Диссертация (1149357), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Запишем выражения для кинетической20и потенциальной энергии системы111 ˙2 1 ∑︁ ˙ 22222˙˙˙˙ = 1 ( + ) + 2 ( + ) + + 3( + ˙ 2 ),22221 = (˙ 2 + ˙ 2 ),2(1.1)где = +1 cos , = +2 cos(+), = +2 cos(+)+ cos(+ ), = +1 sin , = +2 sin(+), = +2 sin(+)+ sin(+ ).Точка обозначает дифференцирование по времени.
Здесь и далее, если неоговорено иное, суммирование ведется от=1до = .Предполагая, что на ротор действуют только силы внешнего демпфирования, запишем выражение для диссипативной функции Релея11 ∑︁ ˙ 2 1 ˙222˙˙ + , = 0 ( + ) + 222где0 , и(1.2)— соответственно коэффициенты вязкого сопротивления движе-нию ротора, движению шариков в обойме АБУ и вращению вала в подшипниках.С учетом выражений (1.1), (1.2) уравнения Лагранжа для нашей системыимеют вид∑︁2¨˙0 + + = − 2 [1 1 cos + (2 + 3 )2cos( + )+¯∑︁+ 3 cos( + )],∑︁20 ¨ + ˙ + = − 2 [1 1 sin + (2 + 3 )2sin( + )+¯∑︁+ 3 sin( + )],21 ¨ + ˙ − ∑︁¨ sin − ¨ cos )+˙ = (¯) + 1 1 (∑︁¨ sin( +) − ¨ cos(+))− 3 2+ (2 +3 )2 (((˙ + ˙ )2 sin( − )++ (¨ + ¨ ) cos( − )),(︁)︁¨¨˙¨¨3 ( + )+ = 3 sin(+ )− cos(+ ) +(︁)︁2˙¨+ 3 2 sin( − )− cos( − ) , = 1, .
. . ,.2(1.3)где0 = 1 + 2 + 3 , = + 1 21 + (2 + 3 )22 ,а (¯)– внешний вращающий момент, приложенный к валу.Перейдем к безразмерным переменнымΩ=√︁ = /1 , = /1 , = Ω¯,где0 . Тогда система (1.3) примет следующий вид:⎧∑︁∑︁2⎪⎪¨ + 1 ˙ + = − 2 [1 cos + 2cos( + ) + 3cos( + )],⎪⎪⎪⎪⎪∑︁∑︁⎪2⎪⎪¨+˙+=−[sin+sin(+)+sin( + )],⎪1232 1⎪⎪⎪∑︁⎪⎪⎪¨ + 3 ˙ − 3 2˙ = ℳ() + 1 (¨ sin − ¨ cos ) + 2 (¨ sin( + )+⎪⎪⎨12 ∑︁ ˙+ ¨ cos( + )) − 3(( + ˙ )2 sin( − ) + (¨ + ¨ ) cos( − )),⎪⎪⎪1⎪⎪⎪⎪⎪¨ + ¨ + 2 ˙ = 1 (¨ sin( + ) − ¨ cos( + )) + 2 (˙2 sin( − )−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪− ¨ cos( − )),⎪⎪⎪⎪⎩ = 1, .
. . ,,(1.4)22где безразмерные параметрысмысл1 , 2 , 3 , 1 , 2 , 3 , 1 , 2 , иℳ имеют следующий1(2 + 3 )23 , 2 =, 3 =,00 10 112, 2 =, 1 = , 2 = ,1 =20 Ω3 Ω3 =, =, ℳ=.220 1 Ω0 10 21 Ω21 =Далее мы будем рассматривать вращение ротора с постоянной угловой скоростью.Полагая = = Ω ,запишем систему (1.4) в виде⎧⎪⎪¨ + 1 ˙ + = (1 cos + 2 cos( + )) 2 +⎪⎪⎪∑︁⎪⎪⎪+ 3(( + ˙ )2 cos( + ) + ¨ sin( + )),⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨ ¨ + 1 ˙ + = (1 sin + 2 sin( + )) 2 +∑︁⎪⎪+(( + ˙ )2 sin( + ) − ¨ cos( + )),3⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪¨ +2 ˙ = 1 (¨ sin(+ )− ¨ cos(+ ))+2 2 sin( − ),⎪⎪⎪⎪⎪⎩ = 1, . .
