Диссертация (1149357), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Первый вариант будем называть несбаланированным режимом первоготипа, а второй — несбалансированным режимом второго типа. Режим, для которого01 = 02 − = 0 , обозначим как несбалансированный режим третьеготипа (см. рис. 1.5).Рисунок 1.5: Типы стационарных несбалансированных режимов32Пусть1и2обозначают левые части первых двух уравнений системы(1.27):1 = (1− 2 )0 −1 0 −(1 +2 cos ) 2 ,2 = (1 − 2 )0 + 1 0 − 2 2 sin .С учетом этих обозначений, система (1.27) примет вид⎧⎪⎪⎪1 = 23 2 cos 0 ,⎪⎪⎨2 = 23 2 sin 0 ,⎪⎪⎪⎪⎪⎩1 sin 0 = 2 cos 0 ,Найдем решения системы (1.29). Исключая переменную(1.29)0 ,получим⎧⎪⎨ 2 + 2 = 42 4 ,321(1.30)⎪⎩1 2 = 2 1 .Представим систему (1.30) в следующем виде:⎧(︀)︀⎪⎨ 0 2 + 0 2 + 21 0 + 22 0 + 2 = 0,(1.31)⎪⎩(11 − 21 ) 0 + (12 − 22 ) 0 + (1 − 2 ) = 0,где(︀)︀1 (2 /1 ) cos − 2 2 sin − 1 − 2 (2 /1 ) sin 11 =,1 (︀)︀1 (2 /1 ) sin + (1 + 2 cos ) 2 + 1 − 2 (2 /1 ) cos 12 =,1(︀(︀)︀)︀−2 1 − 2 (1 + 2 cos ) 2 + 1 3 2 sin 21 =,(1 − 2 )2 + 1 2 2(︀(︀)︀)︀2 1 3 (1 + 2 cos ) − 1 − 2 2 sin 222 =,(1 − 2 )2 + 1 2 2(︀ 2)︀1 + 21 2 cos + 2 2 4 − 43 2 41 2 (2 /1 ) sin 1 =, 2 =.1 (1 − 2 )2 + 1 2 2(1.32)33Решение системы (1.31) сводится к решению квадратного уравнения для00ис дополнительным условием, вытекающим из (1.29), которое определяет типнесбалансированного режима: при1 2 > 0его решение соответствует несба-лансированному режиму первого типа, так как в этом случаеа при1 2 < 0− 2 ≤ 0 ≤2.решение соответствует несбаланированному режиму второготипа, так как здесь2≤ 0 ≤32 .

В явном виде решение системы (1.31) будетвыглядеть следующим образом:(︀ 2)︀20 = 1 (12 (11 +21 ) 22 −1221 −11 22+2(1 −2 )+221 (1 −2 )±± (22 −12 ) 2 ),(︀)︀20 = 1 (22 11 21 −11+2(1 −2 ) +12 ((11 −21 ) 21− 2(1 −2 ))±± (11 −21 ) 2 ),(1.33)где1 =1,2 (11 − 21 ) 2 + (12 − 22 ) 22222222 = (−4(211 +221 +(1 −2 )2 )+12(21−42 )+11(22−42 )+(1.34)411 21 (1 +2 )+212 22 (2(1 +2 )−11 21 ))1/2 .Амплитуды прецессиизависимости от =√︀02 + 02 ,рассчитанные по формулам (1.33), впредставлены на рис.

1.6 для несбалансированных стационар-ных режимов первого (наверху) и второго (внизу) типов соответственно. Левыеграфики рисунка 1.6 рассчитаны в случае, когда балансировочный коэффициент = 23 /(1 + 2 )1 =0.8.Это соответствует ситауции, при котороймасса балансировочных шариков недостаточна для компенсации дисбаланса(см. [55, 56]). Правые графики показывают амплитуду прецессии при избыточной массе, когда = 1.2.

