учитывая малость углов,иполучим⎞⎛cos sin sin − cos ⎟⎜⎟⎜ = = ⎜− sin cos cos + sin ⎟ .⎠⎝−1Выразим матрицу перехода между системами координат⎛и :⎞cos 0 − sin ⎜⎟⎜⎟ = ⎜ 0 10 ⎟.⎝⎠sin 0 cos Обозначим через,и через = {,,0}Tвектор-столбец абсолютных координат точки′= {0 cos ,0 sin ,0}Tдинат точкив системе координат– вектор-столбец относительных коор- .Абсолютные координаты точкинайдем из формулы ортогонального преобразования⎛⎜⎜T ′ = + = ⎜⎝ + 0 cos( + )⎞⎟⎟⎟.
+ 0 sin( + )⎠0 ( sin( + ) − cos( + ))56Аналогичным образом находим абсолютные координаты точекбалансировочных шариков⎛⎜⎜=⎜⎝, и координаты, : + cos( + ) + ℎ + sin( + ) − ℎ ⎞⎟⎟⎟,⎠ ( sin( + ) − cos( + )) + ℎ⎛⎞ + cos + cos( + ) + ℎ ⎜⎟⎜⎟=⎜⎟. + sin + sin( + ) − ℎ ⎝⎠ ( sin − cos ) + ( sin( + ) − cos( + )) + ℎНайдем проекции вектора абсолютной угловой скорости ротора на оси Кёнига(системы координат ):T˙ T + {0,0,}˙ T) =Ω = ( {,0,0}˙+ {0,,0}⎛⎞˙˙˙ cos + sin − ⎜⎟⎜⎟=⎜⎟.−˙ sin + ˙ cos ⎝⎠˙˙(˙ + cos ) + sin + Пусть0 – масса ротора, ˜ , ˜ – полярный и экваториальные моменты инер-ции ротора. Будем называть ротор "длинным" , есличае — "коротким".
Обозначим также˜ > ˜ , а в противном слу-– массу обоймы j-ого АБУ, , – по-лярный и экваториальные моменты инерции обоймы j-ого АБУ. Предположим,что в j-ой обойме АБУ шарики имеют одинаковую массу .Кинетическая ипотенциальная энергии системы имеют вид2∑︁11 ∑︁222T˙ ), = (0 ˙ + ΩT ( Ω)) +( ˙ +Ω(Ω)+22 =1=1 =12(( − 1 )2 + ( + 1 )2 ) + (( + 2 )2 + ( − 2 )2 ),22(2.1)57 = diag{˜ ,˜ ,˜ } и = diag{ , , } — матрица центрального тензо-гдера инерции ротора и матрица тензора инерции обоймы j-ого АБУ.Пусть1 , 2— коэффициенты демпфирования в опорах, а3 , 4 , 5— ко-эффициенты диссипации, учитывающие потери энергии при вращении ротораи движении шариков в обоймах АБУ соответственно. Предполагая, что на ротор действуют только силы внешнего демпфирования, запишем выражение длядиссипативной функции Релея21 ˙˙ 2 + (˙ + 1 )˙ 2 + (˙ − 2 )(( − 1 )˙ 2 ) + ((˙ + 2 )˙ 2 )+2234 ∑︁ ˙ 25 ∑︁ ˙ 2+ ˙2 +1 + .22 =12 =1 2=Пусть(2.2)— внешний вращающий момент, приложенный к ротору.
