Диссертация (1149351), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Это объясняется тем, что сопротивление алюминиевых образцов больше, чем медных, и сила тока в них меньше по сравнению с меднымикольцами при одинаковой энергии заряженного конденсатора§2.3 Расчет окружного напряжения в кольцевом образцеДля того чтобы вычислить окружное напряжение в кольце, выведем уравнение движение кольцевого образца. Вывод основан на идее, предложенной д.ф.м.н., проф. А.А. Груздковым.Запишем уравнение энергетического баланса при деформировании кольца вприращениях: + П = ,(2.12)где – приращение кинетической энергии; П – приращение внутренней энергии; – работа внешних сил.̇2 = (2ℎ ) = ℎ(̇2 + 2̇̈ ),2(2.13) )где – радиус кольца; – плотность материала кольца.Приращение внутренней энергии или изменение энергии, связанное с изменением деформированного состояния (∆), можно представить уравнением:42П = (∆ ) =( )( )Δ = ( + ) ∆.(2.14)Если на элемент объема не действуют объемные внешние силы плотностью , то ⁄ = 0.
В противном случае первое слагаемое данного уравненияпредставляет энергию, которую затрачивают внешние силы на конечное смещение . Если пренебречь влиянием внешних сил, то получим изменение энергии ввиде:П = (∆ ) = () Δ = ( )Δ,(2.15)где – элементы тензора напряжения; – элементы тензора деформации.Таким образом, для нашего одномерного случая можно записать:П = 2ℎ = 2ℎ,(2.16) = 2 ,(2.17)где – окружное напряжение в кольце; – деформация кольца; – давление навнутреннюю поверхность кольца.Подставляя выражение для кинетической энергии, внутренней энергии иработы внешних сил в соотношение баланса энергии (2.12), получим:1 2 2 ()( ( ) + 2) + =.2 ℎ(2.18)В линейно упругом приближении связь между напряжением и деформациейкольца определяется законом Гука:= − 0,0(2.19)где – модуль Юнга.Найдем из этого выражения радиус кольца=0 + 0 ,(2.20)тогда 0 =, (2.21)432 0 2 =.
2 2(2.22)Подставив выражения (2.21) и (2.22) в (2.18), после некоторых преобразований получим:2 1 2()22+()+=,0 2 2 ℎ(2.23)где = 1⁄0 √ ⁄ – частота собственных колебаний кольца.Выражение (2.23) описывает движение тонкого металлического кольца,нагруженного давлением на его внутреннюю поверхность. Для решения представленного дифференциального уравнения требуется задать начальные условия:(0 ) = |= =0(2.24)Необходимо отметить, исходя из оценок экспериментальных данных работы[28-31] и собственных [3, 14, 22], в выражении (2.18)1 2 2 ( ) ≪ 22 (2.25)В этой связи нелинейное уравнение движения кольца (2.18) сильно упрощается:2 ()( 2) + =.ℎ(2.26)После некоторых преобразований, используя формулы (2.20-2.22), можнополучить уравнение движения тонкого кольца в виде:2 02+= ( ).
2ℎ(2.27)Решая дифференциальное уравнение (2.25) можно получить: ( ) = 0sin ∫ () cos −ℎ0− cos ∫ () sin .ℎ(2.28)44Далее проведем качественный анализ решения полученного уравнения приидеализированных условиях тока в катушке и кольце, с целью показать непригодность формулы Лапласа для скоростного деформирования кольца.Рассмотрим поведение функций тока и окружного напряжения на примеремедного кольцевого образца толщиной 15 мкм и шириной 2 мм. Колебания электрического тока в цепи катушки и кольца (рис. 21) опишем зависимостью:() = − ,2(2.29)где − максимальная амплитуда тока в кольце, = 4/ − удвоенная частотаколебаний электрического тока в катушке, − период колебаний, − постояннаявремени затухания тока.Рис.
21. Зависимость электрического тока, протекающего по виткам катушки индуктивности.Давление на внутреннюю поверхность кольца при таком выборе зависимостей токов в катушке и кольце от времени можно аппроксимировать зависимостью: () = −2 2,2(2.30)где − максимальное давление, рассчитываемое согласно формуле (2.10).45Используя выражение (2.30), путем аналитического интегрирования (2.26)можно получить: ( ) = −−( − )( − ) − 2( − )−4(42 + ( − )2 )( + )( + ) − 2( + ) −2)+4(4 2 + ( + )2 )+−+0 − 2 (−ℎ2(42 + 2 )00 1 sin − cos ×ℎℎ2 sin(−) − cos ×(−2(42 + 2 )(2.31)( − ) cos( − ) + 2 sin( − )+4(42 + ( − )2 )( + )sin( − ) + 2 cos( − ) −2)+4(4 2 + ( + )2 )+0 cos .ℎ 2Константы с1 и с2 находятся из начальных условий и имеют вид:с1 =ℎ2 0 с2 =− 2 +ℎ0 2,+ ,где=−111++2(42 + 2 ) 4(42 + ( − )2 ) 4(42 + ( + )2 )=−−+−+2(42 + 2 ) 4(42 + ( − )2 ) 4(42 + ( + )2 )По полученному выражению (2.31) при нулевых начальных условиях былирассчитаны окружные напряжения () для медного кольца шириной 2 мм.46Рис.
