Диссертация (1149346), страница 4
Текст из файла (страница 4)
. . , a−2 , a−1 , a0 , a1 , a2 , . . .),defb = (. . . , b−2 , b−1 , b0 , b1 , b2 , . . .),defc = (. . . , c−2 , c−1 , c0 , c1 , c2 , . . .),...... ... ... ......00... 1... 010... 001... 00 pk−1,k... 000... 000... 000... ... ... ......k−3PTdef=k−2k−1k...k−30k−20k−10kpk,kk+11k+20k+30...k+1k+2k+3...... ... ... ...000 ...000 ...000 ...000 . . . ;000 ...100 ...010 ...... ... ...
...(7.7)pk−1,k и pk,k при этом вычисляются по формулам (6.10) и (6.12).В данных обозначениях формулы реконструкции имеют следующий вид:c = PT a + b.(7.8)Таким образом, исходный поток c представлен в виде суммы основного потокаa, преобразованного матрицей PT , и вэйвлетного потока b.28Теорема 12:Для сплайн-всплескового разложения (6.3) пространстваS?1 (X, ϕ) сплайнов первого порядка формулы реконструкции (7.6) имеют видпри j ≤ k − 1,cj = aj + bjck =(7.9)ek , ϕk+1 )ek+1 )det(ϕdet(ϕk+1 , ϕak−1 +ak + b k ,ek , ϕek+1 )ek , ϕek+1 )det(ϕdet(ϕпри j ≥ k + 1.cj = aj−1 + bj(7.10)(7.11)Доказательство: По формулам (5.13), (5.15), (6.7) и (6.9) приходим к (6.10)– (6.12).1.8.Формулы декомпозицииПусть теперь известны коэффициенты ck в разложении элемента u ∈ S?1 (X) поPбазису ωi?0 : u = i ci ωi? .С учетом того, чтоai = hgei , ui,Xu=cs ωs? ,sполучим:ai =Xcs hgei , ωs? i.sОтсюдаb j = cj −Xpi,j ai = cj −Xi= cj −pi,j hgei ,XsiXpi,jXsidefПусть qi,s = hgei , ωs? i.29cs hgei , ωs? i.cs ωs? i =Определение: Формулы видаai =Xcs qi,s ,(8.1)X(8.2)sbj = cj −Xcsspi,j qi,s .iназываются формулами декомпозиции.defВводя матрицу Q = (qi,s ), перепишем формулы (8.1) — (8.2) в видеb = c − PT Qc.a = Qc,(8.3)Теорема 13: Выражения qi,s отличны от нуля только в следующих случаях:при i ≤ k − 1,qi,i = 1при i ≥ k;qi,i+1 = 1(8.4)(8.5)в остальных случаях выражение qi,s равно нулю, т.
е.qi,s = 0при (i, s) ∈/ {(i, i) | i ≤ k − 1} ∪ {(i, i + 1) | i ≥ k}.Доказательство: Используя определение функционалов gi , имеемωs (xi+1 ) при i ≤ k − 1ei+1 ) =qi,s = hgei , ωs i = ωs (xω (x ) при i ≥ k,si+2откудаqi,sδi,s=δпри i ≤ k − 1при i ≥ k.i+1,sФактически получены формулы (8.4) — (8.6).
Теорема доказана30(8.6)В соответствии с теоремой 9 матрица Q имеет вид...... ... ... ... ... ... ... ... ...000000... 1... 0100000... 0010000... 0000100... 0000010... 0000001... 0000000... ... ... ... ... ... ... ... ...k−3k−2k−1kk+1k+2k+3k−3k−2k−1defQ=kk+1k+2k+3................ . . .............(8.7)Благодаря представлениям (7.7) и (8.7), получаем...... ... ... ......00...
1... 010... 001... 00 pk−1,k... 000... 000... 000... ... ... ......k−3PT Q =defk−2k−1k...k+1...k+2k+3... ... ...k−30000k−20000k−10000k0pk,k00k+10100k+20010k+30001......31............. . . ,............ ... ...(8.8)откуда...... ... ... ......00... 0... 000... 000... 00 −pk−1,k...