Обуслов-ленные им обобщенные силы найдем из выражения для элементарной работы˙ , = ( ˙ + )которые будут выглядеть следующим образом: = = 0, = , = 0, = .(2.3)Используя выражения (2.1), (2.2), (2.3), а так же с учетом малости углов, и(0 +,получаем2∑︁¨+ )=1(5 + 2)2∑︁уравнений Лагранжа 2-го рода ℎ ¨ +11 ˙ +12 ˙ +11 +12 = 0 0 (˙2 cos(+)+=1+ ¨ sin(+))+2∑︁( (˙2 cos(+ )+ ¨ sin(+ )+ 1 )),=1(0 +2∑︁ )¨ −2∑︁=1− ¨ cos(+))+ ℎ ¨ +11 ˙ −12 +˙ 11 −12 = 0 0 (˙2 sin(+)−=12∑︁=1( (˙2 sin(+ )− ¨ cos(+ ))+ 2 )),58( +2∑︁ ℎ2 )¨−2∑︁=1˙˙¨˙ ℎ ¨ +22 −˙12 +22 − 12 + ( + ) = +=1+ ( − )(˙2 sin − ¨ cos ) −2∑︁(ℎ ( (˙2 sin( + ) − ¨ cos( + ))+=1+ 2 )),( +2∑︁ ℎ2 )¨ +=12∑︁¨ + 22 ˙ + 12 ˙ + 22 + 12 − ˙ ˙ = ℎ =1˙2− ( − )( cos + ¨ sin ) +2∑︁(ℎ ( (˙2 cos( + ) + ¨ sin( + ))+=1+ 1 )),¨ 3 ˙( +0 20 )+¨ sin(+)− ¨ cos(+))−= +0 0 (2∑︁( =1∑︁( ¨ −=1¨ sin +(¨ −ℎ ¨ sin( +)−¨ +ℎ )¨ +ℎ )−(¨ ) cos )− ((− (¨ −ℎ ¨ ) cos( +))),2¨ ˙ = (((¨ sin − (¨ − ℎ ¨ + ℎ )+ 4 (˙ − )¨ ) cos )++ (˙2 sin( − ) − ¨ cos( − ))), = 1,2; = 1,...,,(2.4)где11 = 1 + 2 , 12 = 2 2 − 1 1 , 22 = 1 12 + 2 22 ,12 = 2 2 − 1 1 , 22 =1 12+2 22 , = ˜ +2∑︁ ,11 = 1 + 2 , = ˜ +=1 = + , = + ,1 =∑︁=12 =∑︁=1(˙ 2 sin − ˙ cos ).(˙ 2 cos + ˙ sin ),2∑︁=1 ,59Введем вектор-столбец комплексных переменных = { + , − }Tипредставим уравнения (2.4) в матричной форме⎧2⎪∑︁⎪⎪˙ q̇ + Cq = (˙2 − )¨ (F0 +⎪(M0 + Mj )q̈ + (D − G)⎪⎪⎪⎪=1⎪⎪⎪22⎪∑︁∑︁∑︁⎪⎪⎪(˙ 2 − ¨ ) ,+ Fj ) + Fj⎪⎪⎪⎪=1=1=1⎪⎪⎨2∑︁∑︁( ¨ −( + 0 20 )¨ + 3 ˙ = + 0 0 KT Im[q̈−(+) ] −( ⎪⎪⎪⎪=1=1⎪⎪⎪⎪⎪− KT Im[q̈− ] − KT Im[q̈−(+ ) ])),⎪⎪⎪⎪⎪⎪˙ + Fj T Im[q̈− ] =⎪ 2 ¨ + 4 (˙ − )⎪⎪⎪⎪⎪⎩ = (˙2 sin( − ) − ¨ cos( − ))), = 1,2; = 1,...,,(2.5)где⎞⎞⎛⎛ 1 ℎ0 0⎠ , D = ⎝ 11 12 ⎠ , C = ⎝ 11 12 ⎠ ,⎠ , Mj = ⎝M0 = ⎝12 2212 22ℎ ℎ20 ⎛ ⎞⎛ ⎞⎞⎛⎞⎛110 0 0 0⎠ , Fj = ⎝ ⎠ , K = ⎝ ⎠ .⎠ , F0 = ⎝G=⎝ℎ00 −( − )⎞⎛⎛⎞2.2 Стационарные режимыДалее мы будем рассматривать ротор с двухплоскостным АБУ, каждая изобойм которого которого содержит два шарика.
Предположим, что ротор вращается с постоянной угловой скоростью˙ = = const. Для исследования стаци-онарных режимов движения ротора удобно перейти к уравнениям относительносистемы координат, вращающейся с угловой скоростьюзначим черезq̃вокруг оси .Обо-комплексный координатный вектор-столбец во вращающейсясистеме координат. Связь между старыми и новыми переменными выражается60следующими соотношениями¨ + 2q̃˙ − q̃ 2 )q = q̃ , q̇ = (q̃˙ + q̃) , q̈ = (q̃(2.6)Подставляя соотношения (2.6) в уравнения (2.5), получим автономные уравнения движения во вращающейся системе координат⎧22∑︁∑︁⎪⎪¨˙⎪(M0 + Mj )q̃+(D+(2(M0 + Mj )−G))q̃+(C+D− 2 (M0+⎪⎪⎪⎪=1=1⎪⎪⎪2⎪∑︁⎪⎪⎪⎪+ Mj −G))q̃ =⎪⎪⎨ =1222∑︁∑︁∑︁⎪⎪22⎪= F0 + Fj + Fj((+ ˙ )2 −¨ ) ,⎪⎪⎪⎪=1=1=1⎪⎪⎪⎪⎪¨˙ 2 ¨ +4 ˙ +Fj T Im[(q̃+2q̃−q̃ 2 )− ] = 2 sin( − ),⎪⎪⎪⎪⎪⎩ = 1,2; = 1,2.