Пунктирные линии соотвествуют случаю, когда 2 = 0,то есть АБУ установлено на ротор без эксцентриситета; сплошные линии соот-34ветствуют значениюзначения:2 = 0.04.Остальные параметры принимают следующие1 = 0.75, 2 = 0.19, 1 = 0.05, = 2, 1 = 0.1, 2 = 10.Рисунок 1.6: Амплитудно-частотные характеристики для несбалансированныхрежимов первого и второго типовРассмотрим также несбалансированный стационарный режим третьего типа. В этом случае первое уравнение системы (1.15) можно представить в следующем виде:⎧⎪⎨(1 − 2 )0 − 1 0 = (1 + 2 cos ) 2 ,⎪⎩(1 − 2 )0 + 1 0 = 2 2 sin ,35откуда получим⎧(︀)︀322sin+(+cos)1−⎪1 212⎪⎪,⎨ 0 =22(1 − ) + 12 2(︀(︀)︀)︀22⎪+cos+(−1)sin1 121⎪⎪.⎩ 0 = −(1 − 2 )2 + 12 2(1.35)для несбалан-Рис. 1.7 демонстрирует амплитуду прецессии в зависимости отсированного режима третьего типа, рассчитаную по формулам (1.35).Рисунок 1.7: Амплитудно-частотная характеристика для несбалансированногорежима третьего типаНа рис.

1.8 показаны графики зависимости амплитуды прецессионного движения ротора и углов отклонения балансировочных шариков от времени, полученные численным интегрированием системы (1.5) в случае, когда балансировочный коэффициент = 1.Верхний рисунок получен при=3и соответ-ствует случаю, когда условие существования полусбалансированного режима(1.26) не удовлетворяется.

Мы видим, что в системе имеет место несбалансированный режим первого типа (шарики вместе). Нижний рисунок, полученый при = 1.2демонстрирует процесс установления полусбалансированного режима.36Рисунок 1.8: Несбалансированный и полусбалансированный стационарныережимыВ этом случае балансировочные шарики занимают позицию, обеспечивающуюпостоянную и независящую отамплитуду круговой прецессии равную эксцен-триситету АБУ.На рис. 1.9 приведены результаты численного интегрирования исходной системы уравнений (1.3) для ротора, вращающегося с постоянной угловой скоростью.Рис.

a) и b) отвечают случаям, когда угловая скорость ротора ниже и выше критической соответственно. В левых частях рисунков показаны графикиизменения со временем амплитуд прецессионного движения, а в правых — изменение положения балансировочных шариков. Штриховые прямые на правом37Рисунок 1.9: Различные режимы вращения роторанижнем графике соответствуют стационарным значения01и02 ,рассчитан-ным по формулам (1.25).Таким образом результаты расчетов демонстрируют, что в докритическойобласти устанавливается несбалансированный стационарный режим типа 1, а в38закритической — полусбалансированный режим с амплитудой остаточной вибрации равной эксцентриситету АБУ.1.3 Устойчивость стационарных режимовДля исследования устойчивости стационарных режимов перепишем автономные уравнения (1.8) в вещественном виде2(¨−2 −(1−˙))+1 (˙ −) = (1 +2 cos ) 2 +3∑︁(( + )2 cos + ¨ sin ),=1(¨ +2 ˙ −(1− 2 ))+1 (˙ − ) = 2 2 sin + 3∑︁(( + ˙ )2 sin − ¨ cos ),=1¨ + 2 ˙ = 1 (¨ − 2 ˙ − 2 ) sin − (¨ + 2 ˙ − 2 ) cos + 2 2 sin( − ), = 1, .