000... 000... 000... ... ... ......k−3I − PT Q =defk−2k−1kk+1...k+2...00k−200k−100k1−pk,kk+100k+200k+300......X...... ... ...k−3ai =k+300 ...00 ...00 ...00 . . . ,00 ...00 ...00 ...... ... ...(8.9)cs qi,s ,(8.1)X(8.2)sbj = cj −Xcsspi,j qi,s .iТеорема 14: Формулы декомпозиции разложения (6.3) имеют видai = ciпри i ≤ k − 1,ai = ci+1при i ≥ k,(8.10)bj = 0 при j 6= k,(8.11)ek+1 )k+1 ,ϕbk = − det(ϕek ,ϕek+1 ) ck−1 + ck −det(ϕek ,ϕk+1 )det(ϕek ,ϕek+1 ) ck+1 .det(ϕДоказательство: Соотношения (8.10) — (8.11) легко получаются из представлений (8.3), (8.7) и (8.9).Воспользуемся введенными ранее обозначениямиdefdefZij = {i, i + 1, .
. . , j − 1, j}, j − i ≥ 2, Xij = {xs | s ∈ Zij }.32Поток fdef= (. . . , f−2 , f−1 , f0 , f1 , f3 , . . .)называется постоянным потоком на се-точном фрагменте Xij , j − i ≥ 2, если его компоненты одинаковы: fs = C∀s ∈Zij , где C — некоторая постоянная.Поток fdef= (. . . , f−2 , f−1 , f0 , f1 , f3 , .
. .)назовем ψ-линейным потоком на сеточ-ном фрагменте Xij , j − i ≥ 2, если его компоненты fs имеют видfs−1 = Aψ(xs ) + B,∀s ∈ Zij ,(8.12)где A и B — некоторые константы, а ψ — вещественная функция переменной t.Теорема 15:defЕсли ϕ(t) = (1, ψ(t))T , а c — ψ-линейный поток на сеточномфрагменте Xk,k+2 , то вэйвлетный (всплесковый) поток b в разложении (7.3)нулевой: b = 0; при этом основной поток совпадает с исходным: a = c.Доказательство: Подставляя (8.12) в представление для bk (см. (8.11)), принимая во внимание очевидные соотношения между определителями второго порядка и полагая a = ck−1 = ψ(xk ), b = ck = ψ(xk+1 ), c = ck+1 = ψ(xk+2 ), посленесложных вычислений получим bk = 0.ЗаключениеВ данной главе рассмотрены сплайн-всплесковые разложения первого порядка.Даны основные определения и термины, проведен обзор существующей теориисплайн-всплесковых разложений.33Глава 2Математическое моделирование идвумерные всплесковые разложенияОбзор главыВ данной главе рассматрен вопрос построения адаптивных локально укрупняемых сеток узлов, ассоциированных с двумерной триангулированной плоскостью,а также выполняется построение пространств сплайн-всплесковых разложений,ассоциированных с этими сетками.
Выводятся формулы реконструкции и декомпозиции, а также калибровочные соотношения.2.1.Первоначальные обозначенияРассмотрим трехкомпонентную вектор-функцию ϕ(t) класса C 1 (Ω), где Ω —некоторая область на плоскости R2 .Будем считать область Ω триангулированной; пусть T — соответствующий комплекс (возможно, криволинейный) с конечным или счетным множеством (открытых) треугольников T. Множество вершин (нульмерный остов комплекса) обозначим X, а сами вершины tj , j ∈ J0 , где J0 — некоторое (не более, чем счетное)множество индексов; множество X назовем сеткой, а вершины tj — узлами этойсетки. Множество вершин треугольника T обозначим через XT , а множество индексов этих вершин обозначим через JT ; таким образом,defdefXT = {tj | tj ∈ Cl(T), j ∈ J0 },JT = {j | tj ∈ Cl(T), j ∈ J0 },где символ Cl означает замыкание множества в топологии пространства R2 .
Число34треугольников, инцидентных каждому узлу, предполагается конечным.Объединение Sj замкнутых треугольников, инцидентных узлу tj , называетсятелом барицентрической звезды для вершины (узла) tj . Совокупность внутренних точек из Sj обозначается S0j . Некоторые узлы ti могут оказаться на границеобласти Ω; в этом случае ti лежит на границе своей барицентрической звезды.Пусть J — множество индексов j, для которых tj ∈ S0j — внутренняя точкасвоей барицентрической звезды, tj ∈ S0j ; таким образом, J = {j | j ∈ J0 , tj ∈ S0j }.defМатрицусвектор-столбцамиa,b,. .