(2.7)Полагая в (2.7) значения всех производных от обобщенных координат равными нулю, получим уравнения, описывающие стационарные режимы движения ротора⎧2∑︁⎪⎪2⎪(C + D − (M0 + Mj − G))q̃ = 2 (F0 +⎪⎪⎪⎪=1⎪⎨222∑︁∑︁∑︁⎪+ Fj + Fj ),⎪⎪⎪=1=1⎪=1⎪⎪⎪⎩ F T Im[−q̃ 2 − ] = 2 sin( − ), = 1,2;j(2.8) = 1,2.Выражая во втором уравнении (2.8) вектор обобщенных координат в тригонометрической формеq̃ = {1 1 ,2 2 }T ,√︀ 2 + 2,√︀= 2 + 2 , 2 = 2 + 2 ,1 1 = 1 + 1 ,2 2где1 =61запишем его в скалярном виде⎧⎪⎪1 sin(1 − 11 ) + ℎ1 2 sin(2 − 11 ) = 1 sin(11 − 1 ),⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨ 1 sin(1 − 21 ) + ℎ1 2 sin(2 − 21 ) = 1 sin(21 − 1 ),(2.9)⎪⎪1 sin(1 − 12 ) + ℎ2 2 sin(2 − 12 ) = 2 sin(12 − 2 ),⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ 1 sin(1 − 22 ) + ℎ2 2 sin(2 − 22 ) = 2 sin(22 − 2 ).Из полученных уравнений следует необходимое условие существования сбалансированного стационарного режима (1= 0, 2 = 0):11 = 1 + ,21 = 1 + ,12 = 2 + ,22 = 2 + , = 0,1.Это условие показывает, что сбалансированный режим может иметь место только при фиксированном положении балансировочных шариков, что означаетпринципиальную невозможность осуществить на практике полную балансировку ротора с эксцентрически насаженным двуплоскостным АБУ.Преобразуем уравнения (2.9): умножим первое уравнение начтем из него второе уравнение, умноженное науравнение, умноженное наcos 11 ,sin 11 .12и22 .и вы-Затем вычтем второеиз первого, умноженного нагично поступим для уравнений, содержащихsin 21cos 21 .Анало-В итоге получимsin(11 − 21 ) (1 + ℎ1 2 + 1 sin 1 ) = 0,sin(12 − 22 ) (1 + ℎ2 2 + 2 sin 2 ) = 0,sin(11 − 21 ) (1 + ℎ1 2 + 1 cos 1 ) = 0,sin(12 − 22 ) (1 + ℎ2 2 + 2 cos 2 ) = 0.(2.10)62Уравнения (2.10) имеют два решения, отвечающие двум различным типам стационарных режимов.
Для режимов первого типа, выполняются соотношенияsin(11 − 21 ) = 0,sin(12 − 22 ) = 0,из которого получаем11 = 21 + ( = 0, 1)и12 = 22 + ( = 0, 1),т.е.балансировочные шарики либо соприкасаются, либо находятся на противоположных сторонах круговых полостей АБУ. Такой режим назовем полностьюнесбалансированным.Решения второго типа удовлетворяют следующим соотношениям−ℎ2 1 sin 1 + ℎ1 2 sin 2−ℎ2 1 cos 1 + ℎ1 2 cos 2, 1 =,ℎ2 − ℎ1ℎ2 − ℎ11 sin 1 − 2 sin 21 cos 1 − 2 cos 22 =, 2 =,ℎ2 − ℎ1ℎ2 − ℎ11 =(2.11)откуда получим выражения для амлитуд прецессионных движений ротора1 =2 =√︁√︁12+12√︃ℎ22 21 − 2ℎ1 ℎ2 1 2 cos(1 − 2 ) + ℎ21 22,(ℎ1 − ℎ2 ) 2√︃21=22 + 22 =− 21 2 cos(1 − 2 ) +(ℎ1 − ℎ2 ) 222(2.12).Этот режим будем называть полусбалансированным, так как полученные амплитуды прецессионных движений малы и не зависят от угловой скорости ротора.
