Диссертация (1149346), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Барицентрическая звезда точки r0,0 состоит из восьми треугольников; онаопределяются следующей таблицей: r0,0r 0,0 r0,0 r0,0 r0,0r 0,0 r0,0 r0,0r−2,0 r−2,2r0,2r−2,2r0,2r2,2r2,0r2,2r2,0r2,−2r0,−2 r2,−2r0,−2 r−2,−2r−2,0 r−2,−23.9.2. Барицентрические звезды из шести треугольников определяются следующими таблицами:r0,±2 r0,±4r0,±2 r−2,±2r0,±2 r2,±2r0,±2 r0,±4r0,±2 r0,0r0,±2 r0,0r−1,±3 r−1,±3 r1,±3 ;r1,±3 r−2,±2 r2,±2 здесь знак ± означает, что во всей таблице он заменяется одинаково: либо плюсом,либо минусом.Таблицы для барицентрических звезд вершин r±2,0 получаются перестановкойиндексов каждой вершины в таблицах дляr ±2,0 r±4,0 r±2,0 r±2,−2 r±2,0 r±2,2 r±2,0 r±4,0r ±2,0 r0,0 r±2,0 r0,055барицентрических звезд вершин r0,±2 :r±3,−1 r±3,−1 r±3,1 .r±3,1 r±2,−2 r±2,2 3.9.3.

Барицентрические звезды вершины r±2,2 имеют вид r±2,2 r0,2 r±1,3 r ±2,2 r±2,4 r±1,3 r±2,2 r±2,4 r±3,3 r±2,2 r±4,2 r±3,3 . r±2,2 r±4,2 r±3,1 r ±2,2 r±2,0 r±3,1 r±2,2 r0,0 r±2,0 r±2,2 r0,0 r0,2 Барицентрические звезды вершин r±2,−2 получаются сменой знака второго индекса у точек предыдущей таблицы r±2,−2r ±2,−2 r±2,−2 r±2,−2 r±2,−2r ±2,−2 r±2,−2 r±2,−22.7.r0,−2r±1,−3r±2,−4 r±1,−3r±2,−4 r±3,−3r±4,−2 r±3,−3r±4,−2 r±3,−1r±2,0r±3,−1r0,0r±2,0r0,0r0,−2.Калибровочные соотношенияФункцией Куранта, ассоциированной с выделенной вершиной правильной триангуляции, называется непрерывная функция, равная единице в упомянутой вершине, линейная на каждом треугольнике барицентрической звезды этой вершиныи равная нулю вне указанной барицентрической звезды. Система функций Куранта — линейно независимая система.Функцию Куранта, соответствующую выделенной вершине ri,j исходной триангуляции, обозначим ωi,j (t), (i, j) ∈ X, t ∈ R2 .

