Диссертация (1149346), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Второе утверждение получается, если учесть равномерную малость остатка в упомянутой формуле. Лемма доказана.TСледствие 2: Если выполнены условия леммы 3 и t0 , t00 ∈ Bδ Ω, t0 6= t00 , тоϕ(t0 ) и ϕ(t00 ) — линейно независимые векторы.Доказательство вытекает из (2.11).Лемма 4: Если ϕ ∈ C S (Cl(Ω)), S > 1, Cl(Ω) — компакт, выполнено условие(Cε ), а множество L задается уравнением (2.1), то каково бы ни было число c >T0, существует δ = δ(ε, c) > 0 такое, что при любых векторах t0 , t1 , t2 ∈ Bδ Ω,удовлетворяющих неравенству||g|| ≥ cδ,множество LTBδT(2.13)Ω представляет собой простую кривую класса C S .Доказательство сводится к применению леммы 2 и теоремы о неявно заданнойфункции.Пусть T — прямолинейный треугольник с вершинами t0 , t1 , t2 . Радиусы вписанного и описанного кругов для треугольника T обозначим rT и RT соответственно.41Введем условие(Dη ) : существует константа η > 0, такая чтоrT /RT ≥ η.Замечание 1:Две стороны треугольника T , инцидентные одной вершине,назовем соседними.
Условие (Dη ) эквивалентно условию: углы между соседнимисторонами треугольника T лежат в интервале (η , π − η ), где η ∈ (0, π/2).Если выполнено условие (Dη ), то при некотором числе c > 0 справедливы неравенства (2.12) и (2.13).2.2.Непрерывность функций курантова типаТеорема 16:Если ϕ ∈ C S (Cl(Ω)), S > 1, Cl(Ω) — компакт, и выполне-но условие (Cε ), то каково бы ни было η > 0, найдется δ = δ(ε, η) такое, чтодля любой прямолинейной триангуляции T , все треугольники T которой удовлетворяют условию (Dη ), существует криволинейная триангуляция T с темиже вершинами, криволинейные треугольники T которой определяются кривымикласса C S , задаваемыми уравнениями вида (2.1).Доказательство: Легко получается применением лемм 1 — 4.Теорема 17: В условиях теоремы 16 выполнено условие (A); на криволинейной триангуляции T функции ωj определены и непрерывны в области Cl(Ω).Доказательство: Для доказательства заметим, что согласно лемме 3 условие(A) выполнено, и потому функции ωj определены однозначно.
Используя формулы (1.4), видим, что функция ωj обращается в нуль на границе своего носителя.Применяя аппроксимационные тождества (1.1), отсюда выводим непрерывностьфункций ωj на сторонах треугольников. В остальных точках области Ω непрерывность вытекает из непрерывности вектор-функции ϕ(t) и из формул (1.4).422.3.Укрупнение триангуляцииДальше будем считать, что выполнены предположения предыдущего пункта.Из условия (Cε ) следует, что система функций [ϕ]0 , [ϕ]1 , [ϕ]2 линейно независимая на любом треугольнике T подразделения T ; благодаря этому система функций{ωj }j∈J также является линейно независимой системой.Рассмотрим систему функционалов {gi }i∈J , заданную на пространстве C(Ω)формуламиhgi , ui = u(ti ),∀i ∈ J,∀u ∈ C(Ω).(4.1)Поскольку носителем функции ωj служит тело барицентрической звезды Sj ,то ввиду непрерывности ωj на области Ω ее значения на границе множества Sjравны нулю.