. . ,.(1.36)Первые два уравнения (1.36) описывают движение геометрического центра ротора во вращающей системе координат. Поэтому координатыиявляютсямедленно меняющимися функциями времени, а их производные можно считатьмалыми по сравнению с единицей. Также малыми можно считать безразмерныепараметры1 , 2и1 .С учетом этого упростим уравнения (1.36), пренебрегаяв них членами второго порядка малости. Тогда для случая АБУ с двумя шариками упрощенные уравнения примут вид2 ˙ − (1 − 2 ) + 1 = − 2 (1 + 2 cos + 3 (cos 1 + cos 2 )),2 ˙ + (1 − 2 ) + 1 = 2 (2 sin + 3 (sin 1 + sin 2 )),2 ˙ 1 = 2 (2 sin( − 1 ) + 1 ( cos 1 − sin 1 )),2 ˙ 2 = 2 (2 sin( − 2 ) + 1 ( cos 2 − sin 2 )).(1.37)39Пусть∆ , ∆ , ∆1и∆2их стационарных значений— малые отклонения обобщенных координат от0 , 0 , 10 , 20 .Подставляя выражения = 0 + ∆, = 0 + ∆, = 0 + ∆ ,в уравнения (1.37), разлагая в ряд по малым отклонениям и пренебрегая малыми второго порядка и выше, получим линейную систему упрощенных уравненийв вариациях2(∆)′ − (1 − 2 )∆ + 1 ∆ − 3 2 (sin 01 + sin 02 ) = 0,2(∆)′ + (1 − 2 )∆ + 1 ∆ − 3 2 (cos 01 + cos 02 ) = 0,2 (∆1 )′ − 1 2 (cos 01 ∆ − sin 01 ∆)+2(1.38)+ (2 cos( − 10 ) + 1 (0 cos 10 + 0 sin 10 )) ∆10 = 0,2 (∆2 )′ − 1 2 (cos 02 ∆ − sin 02 ∆)++ (2 cos( − 20 ) + 1 (0 cos 20 + 0 sin 20 )) 2 ∆20 = 0.Для точных уравнений (1.36) линейная система уравнений в вариациях дляслучая АБУ с двумя шариками будет иметь следующий вид:(∆)′′ − 2(∆)′ − 1 (∆)′ + 23 (sin 10 (∆1 )′ + sin 20 (∆2 )′ ) − 1 ∆++ ( 2 − 1)∆ + 2 3 (cos 10 ∆1 + cos 20 ∆2 ) + 0 − (1 0 ++ (1 + 22 cos + 3 (cos 10 + cos 20 ) + 0 )) = 0,− (∆)′′ − 2(∆)′ + 1 (∆)′ − 23 (cos 10 (∆1 )′ + cos 20 (∆2 )′ ) − 1 ∆++ (1 − 2 )∆ + 2 3 (sin 10 ∆1 + sin 20 ∆2 ) + (−1 + 2 )0 ++ (−1 0 + (22 sin + 3 (sin 10 + sin 20 ))) = 0,40(∆1 )′′ + 21 ((∆)′ cos 10 + (∆)′ sin 10 ) + 2 (∆1 )′ + 2 1 (∆ sin 10 −− ∆ cos 10 ) + 2 (2 cos( − 10 ) + 1 (0 sin 10 + 0 cos 10 ))∆1 −− 2 2 sin( − 10 ) + 2 1 (0 sin 10 − 0 cos 10 ) = 0,(∆2 )′′ + 21 ((∆)′ cos 20 + (∆)′ sin 20 ) + 2 (∆2 )′ + 2 1 (∆ sin 20 −− ∆ cos 20 ) + 2 (2 cos( − 20 ) + 1 (0 sin 20 + 0 cos 20 ))∆2 −− 2 2 sin( − 20 ) + 2 1 (0 sin 20 − 0 cos 20 ) = 0.(1.39)1.3.1 Усточивость полусбалансированного режимаВ случае полусбалансированного стационарного режима имеем0 = −Тогдакоэффициенты2cos ,10 = −характеристического2sin .1полинома(1.40)упрощеннойсистемы(1.38) с учетом соотношений (1.25) и (1.40) примут вид0 = 422 2 , 1 = 41 22 2 , 2 = 22 ((1 − 2 )2 + (1 )2 ),3 = 22 1 3 4 ( 2 − 1), 4 = 21 23 8 (2 + 2 )(4 − 2 − 2 )/4.Выражение для коэффициента3показывает, что необходимое условие устой-чивости данного режима выполняется только в закритической области частот.Достаточные условия асимптотической устойчивости полусбалансированногорежима дает критерий Рауса-Гурвица1 2 > 3 0 ,3 (1 2 − 3 0 ) > 21 4 .(1.41)Подставим также соотношения (1.25) и (1.40) в имеющий восьмой порядокхарактеристический полином точной системы (1.39), из которого получим девять его коэффициентов:0 , 1 , 2 , ..., 8 .