22. Зависимость окружного напряжения от времени, расчитанная по квазистатическойформуле (2.10) – 1, по формуле (2.31) – 2.На рис. 22 представлен расчет функции окружного напряжения двумя методами. В квазистатическом случае напряжение в кольце рассчитывается по формуле Лапласа для тонкостенных оболочек (2.10). Однако, в данном случае она неприменима. Легко видеть, что функции тока в цепи () и силы (), вызывающейдеформацию, пульсирующие, что продемонстрировано на рис. 13 и 16, в то времякак функция окружного напряжения (), рассчитанная по выведенной формуле,гладкая импульсная функция. Очевидно, что при увеличении скорости нагружения металлических образцов проявляется инерция материала, которая существенно сглаживает колебания давления на его внутреннюю поверхность, что и показано на рис. 22.47§2.4 Расчет радиального и окружного напряженийтонких кольцевых образцов.Расчет радиального напряжения для тонких кольцевых образцов из меди иалюминия проводился по выражению (2.10) согласно схеме, рассмотренной в §1.2, а также схеме, представленной в § 1.3.
Для численного расчета профилейокружного напряжения, возникающего в кольцевых образцах, была разработанапрограмма, внутри которой также проводился расчет радиального напряжения.Расчет окружных напряжений осуществлялся как, исходя из решения (2.28) уравнения движения кольца (2.24), так и из решения нелинейного уравнения движениякольца (2.23). Сопоставление результатов расчета по одному и другому решениюуравнений движения кольца показало их хорошее соответствие.В ходе исследований было выяснено, что при решении дифференциальногоуравнения (2.23) необходимо принимать во внимание начальные условия. Сначала в качестве примера рассмотрим расчет функции окружного напряжения дляслучая деформирования медного кольцевого образца с использованием нулевыхначальных условий (2.24).На рис.
23 приведена функциональная зависимость окружного напряженияот времени () при энергии заряда конденсатора 49 Дж, рассчитанная с помощью выражения (2.23) с нулевыми начальными условиями.48Рис. 23. Функция зависимости окружного напряжения от временидля медного кольцевого образца при энергии заряженного конденсатора 49 Дж.Из рис. 23 видно, что амплитуда окружного напряжения достигаем максимального значения порядка 250 МПа. Далее сделаем расчет функции окружногонапряжения с начальными условиями, определяемыми из эксперимента, как показано в работе [3].
При этом решение уравнения движения кольца при начальныхусловиях (0) = 0 (̇ |=0 – берется из эксперимента) может быть представлено ввиде:() = ̇ |=010sin + sin ∫ () −ℎ−0cos ∫ () .ℎ0где – время до разрушения.(2.28)49На рис. 24 представлена функция окружного напряжения, рассчитанная сначальными условиями, полученными экспериментальным путем.Рис.
24. Функция зависимости окружного напряжения от времени для медного кольцапри энергии заряженного конденсатора 49 Дж.При учете начальных условий значение амплитуды окружного напряжениядостигает значений порядка 600 МПа, что согласуется с известными данными [2831]. То есть использование нулевых начальных условий дает значительную погрешность при вычислении окружного напряжения в металлических кольцевыхобразцах. В связи с этим целесообразно использовать начальные условия, полученные из эксперимента [3].Для рассмотрения влияния энергии заряженного конденсатора на функциюокружного напряжения были рассчитаны значения () для медных и алюминиевых колец различной ширины при разных значениях энергии.
В качестве иллюстрации приведем рассчитанные значения () для медного кольца шириной 1,5мм при варьировании энергии заряженного конденсатора от 25 Дж до 121 Дж.На рис. 25 представлены функции окружного напряжения () для разныхслучаев заряда конденсатора при изменении энергии в интервале от 36 до 121 Дж.50Рис. 25 Функция зависимости окружного напряжения от времени (): (1) – при энергии заряженного конденсатора 36 Дж; (2) – при энергии заряженного конденсатора 64 Дж;(3) – при энергии заряженного конденсатора 100 Дж; (4) – при энергии заряженногоконденсатора 121 Дж.Из представленных на рис. 25 графиков видно, что с увеличением энергииамплитуда напряжения растет.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