На исходной триангуляции имеетсядва типа функций Куранта, соответствующих рассмотренным выше двум типам56барицентрических звезд (см. пункты 2.1 и 2.2): у функций Куранта с нечетнымииндексами носитель состоит из четырех треугольников, а у функций Куранта счетными индексами носитель состоит из восьми треугольников.Введем обозначенияdefI1 = {(0, 0), (1, 1), (−1, 1), (1, −1), (−1, −1)},I01 = I1 \(0, 0).defДля укрупненной триангуляции функцию Куранта, соответствующую выделенei,j ; заметим, что не все вершины исходнойной вершине ri,j , будем обозначать ωтриангуляции участвуют в укрупненной триангуляции, а именно, индексы (i, j)пробегают не все множество X, а лишь его часть: (i, j) ∈ X\I 01 ; обозначим Y = X\I 01 .defТеорема 23: Справедливы следующие соотношенияei,j (t) ≡ ωi,j (t)ω∀(i, j) ∈ X\I1 \2I1 ,1111e0,0 (t) ≡ ω0,0 (t) + ω1,1 (t) + ω−1,1 (t) + ω1,−1 (t) + ω−1,−1 (t),ω222211e2,2 (t) ≡ ω2,2 (t) + ω1,1 (t),e−2,2 (t) ≡ ω−2,2 (t) + ω−1,1 (t),ωω2211e−2,−2 (t) ≡ ω−2,−2 (t) + ω−1,−1 (t).e2,−2 (t) ≡ ω2,−2 (t) + ω1,−1 (t), ωω22(10.1)(10.2)(10.3)(10.4)Доказательство: Представленные в теореме соотношения (10.1) — (10.4) легко получается, если учесть линейность функций Куранта на треугольниках, содержащихся в их носителе.В дальнейшем вектор (i, j) будем обозначать через α (впрочем, для краткостииногда скобки в обозначении вектора будем опускать); положимdefrα = ri,j ,def0 = (0, 0),defωα = ωi,j ,defe = (1, 1),defeα = ωei,j ,ωe∗ = (−1, 1).defВ этих обозначениях имеемI1 = {0, e, e∗ , −e, −e∗ },I01 = I1 \0,572I1 = {0, 2e, 2e∗ , −2e, −2e∗ },так что формулы (10.1) — (10.4) принимают видeα (t) ≡ ωα (t)ωпри α ∈ X\I1 \2I1 ,α ∈ X,1111e0 (t) ≡ ω0 (t) + ωe (t) + ωe∗ (t) + ω−e (t) + ω−e∗ (t),ω222211e−2e (t) ≡ ω−2e (t) + ω−e (t),e2e (t) ≡ ω2e (t) + ωe (t),ωω2211e2e∗ (t) ≡ ω2e∗ (t) + ωe∗ (t),e−2e∗ (t) ≡ ω−2e∗ (t) + ω−e∗ (t).ωω22Краткая запись формул (10.5) — (10.8) таковаXeα (t) ≡ωpα,γ ωγ (t)∀α ∈ Y,(10.5)(10.6)(10.7)(10.8)(10.9)γ∈Xгдеdefпри α ∈ X\I1 \2I1 ,pα,γ = δα,γdefp2α,2α = 1 при α ∈ I1 ,γ ∈ X,p0,α = 1/2, p2α,α = 1/2 при α ∈ I01 ;def(10.10)(10.11)здесь δα,α 0 — символ Кронекера.eα , соответствующиеЗаметим, что формула (10.9) охватывает все функции ωукрупненной триангуляции, а формула (10.10) учитывает все случаи (10.5) совeα и ωγ ; кроме того, первая формула в (10.11) охватывает копадения функций ωэффициенты первых слагаемых в правых частях всех формул (10.6) – (10.8), авторая формула в (10.11) дает значения коэффициентов всех слагаемых правойчасти формулы (10.6) кроме первого.

Наконец, третья формула в (10.11) задаетвторые слагаемые в правых частях формул (10.7) — (10.8).Выберем и зафиксируем на множестве мультииндексов γ произвольный порядок(т. е. упорядочим множество X), который будем использовать в дальнейшем; вподмножестве Y введем порядок, индуцированный выбранному.В соответствии с этой упорядоченностью введем вектор-столбцыdefdefe = (ωeα )α∈Y ,ωω = (ωγ )γ∈X ,(10.12)а также рассмотрим матрицуdefP0 = (pα,γ ),58(10.13)где α ∈ Y — номер строки, а γ ∈ X — номер столбца.Следствие 3: Справедливо соотношениеe = P0 ω.ω(10.14)Доказательство: Соотношения (10.14) очевидным образом следует из формул (10.9) — (10.13).Для иллюстрации обратимся к случаю, когда P0 — матрица размеров 9 × 13:X = {−i∗ , −i, −2e∗ , −2e, e∗ , e, 0, e, e∗ , 2e, 2e∗ , i, i∗ },def(10.15)где i = (2, 0), i∗ = (0, 2).