. ,.Введем комплексную переменную = + (1.5)и представим систему (1.5) вформе⎧(︁)︁∑︁22⎪˙¨⎨ ¨ + 1 ˙ + = (1 + 2 ) + 3 (( + ) − ) ,[︁]︁⎪⎩ ¨ + 2 ˙ = −1 Im ¨−(+ ) + 2 2 sin( − ), = 1, . . . ,.(1.6)Для дальнейшего исследования стационарных режимов движения ротораудобно проводить во вращающейся системе координат.
Подставив в систему(1.6) соотношения = , ˙ = (˙ + ) , ¨ = (¨ + 2 ˙ − 2 ) ,(1.7)23получим автономные уравнения движения¨ + (1 + 2)˙ + (1 − 2 + 1 ) = (1 + 2 ) 2 + 3∑︁(( + ˙ )2 − ¨ ) ,¨ + 2 ˙ = −1 Im[(¨ + 2 ˙ − 2 )− ] + 2 2 sin( − ), = 1, . . . ,.(1.8)1.1.2 Приближенная система уравненийЗапишем автономные уравнения (1.8) в вещественном виде:⎧⎪⎪¨ − 2 ˙ + (1 − 2 ) + 1 (˙ − ) = (1 + 2 cos ) 2 +⎪⎪⎪⎪⎪∑︀⎪⎪+(( + ˙ )2 cos + ¨ sin ),⎪3⎪⎪⎪⎪⎪⎨ (¨ + 2 ˙ + (1 − 2 ) + 1 (˙ + ) = 2 2 sin +∑︀⎪⎪+3 (( + ˙ )2 sin − ¨ cos ),⎪⎪⎪⎪⎪⎪2⎪⎪¨ +2 ˙ = 1 (¨−2 −˙) sin −1 (¨ +2 ˙ − 2 ) cos +2 2 sin( − ),⎪⎪⎪⎪⎪⎩ = 1, . .
. ,.(1.9)Так как переменныеиописывают движение геометрического центра ротораво вращающей системе координат, то их можно считать медленно меняющимися функциями времени, а их производные малыми по сравнению с единицей.Также будем считать малыми безразмерные параметры1и2 . С учетом этогоупростим уравнения (1.9), пренебрегая в них членами, содержащими1 ˙и1 ˙.¨, ¨, ¨ ,Тогда для случая АБУ с двумя шариками получим приближеннуюсистему уравнений1 ˙ − ( 2 − 1) − 2 ˙ − 1 = 2 (1 + 2 cos + 3 (cos 1 + cos 2 )).1 ˙ − ( 2 − 1) + 2 ˙ − 1 = 2 (2 sin + 3 (sin 1 + sin 2 )),2 ˙ = 2 sin( − )2 + 2 1 cos − 2 1 sin , = 1,2.(1.10)24Положим˙ = 0и˙ = 0зив из них значения дляв первых двух уравнениях системы (1.10) и, выраи,получим упрощенную систему, описывающуюдвижение балансировочных шариков:⎧⎪⎨2 ˙ 1 = 2 sin( − 1 )2 + 2 1 0 cos 1 − 2 1 0 sin 1 ,(1.11)⎪⎩2 ˙ 2 = 2 sin( − 2 )2 + 2 1 0 cos 2 − 2 1 0 sin 2 ,где0 = (1 ( 2 − 1) + 2 (( 2 − 1) cos − 1 sin )+2+ 3 (( − 1)2∑︁cos − 1 =12∑︁sin )),=10 = (1 1 + 2 (1 cos − ( 2 − 1) sin )++ 3 (1 2∑︁2cos − ( − 1)=12∑︁(1.12)sin )),=12=−.1 + (12 − 2) 2 + 4На рис.