Далее воспользуемся критерием Рауса41и выведем коэффициенты соответствующей таблицы:1,1 = 0 ,2,1 = 2 ,3,1 = 4 4,1 = 6 , 5,1 = 8 ,1,2 = 1 ,,2,2 = 3 , 3,3 = 5 4,2 = 7 , 5,2 = 0,1,−2= +1,−2 −+1,−1 .1,−1Необходимые и достаточные условия устойчивости полусбалансированного режима примут следующий вид:1, > 0,(1.42) = 1,...,8.Рисунок 1.10: Двупараметрические диаграммы устойчивостиполусбалансированного стационарного режимаНа рис. 1.10 представлены двупараметрические диаграммы устойчивостиполусбалансированного стационарного режима, рассчитанные двумя способами: 1) путем анализа точных уравнений (1.36); 2) путем анализа упрощенныхуравнений (1.37).

Расчеты проведены для следующих значениях параметров: = 2, 1 = 0.8, 2 = 0.16, 3 = 0.47, 1 = 0.05, 2 = 0.04, = 2. Левая диаграмма соответствует плоскости параметров(, 1 )при2 = 12.8,а правая —(,2 )42при1 = 0.1. Заштрихованная горизонтальными линиями область, которая бы-ла получена с помощью точных формул (1.42), соответствует асимптотическойустойчивости полусбалансированного режима. Горизонтальной штриховкой отмечена область устойчивости, полученная с помощью приближенных формул(1.41).

Рисунок показывает, что использование упрощенных уравнений для анализа устойчивости допустимо лишь при достаточно больших коэффициентахзатухания.1.3.2 Усточивость несбалансированных режимовВведем малые отклоненияот их стационарных значений∆ , ∆и∆ , ( = 1,2)0 , 0 , 01 = 02 = 0 . = 0 + ∆, = 0 + ∆,обобщенных координатПодставляя = 0 + ∆ ,в систему (1.37) и затем разлагая в ряд по малым отклонениям, пренебрегаямалыми второго порядка и выше, получим линейную систему уравнений в вариациях для несбалансированного режима первого и второго типов:2(∆)′ + 1 ∆ + (1 − 2 )∆ − 3 2 cos 0 ∆0 + 3 2 cos 0 ∆0 = 0,2(∆)′ + 1 ∆ − (1 − 2 )∆ − 3 2 sin 0 ∆ + 3 2 sin 0 ∆ = 0,2(∆1 )′ + 1 (sin 0 ∆ − cos 0 ∆) + (1 (0 cos 0 + 0 sin 0 )+2+ 2 cos( − 0 ))∆1 = 0,2(∆2 )′ + 1 (sin 0 ∆ − cos 0 ∆) + (1 (0 cos 0 + 0 sin 0 )+2+ 2 cos( − 0 ))∆2 = 0,(1.43)43Коэффициенты характеристического уравнения системы (1.43) принимают следующий вид:0 = 422 2 ,1 = 42 2 (1 2 +2 2 (2 cos( −0 )+1 (0 sin 0 +0 cos 0 ))),(︀)︀2 = 22 + 12 − 2 22 2 + 2 (2 + 81 (2 cos( − 0 ) + 1 (0 sin 0 ++ 0 cos 0 ))) 4 + 4(2 cos( − 0 ) + 1 (0 sin 0 + 0 cos 0 ))2 6 ,3 = 2 2 (21 22 4 cos2 ( − 0 ) + 2 cos( − 0 )(2 + (12 − 2)1 2 + (2 ++ 41 1 (0 sin 0 + 0 cos 0 )) 4 ) + 1 (21 1 4 (0 sin 0 + 0 cos 0 )2 ++ 2 3 2 ( 2 − 1) + 2 (0 sin 0 + 0 cos 0 )(1 + (12 − 2) 2 + 4 ))),4 = (2 cos( − 0 ) + 1 (0 sin 0 +0 cos 0 )) 4 (( 2 − 1)21 3 2 ++ (sin 0 (2 sin + 1 0 ) + cos 0 (2 cos + 1 0 ))(1 + ( 2 − 2) 2 + 4 )).(1.44)Чтобы решить задачу об усточивости, необходимо подставить выражениедля отклонения углов балансировочных шариков2sin 10 = arctg20 + cos 10 +2sin 10 = arctg+ ,20 + cos 10 +или(1.45)в формулу для коэффициентов (1.44) для первого или второго несбалансированного стационарного режима соответственно.

Характеристики

Список файлов диссертации