В этом случаеdefdefY = {−i∗ , −i, −2e∗ , −2e, 0, 2e, 2e∗ , i, i∗ },(10.16)P0 — прямоугольная матрица видаP0 = −i∗−i−2e∗−2e02e2e∗ii∗−i∗100000000−i010000000−2e∗001000000−2e000100000−e∗001/201/20000−e0001/21/200000000010000e00001/21/2000e∗00001/201/2002e0000010002e∗000000100i000000010i∗000000001Рассмотрим линейные пространстваdefS = Clp L({ωγ | ∀γ ∈ X}),defeeα | ∀α ∈ Y}).S0 = Clp L({ω(10.17)Следствие 4: Линейное пространство eS0 является подпространством в S:eS0 ⊂ S.(10.18)Доказательство: Соотношение (10.18) следует из формул (10.14) и (10.17).592.8.Биортогональная система и ее значения на базисныхфункциях объемлющего пространстваВ пространстве C(R2 ) зададим систему линейных функционалов gγ для ∀γ ∈ Xформуламиdefhgγ , ui = u(rγ ).Ясно,что{gγ }γ∈Xсистемабиортогональна(11.1)системефункций{ωγ 0 }γ 0 ∈X :hgγ , ωγ 0 i = δγ,γ 0 .(11.2)Аналогично задается geα для ∀α ∈ Y формуламиdefhgeα , ui = u(erα );(11.3)система функционалов {geα } оказывается биортогональной системе функцийeα 0 }α 0 ∈Y :{ω∀α, α 0 ∈ Y,eα 0 i = δα,α 0hgeα , ωи, кроме того,hgeα , ui = hgα , ui∀α ∈ Y ∀u ∈ C(Ω).(11.4)∀α ∈ Y ∀γ ∈ X,(11.5)Пусть Q0 — матрица с элементамиdefqα,γ = hgeα , ωγ iгде α — номер строки, а β — номер столбца.Теорема 24: Справедливы соотношенияqα,γ = δα,γ∀α ∈ Y ∀γ ∈ X.(11.6)Доказательство: С учетом расположения носителей функций ωα 0 из (11.1)— (11.4) получаемhgeα , ωγ i = δα,γ∀α ∈ Y ∀γ ∈ X;отсюда, учитывая обозначение (11.5), приходим к (11.6).В случае (10.15) — (10.16) Q0 — прямоугольная матрица размеров 9 × 13; она60имеет видP0 = −i∗−i−2e∗−2e02e2e∗ii∗−i∗100000000−i010000000−2e∗001000000−2e000100000−e∗001/201/20000−e0001/21/200000000010000e00001/21/2000e∗00001/201/2002e0000010002e∗000000100i000000010i∗000000001Введем вектор-столбцы, компонентами которых являются функционалы geα , α ∈defY: ge = (geα )α∈Y .Благодаря свойству биортогональности имеемe T = I,ge ω(11.7)где I — единичная матрица с элементами δα,α0α, α0 ∈ Y (здесь δα,α0 — символКронекера).Применяя теорему 19, получаем следующее утверждениеТеорема 25: Матрица Q0 является левой обратной для матрицы PT0 , тоестьQ0 PT0 = I.(11.8)В иллюстративнои примере (10.15) — (10.16) легко проверить формулу (11.8)непосредственным подсчетом произведения прямоугольных матриц Q0 и PT0 (размеров 9 × 13 и 13 × 9 соответственно): в результате получается квадратная единичная матрица девятого порядка.2.9.Общая структура всплескового разложенияАналогично пунктам 5 и 6 для рассматриваемых триангуляций введем операторP0 проектирования пространства C(Ω) на подпространство eS0 , задав его формулойdefP0 u =Xeαhgeα , ui ω∀u ∈ C(Ω);(12.1)α∈Yкроме того, положим Q0 = I − P0 , где I — тождественный в C(Ω) оператор.defВ данном случае пространством всплесков является пространство W0 = Q0 S.61Благодаря соотношениям (10.18) и (12.1) получаем прямое разложение.S=eS + W0(12.2)— сплайн-всплесковое разложение пространства S.defdefdefКак и прежде, рассматривая вектор-столбцы a = (aα )α∈Y , b = (bβ )β∈X , c = (cγ )γ∈X ,получаем следующие утвержденияТеорема 26: Формулы декомпозиции имеют видb = c − PT0 Q0 c,a = Q0 c,(12.3)а формулы реконструкции могут быть представлены в видеc = b + PT0 a.(12.4)Доказательство: Аналогично доказательству теоремы 21.Теорема 27: Пространство W0 изоморфно ядру оператора Q0 :XW0 = {w | w =bβ ωβ ∀b ∈ ker Q0 }.(12.5)β∈XДоказательство: Вытекает из следующей цепочки эквивалентных формулXcγ ωγ ∈ W0 ⇐⇒ P0 u = 0 ⇐⇒ hgeα , ui = 0 ∀ ∈ Y ⇐⇒u=γ∈X⇐⇒ hgeα ,Xcγ ωγ i = 0 ∀ ∈ Y ⇐⇒ Q0 c = 0 ⇐⇒ c ∈ ker Q0 .γ∈XЗаметим, что первая эквивалентность следует из определения (12.1) оператора P0 ,предпоследняя эквивалентность следует из определения матрицы Q0 , а остальныеэквивалентности очевидны.