1.2 представлены амплитуды прецессии и углы отклонения балансировочных шариков в зависимости от времени, полученные путем численногоинтегрирования точной системы (1.9) (пунктирные кривые) и приближеннойсистемы (1.10) (сплошные кривые), рассчитанные при следующих значенияхпараметров ротора: = 2, 1 = 0.8, 2 = 0.16, 3 = 0.47,1 = 0.05,2 = 0.04, = 2.На рис. 1.2.а рассчет проведен при угловой скорости— при = 0.5.(1.13) = 1.5, а на рис.
1.2.bИз рисунков видно, что в обоих случаях амплитуды прецессиии углы отклонения балансировочных шариков практически совпадают, откуда25Рисунок 1.2: Амплитуды прецессии и углы отклонения балансировочныхшариков в закритическом (а) и докритическом (b) случаях для точной иприближенной системможно сделать вывод, что приближенную систему (1.10) можно использоватьдля описания движения ротора.Теперь сравним точную систему (1.9) с упрощенной системой (1.11).
На рис.1.3 представлены углы отклонения балансировочных шариков в зависимости отвремени. Пунктирные кривые соответствуют точной системе (1.9), а сплошные— упрощенной системе (1.11). Рис. 1.3.а отвечает закритической угловой скоро-26сти = 1.5, а рис. 1.3.b соответствует докритической угловой скорости = 0.5.Мы видим, что в обоих случаях сплошные и пунктирные кривые практическисовпадают.Рисунок 1.3: Углы отклонения балансировочных шариков в закритическом (а)и докритическом (b) случаях для точной и упрощенной систем1.2 Стационарные режимыСтационарные решения системы (1.8) будем искать в виде = 0 0 ,где0и0 = 0 = , ( = 1, .
. . ,),(1.14)— постоянные амплитуда и угол сдвига фаз прецессионного движе-ния центра диска. Подставляя (1.14) в (1.8), получаем систему трансцендентныхуравнений относительно0 , 0 и 0 , которая описывает стационарные режимы27движения ротора(︃(1 − 2 + 1 )0 0 = 2 1 + 2 + 3∑︁)︃0,(1.15)=11 0 sin(0 − 0 ) = −2 sin( − 0 ), = 1,...,.Проверим возможность существования сбалансированного стационарного режима, при котором геометрический центр диска лежит на осиподставим в систему (1.15)и мнимые части0 = 0 и разделим в первом уравнении вещественные∑︁=1∑︁cos 0 = −sin 0 = −=11 + 2 cos ,32sin ,3sin( − 0 ) = 0,Умножая второе уравнение (1.16) нанения, умноженного на1 2 . Для этогоsin ,∑︁cos = 1,...,.и вычитая результат из первого урав-получаемsin( − 0 ) = −=1Из уравнений (1.16) и (1.17) имеемsin = 0.1sin .3(1.17)Отсюда следует, что сбалансиро-ванный стационарный режим возможен только в случае, когдакогда центр АБУ (точка(1.16) = {0,}, ) лежит на одной прямой с точками ит.
е.. С учетомэтого система (1.16) примет следующий видsin 0 = 0,∑︁=1cos 0 = − = 1,...,,1 ± 2.3Первое уравнение (1.18) показывает, что0 = {0,} ( = 1,...,),(1.18)т. е. всебалансировочные шарики также должны лежать на одной прямой с точками28и.Из второго уравнения (1.18) вытекает еще одно необходимое условиесуществования сбалансированного режима− 3∑︁cos 0 = 1 ± 2 .(1.19)=1Условие (1.19) означает принципиальную невозможность для эксцентрическинасаженного АБУ обеспечить полную балансировку ротора с переменным дисбалансом.
Далее будет показано, что наилучшим результатом в этом случаебудет прецессионное движение ротора с малой амплитудой, равной величинеэксцентриситета АБУ.Для исследования несбалансированных стационарных режимов (0̸= 0) пе-репишем систему (1.15) в виде0 0∑︀ 0++123=1 ,= 0 + 0 = 21 + − 2(1.20)1 (0 cos 0 − 0 sin 0 ) + 2 sin( − 0 ) = 0, = 1,...,.Выразив из первого уравнения системы (1.20)0и0через0 ,и подставивих в последующие уравнения, получим систему трансцендентных уравненийотносительно углов отклонения балансировочных шариков.В случае, когда АБУ содержит только два балансировочных шарика (2),=решение системы (1.20) может быть найдено точно.