.,f∈R3обозначим(a, b, . . . , f), а для квадратной матрицы (a, b, c) через det(a, b, c) обозначим ееопределитель; i-ю компоненту вектора будем обозначать квадратными скобкамис нижним индексом i, где i = 0, 1, 2; например, [a]i означает i-ю компоненту вектора a ∈ R3 , следовательно, a = ([a]0 , [a]1 , [a]2 )T . Аналогичным образом, если B— матрица, то ее элементы будем иногда обозначать [B]ij .На каждом треугольнике T введем локальную нумерацию, используя числа0, 1, 2; соответствующее взаимно-однозначное отображение (биекцию) обозначимχT ,χT :{0, 1, 2} → JT .Пустьdefdϕ,T = det(ϕ(tχT (0) ), ϕ(tχT (1) ), ϕ(tχT (2) )),dϕ,T,i (t) = det(ϕ(tχT (0) ), ϕ(tχT (1) ), ϕ(tχT (2) ) || 0 i ϕ(t)),defгде символ ||0iϕ(t) означает замену i-го столбца ϕ(tχT (i) ) в рассматриваемомопределителе на столбец ϕ(t), i = 0, 1, 2.Предположим, что выполнено условие(A): существует число ε > 0 такое, что для любого треугольника T ∈ T справедливо неравенство |dϕ,T | ≥ ε.Рассмотрим функции ωj (t), определяемые из соотношенийXϕ(tj )ωj (t) = ϕ(t)при t ∈ T, T ⊂ Sj(1.1)jпри t ∈/ Sj .ωj (t) = 035(1.2)Благодаря соотношению (1.2) тождества (1.1) можно переписать в видеXϕ(tj )ωj (t) = ϕ(t)при t ∈ T;tj ∈Cl(T)(1.3)из предположения (A) следует, что функции ωj (t) однозначно определены на всехтреугольниках T подразделения T .
Вектор-функция ϕ(t) называется генератором(генерирующей функцией) семейства функций {ωj }.Из (1.3) получаемt ∈ T ∀i ∈ {0, 1, 2},ωχT (i) (t) = dϕ,T,i (t)/dϕ,Tтак что используя соотношение (1.2), выводимd(t)/dϕ,T при t ∈ T ⊂ Sjϕ,T,χ−1T (j)ωj (t) =0при t ∈ T для T ∩ Sj = ∅, T ∈ T .(1.4)Предположим, что векторы t0 , t1 линейно независимые, t0 , t1 ∈ R2 .Обозначим через L множество точек t ∈ R2 , удовлетворяющих уравнениюdet(ϕ(t), ϕ(t0 ), ϕ(t1 )) = 0.(2.1)Очевидно, что t0 , t1 ∈ L.Лемма 1: Если точка t0 принадлежит L, а L — множество точек, удовлетворяющих уравнениюdet(ϕ(t), ϕ(t0 ), ϕ(t1 )) = 0,(2.2)то L ⊂ L.Доказательство: Ввиду линейной независимости векторов t0 , t1 и предположения t0 ∈ L с некоторыми коэффициентами αj ∈ R1 имеемϕ(t0 ) = α0 ϕ(t0 ) + α1 ϕ(t1 ).Пусть t∗ ∈ L; тогдаdet(ϕ(t∗ ), ϕ(t0 ), ϕ(t1 )) = 0.36(2.3)Подставляя точку t∗ в левую часть уравнения (2.2), получаемdet(ϕ(t∗ ), ϕ(t0 ), ϕ(t1 )) == det(ϕ(t∗ ), α0 ϕ(t0 ) + α1 ϕ(t1 ), ϕ(t1 )).Последнее выражение ввиду свойств определителя и соотношения (2.3) равнонулю.
Итак, t∗ ∈ L.Следствие 1:Если точки t0 , t1 принадлежат L, а L — множество точек,удовлетворяющих уравнениюdet(ϕ(t), ϕ(t0 ), ϕ(t1 )) = 0,то L ⊂ L; если ϕ(t0 ) и ϕ(t1 ) линейно независимы, то L и L совпадают.Доказательство: Аналогично доказательству леммы 1. Пусть t∗ ∈ L; заменим в определителе det(ϕ(t), ϕ(t0 ), ϕ(t1 )) вектор-столбцы ϕ(ts ) суммами α0s ϕ(t0 )+α1s ϕ(t1 ), s = 0, 1, а затем отбросим слагаемые, в которых определители имеютодинаковые столбцы.