Формула (12.5) и упомянутый в теореме изоморфизмустановлены.Рассмотрим линейные пространстваA = {a | a = (aα )α∈Y },defB = ker Q0 ,def62C = {a | a = (aγ )γ∈X }.defПусть E — прямое произведение пространств A и B: E = A × B, так что( !)a E=a ∈ A, b ∈ B .b defРассмотрим операторD0 : C 7→ E,defD0 =Q0I − PT0 Q0!;для него верна эквивалентность!!a = Q0 caQ0=c ⇐⇒b = (I − PT Q )cbI − PT0 Q000;этот оператор называется оператором декомпозиции.defTОператор R0 : E 7→ C, R0 = P0 I , удовлетворяет соотношениям!! aa⇐⇒ c = PT0 a + b;= PT0 Ic = R0bbон называется оператором реконструкции.Теорема 28: Операторы D0 и R0 взаимно обратны; они реализуют линейныйизоморфизм пространств C и E.Доказательство: Рассмотрим произведение R0 D0 :!Q0R0 D0 = PT0 I= PT0 Q0 + I − PT0 Q0 = I.TI − P 0 Q0С другой стороны с учетом свойства (11.8) имеем!!! aaQ0D0 R0==PT0 ITbI − P0 Q0b!!!Q0 PT0Q0aa + Q0 b===PT0 − PT0 Q0 PT0 I − PT0 Q0bb − PT0 Q0 bТеорема доказана.63a!b.2.10.Всплесковое разложение при локальном укрупнениитриангуляцииЗдесь применим полученные в предыдущих пунктах формулы для отысканиявсплескового разложения пространства S при локальном укрупнении триангуляции [T 7−→ T0 ], описанном в пунктах 2.6 — 2.9.Теорема 29: При локальном укрупнении триангуляции [T 7−→ T0 ] во всплесковом разложении (12.2) формулы декомпозиции (12.3) имеют видbα = 0,α ∈ Y,aα = cα11c−2e∗ − c0 ,2211be = ce − c2e − c0 ,22(13.1)11c−2e − c0 ,2211be∗ = ce∗ − c2e∗ − c0 .22b−e∗ = c−e∗ −b −e = c −e −(13.2)(13.3)Доказательство: Используя формулы (10.10) — (10.11) и (11.6) в соотношениях (12.3), получаем равенства (13.1) – (13.3).Заметим, что в случае (10.15) — (10.16) формулы (13.2) — (13.3) можно проиллюстрировать первым из соотношений (12.3), где PT0 Q0 — квадратная матрица(порядка 13) вида∗TP0 Q0 = −i−i−2e∗−2e−e∗−e0ee∗2e2e∗ii∗−i∗1000000000000−i0100000000000−2e∗00101/200100000−2e000101/20010000−e∗0000000000000−e0000000000000000001/21/211/21/20000e0000000000000e∗00000000000002e00000001/2010002e∗000000001/20100i0000000000010i∗0000000000001Теорема 30: Для локального укрупнения [T 7−→ T0 ] всплесковому разложению (12.2) соответствуют формулы реконструкции∀α ∈ Y,c α = aαc−e∗ = b−e∗ +11a−2e∗ + a0 ,22c−e = b−e +64(13.4)11a−2e + a0 ,22(13.5)ce = b e +11a2e + a0 ,22ce∗ = be∗ +11a2e∗ + a0 .22(13.6)Доказательство формул (13.4) – (13.6) вытекают из соотношений (12.4), еслиподставить в них значения коэффициентов pα,γ из равенств (10.10) — (10.11).Исследуем структуру предложенного укрупнения исходной триангуляции.

Характеристики

Список файлов диссертации