Для этого преобразуемуравнения, описывающие движение шариков: умножим первое уравнение наsin 02и вычтем из него второе уравнение, умноженное навычтем второе уравнение, умноженное наcos 02 .cos 01 ,sin 01 .Аналогичноиз первого, умноженного наВ итоге получим систему двух уравнений2sin ) = 0,12sin(01 − 02 )(0 + cos ) = 0.1sin(01 − 02 )(0 +(1.21)29Уравнения (1.21) имеют два типа решений. Для решений первого типа, выполняется соотношениеsin(01 − 02 ) = 0,из которого получаем01 = 02 + ( = 0,1), т.е.
балансировочные шарики ли-бо соприкасаются, либо располагаются на противоположных сторонах круговойполости АБУ. Решения второго типа удовлетворяют следующим соотношениям0 = −2sin ,10 = −2cos ,1или в размерном виде˜0 0 = 2 (+) .(1.22)Таким образом, характерной чертой решений второго типа является наличиеостаточной вибрации ротора, амплитуда которой в точности равна эксцентриситету АБУ. Учитывая малость последнего, несбалансированные стационарныережимы, соответствующие решениям второго типа, можно назвать полусбалансированными.Найдём углы отклонения балансировочных шариков, соответствующие полусбалансированному стационарному режиму. Подставляя (1.22) в первое уравнение (1.20), получим комплексное уравнение01+021 + 2 2 (1 − 2 + ) =−− ,31 3 2эквивалентное системе двух вещественных уравнений относительно(1.23)011 + 2 cos 2 ((1 − 2 ) cos − sin )cos 01 + cos 02 = −−≡ ,31 2 32 sin 2 ((1 − 2 ) sin + cos )sin 01 + sin 02 = −−≡ .31 2 3и02(1.24)30Решая систему (1.24), находим√︀± arccos[± 2 + 2 /2],√︀= ∓ arccos[± 2 + 2 /2].01 = 02(1.25)Из формул (1.25) вытекает следующее условие существования полусбалансированного стационарного режима2 + 2 ≤ 4.(1.26)Отметим, что в случае отсутствия эксцентриситета АБУ (2иметь = −1 /3 , = 0.= 0 и = 0) будемПри этом формулы (1.25) и условие (1.26) примутвид, полностью соответствующий результатам, полученным ранее в [54] длясбалансированного стационарного режима.На рис.
1.4 представлены графики изменение величинымости от безразмерной угловой скоростибалансировочного коэффициентаветствует случаю, когда = 0.9,,2 + 2в зависи-рассчитанные для трех значений = 23 /(1 + 2 )1 .центральный — = 1.1Левый график сооти правый — = 1.7.Из графиков видно, что в первом случае условие (1.26) удовлетворяется тольков небольшой окрестности критической частоты, во-втором область существования расширяется в закритическую сторону, а в третьем случае полусбалансированный режим существует уже во всей закритической области.Рисунок 1.4: Области существования полусбалансированного режима.31Рассмотрим несбалансированные режимы, отвечающие решениям системы(1.21), для которых01 = 02 = 0 .В этом случае система (1.15) может бытьпереписана в следующем виде:⎧⎪⎪(1− 2 )0 −1 0 −(1 +2 cos ) 2 = 23 2 cos 0 ,⎪⎪⎨(1 − 2 )0 + 1 0 − 2 2 sin = 23 2 sin 0 ,⎪⎪⎪⎪⎩ (0 + 2 cos ) sin 0 = (0 + 2 sin ) cos 0 .11(1.27)Представим последнее уравнение системы (1.27) в виде√︁21 + 22 sin(0 − ) = 0,(1.28)где1 = 0 +222cos , 2 = 0 + sin , = arctg .111Уравнение (1.28) имеет два корня:0 = и0 = + ,соответствующиедвум вариантам расположения балансировочных шариков относительно дискаротора.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