В результате придем к сумме слагаемых, в каждом из которых (с точностью до порядка столбцов) присутствует равный нулю определительdet(ϕ(t∗ ), ϕ(tj ), ϕ(t1 )). Последнее утверждение леммы очевидно.Введем обозначенияdefψ(t, t0 , t1 ) = det(ϕ(t), ϕ(t0 ), ϕ(t1 )),(2.4)defBδ (t0 ) = {t | ||t − t0 ||R2 < δ};(2.5)в случае, когда положение центра круга значения не имеет, для него используетсясимвол Bδ без указания его центра.Пустьg = ([t1 − t0 ]2 , −[t1 − t0 ]1 )T .def(2.6)В дальнейшем символ D i означает первую частную производную по i-й коорdefдинате [t]i переменной t, а символ ∇t означает градиент, ∇t = (D1 , D2 ).37Лемма 2: Если t, t1 ∈ Bδ (t0 ) ⊂ Ω, то при δ → 0 справедлива формулаe(δ),∇t ψ(t0 ) = − g · det(ϕ(t0 ), D 1 ϕ(t0 ), D 2 ϕ(t0 )) + o(2.7)e(τ ) обозначается двухкомпонентная вектор-функция со свойствомгде через oe(τ )||R2 /τ = 0.lim ||oτ →0Доказательство:Дифференцированием функции ψ(t, t0 , t1 ) (см.
(2.4)) попеременной [t]1 получаемD 1 ψ(t, t0 , t1 ) = det D 1 ϕ(t), ϕ(t0 ), ϕ(t1 ) == det D 1 ϕ(t0 ) + o(1), ϕ(t0 ),ϕ(t0 ) + D 1 ϕ(t0 )[t1 − t0 ]1 + D 2 ϕ(t0 )[t1 − t0 ]2 + o(δ) ,(2.8)где o(1) и o(δ) означают трехкомпонентные вектор-функции, для которыхlim ||o(1)||R3 = 0δ→0иlim ||o(δ)||R3 /δ = 0.δ→0Используя элементарные преобразования столбцов (не меняющие значение определителя), из (2.8) найдемD 1 ψ(t, t0 , t1 ) = det D 1 ϕ(t0 ) + o(1), ϕ(t0 ),D 1 ϕ(t0 )[t1 − t0 ]1 + D 2 ϕ(t0 )[t1 − t0 ]2 + o(δ) == det D 1 ϕ(t0 ) + o(1), ϕ(t0 ),−o(1)[t1 − t0 ]1 + D 2 ϕ(t0 )[t1 − t0 ]2 + o(δ) .38Отсюда получаемD 1 ψ(t, t0 , t1 ) == det D 1 ϕ(t0 ), ϕ(t0 ), D 2 ϕ(t0 )[t1 − t0 ]2 +o(δ) == [t1 − t0 ]2 · det D 1 ϕ(t0 ), ϕ(t0 ), D 2 ϕ(t0 ) +o(δ),так чтоD 1 ψ(t, t0 , t1 ) = −[t1 − t0 ]2 · det ϕ(t0 ), D 1 ϕ(t0 ), D 2 ϕ(t0 ) +o(δ).(2.9)Аналогичным образом имеемD 2 ψ(t, t0 , t1 ) = det D 2 ϕ(t0 ) + o(1), ϕ(t0 ),ϕ(t0 ) + D 1 ϕ(t0 )[t1 − t0 ]1 + D 2 ϕ(t0 )[t1 − t0 ]2 + o(δ) ,и дальше с помощью элементарных преобразований столбцов определителя, выводимD 2 ψ(t, t0 , t1 ) = det D 1 ϕ(t0 ) + o(1), ϕ(t0 ),D 1 ϕ(t0 )[t1 − t0 ]1 − o(1)[t1 − t0 ]2 + o(δ) .Отсюда находимD 2 ψ(t, t0 , t1 ) = [t1 − t0 ]1 · det ϕ(t0 ), D 1 ϕ(t0 ), D 2 ϕ(t0 ) +o(δ).