Внутри этого множества лежит лишь узел tj ; остальные узлы сеткиX лежат на границе или вне носителя функции ωj . Ввиду этогоhgi , ωj i = 0,i 6= j,∀i, j ∈ J.(4.2)Используя свойство (4.2) в тождестве (1.3), записанном для t = tj , имеемhgj , ωj i = 1,∀j ∈ J.(4.3)Соотношения (4.2) – (4.3) показывают, что формулы (4.1) задают продолжение наC(Ω) системы функционалов, биортогональной системе функций {ωj }j∈J .e области Ω, которая является укрупнением подразРассмотрим триангуляцию Tделения T .1Будем считать, что здесь справедливы предположения предыдущего пункта дляисходной триангуляции; учитывая теорему 1, а также используя лемму 1 и следe таким образом, чтобы стороны треугольствие из нее, построим триангуляцию Te определялись уравнениями вида (2.1).ников Te рассмотрим построения, аналогичные тем, которые былиДля подразделения Tсделаны для подразделения T ; для удобства читателя повторим эти построения.1 Укрупнением Te триангуляции T называем такую триангуляцию, измельчением которой является T (понятие измельчения триангуляции известно).43e а самиe обозначим X,Нульмерный остов (множество вершин) триангуляции Te где Je — некоторое множество индексов; множевершины — символами etj , j ∈ J,e называется сеткой для нового подразделения Te , а вершины etj — узламиство Xe j вершины (узла) etj является объэтой сетки.
Телом барицентрической звезды Sединение замыканий треугольников, инцидентных этому узлу,[e j defe ).SCl(T=tej ∈Cl(Te )e , обоПусть множество индексов, соответствующих вершинам треугольника Tзначено JeT ,defee ), j ∈ J}.JeTe = {j | etj ∈ Cl(Te , как и прежде, вводится локальная нумерация чисНа каждом треугольнике TeTe ,лами 0, 1, 2; обозначим соответствующую биекцию χeTe :χ{0, 1, 2} → JeTe .Положимdefdϕ,T = det(ϕ(tχT (0) ), ϕ(tχT (1) ), ϕ(tχT (2) )),dϕ,T,i (t) = det(ϕ(tχT (0) ), ϕ(tχT (1) ), ϕ(tχT (2) ) || 0 i ϕ(t)),defгде символ || 0 i ϕ(t), как и прежде, означает замену i-го столбца ϕ(etTe (i) ) в последнем определителе на столбец ϕ(t), i = 0, 1, 2.ej (t), определяемые из соотношенийРассмотрим функции ωXe j,e, Te⊂Sej (t) = ϕ(t)ϕ(etj )ωпри t ∈ Ttej ∈Cl(Te )e j.при t ∈/Sej (t) = 0ωej (t) определяютПри сделанных предположениях из этих соотношений функции ωся однозначно:e ∀i ∈ {0, 1, 2};t∈TeχeTe (i) (t) = deϕ,Te ,i (t)/deϕ,Teω44отсюда легко выводимe j,e⊂Sej (t) = deϕ,Te ,χe−1 (j) (t)/deϕ,Te при t ∈ TωeTe.e j = ∅, Te для T ∩ Se∈Tej (t) = 0 при t ∈ Tωej (t) непрерывны в области Ω.Ввиду упомянутых предположений функции ωРассмотрим систему функционалов {gei }i∈Je, заданную на пространстве C(Ω)формуламиhgei , ui = u(eti )∀i ∈ Je ∀u ∈ C(Ω).(4.4)Аналогично формулам (4.2) – (4.3) имеем соотношения биортогональностиej i = δi,jhgei , ωe∀i, j ∈ J.Будем считать множества J и Je упорядоченными; введем вектор-столбцыdefω = (ωj )j∈J ,defdefej )j∈Je,e = (ωωg = (gi )i∈J ,defge = (gei )i∈Je,и рассмотрим матрицу P = (pi,j )i∈J,j∈Jвидаee T )T ,P = (g ωdefei i,pi,j = hgj , ωei ∈ J,j ∈ J.(4.5)Теорема 18: В условиях теоремы 16 и приej[Pω]j (t) ≡ 0 ∀t ∈/S∀j ∈ Je(4.6)справедливо соотношениеe (t) ≡ Pω(t).ω(4.7)Доказательство вытекает из теорем 4 и 5 работы [6].Покажем, что в исследуемом случае справедливы предположения (4.6).