В идеальном случае, когда1 = 2 = 0 ,амплитуды1и2обращаются вноль, что соответствует полностью сбалансированному режимуНайдём углы отклонения балансировочных шариков, соответствующие полусбалансированному стационарному режиму. Перепишем первое уравнение63(2.8) в скалярном виде:cos 11 + cos 21 =1(212 (−1 + 1 2 ) − 222 (1 + 2 2 ) + (212 (1 − 1 2 )+201+ 222 (1 + 2 2 ) + (01 − 42 (ℎ22 2 + ℎ21 1 ) − 4ℎ1 1 (1 + 1 cos 1 )++ 4ℎ2 (0 (1 + 0 cos ) + 1 (1 + 1 cos 1 ) + 21 ℎ1 2 )))) ≡ 1,1 ,1cos 12 + cos 22 =(211 (1 − 1 2 ) + 221 (1 + 2 2 ) + (211 (−1 + 1 2 )−202− 221 (1 + 2 2 ) + (−01 + 42 (ℎ21 1 + ℎ22 2 ) + 4ℎ2 2 (1 + 2 cos 2 )−− 4ℎ1 (0 (1 + 0 cos ) + 2 (1 + 2 cos 2 ) + 22 ℎ2 2 )))) ≡ 2,1 ,1sin 11 + sin 21 =(12 (−1 + 1 2 ) − 22 (1 + 2 2 ) + (12 (−1 + 1 2 )+01+ 22 (1 + 2 2 ) + (02 − 22 (ℎ21 1 + ℎ22 2 ) − 2ℎ1 1 (1 + 1 cos 1 )++ 2ℎ2 (0 (1 + 0 cos ) + 1 (1 + 1 cos 1 ) + 21 ℎ1 2 )))) ≡ 1,2 ,1(11 (1 − 1 2 ) + 21 (1 + 2 2 ) + (12 (1 − 1 2 )+sin 12 + sin 22 =02+ 21 (1 + 2 2 ) + (−02 + 22 (ℎ22 2 + ℎ21 1 ) + 2ℎ2 2 (1 + 2 cos 2 )−− 2ℎ1 (0 (1 + 0 cos ) + 2 (1 + 2 cos 2 ) + 22 ℎ2 2 )))) ≡ 2,2 ,(2.13)где01 = 2 2 (ℎ1 − ℎ2 )1 1 ,12 = 21 (ℎ2 + 1 ),02 = 2 2 (ℎ1 − ℎ2 )2 2 ,21 = 22 (ℎ1 + 2 ),11 = 21 (ℎ1 + 1 ),22 = 22 (ℎ2 + 2 ),01 = 4( − )(2 + ) − 3 22 , 02 = 2 (2( − ) + 2 ),11 = 21 (ℎ1 + 1 ), 12 = 21 (ℎ2 + 1 ), 21 = 22 (ℎ1 + 2 ), 22 = 22 (ℎ2 + 2 ).Подставляя решения (2.11) в систему (2.13), находим√︁,22 + 2 /2],1 = arctan± arccos[± ,1,2,1√︁,22 + 2 /2], = 1,2.∓ arccos[± ,12 = arctan,2,1(2.14)64Из формул (2.14) вытекают следующие условия существования полусбалансированного стационарного режима22,1+ ,2≤ 4, = 1,2.На рис.
2.4 представлены графики изменение величинсти от угловой скоростикоэффициентацентральный:,(2.15)22,1+ ,2в зависимо-рассчитанные для трех значений балансировочного = 2(2 + 3 )/1 1 .Левый график соответствует = 0.9, = 1.1 и правый: = 1.7. Из графиков видно, что в первом слу-чае условия (2.15) не удовлетворяются при любых значениях угловой скорости.При = 1.1условия удовлетворяются в закритической области, а при = 1.7полусбалансированный режим может существовать почти при всех значенияхчастот.Рисунок 2.4: Области существования полусбалансированного режима.Выведем уравнения для расчета стационарных амплитуд несбалансированного режима.
Для этого представим первое уравнение системы (2.8) в виде(11 1 − 21 2 )1 + 12 2 2 = 2 (0 0 + 1 1 1 + 2 2 2 ),(21 1 − 22 2 )1 + 22 2 2 = 2 (( − ) + 1 1 ℎ1 1 + 2 2 ℎ2 2 ),(2.16)65где11 = 11 + 11 − 2 (0 + 1 + 2 ),12 = 21 = 12 + 12 − 2 (1 ℎ1 + 2 ℎ2 ),22 = 22 + 22 − 2 ( − + 1 ℎ21 + 2 ℎ22 ),1 = 1 1 + 2 2 , 2 = 1 1 ℎ1 + 2 2 ℎ2 .Разрешая систему (2.16) относительноуравнение относительно амплитуды1и учитывая, что| | = 1,получим1˜ 1 − 21 2 22 + 22 2 12 | = 2 ||,˜|(2.17)где˜ = 11 22 − 12 21 ,˜ = 22 (0 0 + 1 1 1 + 2 2 2 ) − 12 (( − ) + 1 1 ℎ1 1 + 2 2 ℎ2 2 ).Возведя выражение (2.17) в квадрат, получим квадратное уравнение1 21 − 22 1 + 3 = 0,(2.18)где˜ 2 + (Im)˜ 2,1 = (Re)2 = 22 2 (Re˜Re12+ Im˜Im12 )− 21 2 (Re˜Re22+ Im˜Im22 ),3 = 4 4 (1 ((Re22 )2 + (Im22 )2 ) + 2 ((Re12 )2 + (Im12 )2 )−− 1 2 (Re22Re12+ Im22Im12 )Разрешим систему (2.16) относительно21 1 − 22 2 ,а второе на˜ 2 + (Im)˜ 2 ).− (Re)2 .11 1 − 21 2 ,Домножим первое уравнение напосле чего вычтем первое уравнение66из второго.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