(2.10)Благодаря обозначению (2.6), формулы (2.9) и (2.10) можно записать в видеD 1 ψ(t, t0 , t1 ) = [g]1 · det ϕ(t0 ), D 1 ϕ(t0 ), D 2 ϕ(t0 ) +o(δ),D 2 ψ(t, t0 , t1 ) = [g]2 · det ϕ(t0 ), D 1 ϕ(t0 ), D 2 ϕ(t0 ) +o(δ);таким образом, формула (2.7) доказана.Предположим, что выполнено условие(Cε ) : существует константа ε > 0, такая что| det(ϕ(t), D 1 ϕ(t), D 2 ϕ(t))| ≥ ε39∀t ∈ Cl(Ω).Лемма 3: Если ϕ ∈ C 1 (Cl(Ω)) и t0 , t1 , t2 ∈ BδTΩ, то при δ → 0 справедливаформулаdet(ϕ(t0 ), ϕ(t1 ), ϕ(t2 )) = det(t1 − t0 , t2 − t0 )××det(ϕ(t0 ), D 1 ϕ(t0 ), D 2 ϕ(t0 )) + o(δ 2 ),(2.11)где Bδ — любой шар радиуса δ > 0, имеющий непустое пересечение с областьюΩ.Если ϕ ∈ C S (Cl(Ω)), S > 1, Cl(Ω) — компакт, и выполнено условие (Cε ), токаково бы ни было число c > 0, существует δ = δ(ε, c) > 0 такое, что при любыхTвекторах t0 , t1 , t2 ∈ Bδ Ω, удовлетворяющих неравенству| det(t1 − t0 , t2 − t0 )| ≥ cδ 2 ,(2.12)верно соотношение| det(ϕ(t0 ), ϕ(t1 ), ϕ(t2 ))| ≥ ε/2.Доказательство: По формуле Тейлора имеемϕ(ti ) = ϕ(t0 ) +2XDj ϕ(x0 )[ti − t0 ]j + o(δ),i = 1, 2,j=1так что находимdet(ϕ(t0 ), ϕ(t1 ), ϕ(t2 )) == det(ϕ(t0 ), D1 ϕ(t0 )[t1 − t0 ]1 + D2 ϕ(t0 )[t1 − t0 ]2 + o(δ),D1 ϕ(t0 )[t2 − t0 ]1 + D2 ϕ(t0 )[t2 − t0 ]2 + o(δ)) = det(ϕ(t0 ),D1 ϕ(t0 )[t1 − t0 ]1 , D1 ϕ(t0 )[t2 − t0 ]1 + D2 ϕ(t0 )[t2 − t0 ]2 + o(δ))++ det(ϕ(t0 ), D2 ϕ(t0 )[t1 − t0 ]2 , D1 ϕ(t0 )[t2 − t0 ]1 ++D2 ϕ(t0 )[t2 − t0 ]2 + o(δ)) + o(δ 2 ).Вынося множитель второго столбца за знак соответствующего определителя ипроводя элементарные преобразования, последовательно выводим40det ϕ(t0 ), ϕ(t2 ), ϕ(t2 ) == [t1 − t0 ]1 det ϕ(t0 ), D1 ϕ(t0 ), D1 ϕ(t0 )[t2 − t0 ]1 + D2 ϕ(t0 )[t2 − t0 ]2 + o(δ) ++[t1 − t0 ]2 det ϕ(t0 ), D2 ϕ(t0 ), D1 ϕ(t0 )[t2 − t0 ]1 ++D2 ϕ(t0 )[t2 − t0 ]2 + o(δ) +o(δ 2 ) == [t1 − t0 ]1 det ϕ(t0 ), D1 ϕ(t0 ), D2 ϕ(t0 )[t2 − t0 ]2 ++[t1 − t0 ]2 det ϕ(t0 ), D2 ϕ(t0 ), D1 ϕ(t0 )[t2 − t0 ]1 +o(δ 2 ) == [t1 − t0 ]1 [t2 − t0 ]2 det ϕ(t0 ), D1 ϕ(t0 ), D2 ϕ(t0 ) ++[t1 − t0 ]2 [t2 − t0 ]1 det ϕ(t0 ), D2 ϕ(t0 ), D1 ϕ(t0 ) +o(δ 2 ) = = det t1 − t0 , t2 − t0 det ϕ(t0 ), D1 ϕ(t0 ), D2 ϕ(t0 ) +o(δ 2 ).Формула (2.11) установлена.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