Дляe матрицы g ωe T получается применениемэтого заметим, что j-й столбец (j ∈ J)ej . Ввиду непрерывности функции ωej и в соотфункционалов gi , i ∈ J, к функции ωej тех функционалов,ветствии с определением (4.4) функционалов gi , значения на ωe j функкоторые соответствуют узлам ti , лежащим на границе или вне носителя Sej , равны нулю. Таким образом, неравными нулю могут быть лишь значенияции ω45ej тех функционалов gi , которые соответствуют узлам ti , лежащим внутри бана ωe j ; функции ωi , соответствующие только что упомянутымрицентрической звезды Se ), непрерывны и имеют носители, содержаузлам (по построению триангуляции Te j . Итак, supp P hgi , ωe j ; последнееej iωi ⊂ Sщиеся в барицентрической звезде Si∈Jозначает, что выполнено условие (4.6).
Учитывая непрерывность рассматриваемых функций в области Ω, видим, что установлено следующее утверждение.ei справедТеорема 19: В условиях теоремы 16 при T ∈ T для систем ωj и ωливы калибровочные соотношенияXej (t) ≡ej iωi (t),ωhgi , ω∀t ∈ T.i∈JT2.4.Вложенность пространств и всплесковое разложениеРассмотрим пространства Sdef= Clp L({ωi }i∈J )иeSdefej }j∈Je),= Clp L({ωгде символ Lозначает линейную оболочку функций, заключенных в фигурные скобки, а символClp означает замыкание в топологии поточечной сходимости.
Ввиду теоремы 4верно соотношениеeS ⊆ S ⊆ C(Ω).defdefe j ∈ J.Пусть Q = geω T — матрица с элементами qij = hgei , ωj i, i ∈ J,Теорема 20: В условиях теоремы 16 матрица Q является левой обратнойк матрице PT .Доказательство:Транспонируем соотношение (4.7) и умножим его на од-e T = I (где I —ностолбцовую матрицу ge слева; ввиду очевидного равенства geωединичная матрица) получаем I = geω T PT , что и требовалось. Теорема доказана.Определим линейную операцию проектирования P пространства S на eS равенством2defPu =Xei ,hgei , ui ω∀u ∈ S,(5.1)i∈Je2 Фигурирующие дальше бесконечные суммы понимаются в топологии поточечной сходимости (легко видеть, что при фиксированном t ∈ Ω каждая из этих сумм имеет конечное число ненулевых слагаемых).46defи рассмотрим линейное пространство W = (I − P) S, где I — тождественная операция. Очевидно, что пространство S может быть представлено в виде прямой.суммы: S = eS + W.
Эта формула дает искомое всплесковое разложение пространства S; первое слагаемое в этом разложении называется основным пространством,а второе — всплесковым пространством.e∈eЕсли u ∈ S и uS, то с некоторыми коэффициентами cj ∈ R1 , j ∈ J, и ecj ∈ R1 ,Pe верны представления u = P ωj cj и ueej ej ∈ J,=cj ; вводя вектор-столбцыj∈Jj∈Je ωdefdefe=ωeT ec = (cj )j∈J и ec = (ecj )j∈Je запишем эти соотношения в виде u = ω T c, uc.Пусть выполнены условия теоремы 20.
Если элемент u ∈ Se + w, ue∈eпредставлен в виде суммы u = uS, w ∈ W, то для векторов ec, c и bТеорема 21:e=ωeT eтаких, что uc, u = ω T c, w = ω T b, справедливы формулы декомпозицииec = Qc,b = c − PT Qc,(5.2)и формулы реконструкцииc = PT ec + b.(5.3)Доказательство3 : Из определения (5.1) для u = ω T c имеемX Xe = Pu =eie T Qc,uωhgei , ωj icj = ωi∈Jej∈Je выводим первое из соототкуда благодаря единственности разложения по базису ωe T . Переписывая представление u = ue +wношений (5.2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
