Диссертация (1149346), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Непрерывность функций ωj(S)при j ∈ Z установлена (напомним, что supp ωj(S)Осталось доказать непрерывность ωjв точках xj и xj+2⊂ [xj , xj+2 ]).в точке xj+1 . При t ∈ (xj , xj+1 ) из (1.2)находимaj−1 ωj−1 (t) + aj ωj (t) = ϕ(t),(3.2)а при t ∈ (xj+1 , xj+2 ) из (1.2) получаемaj ωj (t) + aj+1 ωj+1 (t) = ϕ(t).18(3.3)Перейдем в (2.5) к пределу при t → xj+1 − 0 и в (2.6) к пределу при t →xj+1 + 0; учитывая, что согласно только что доказанному ωj−1 (xj+1 − 0) = 0 иωj+1 (xj+1 + 0) = 0, приходим к соотношениямaj ωj (xj+1 − 0) = ϕ(xj+1 ),aj ωj (xj+1 + 0) = ϕ(xj+1 ).Отсюда следует равенство ωj (xj+1 − 0) = ωj (xj+1 + 0). Теорема доказана.(S)Следствие 1: Если {ϕj }j∈Z — полная цепочка, то приdef(S)aj = ϕj+1(S)верны соотношения ωj(3.4)∈ C(α, β).Доказательство: При предположении (3.4) второе из соотношений в (2.3) при(S)нимает вид dTk ϕk = 0, что совпадает с условием (2.4); теперь утверждение, сформулированное в следствии, вытекает из теоремы 1.Предположим, что(A1 ) ϕ непрерывна на интервале (α, β), а цепочка {ϕj }j∈Z — полная.Цепочку векторов a?j = ϕj+1 обозначим A? .defТеорема 4: Пусть выполнено предположение (A1 ).

Тогда в множестве{S1 (X, A, ϕ) | A ∈ A}пространств (X, A, ϕ)-сплайнов первого порядка существует и единственно пространство непрерывных сплайнов.Доказательство:1. Для доказательства существования пространства непрерывных(X, A, ϕ)-сплайнов положим aj = a?j в соотношениях (1.1). Ясно, что ввиду полноты цепочки {a?j } можно воспользоваться формулами (1.4); получаемые в этомслучае образующие сплайны обозначим ωj? . Благодаря выполнению свойства (2.4)при S = 0 для указанного выбора векторов aj (см. (2.1)) в соответствии с теоремой1 имеем ωj? ∈ C(α, β) ∀j ∈ Z; в части существования теорема доказана.2.

Установим единственность пространства непрерывных (X, A, ϕ)-сплайнов.19Пусть по полной цепочке векторов ak построено пространство S1 (X, A, ϕ), в котором образующие функции ωj ∀j ∈ Z лежат в пространстве C(α, β).В соответствии с теоремой 3 соотношения ωj ∈ C(α, β) ∀j ∈ Z эквивалентнысоотношениям dTk ϕk = 0 ∀k ∈ Z; последние означают ортогональность векторов dkи ϕk . Вспоминая, что по построению вектора dk (см.

(2.1)) он также ортогоналенвектору ak−1 , приходим к выводу о коллинеарности векторов ak−1 и ϕk ; такимобразом, существуют (благодаря полноте цепочки {aj } и условию (A1 )) отличныеот нуля константы ck ∈ R1 такие, что ak−1 = ck−1 ϕk , или (что то же самое)ak = ck a?k . Получаемые в этом случае по формулам (1.4) функции обозначим ωj .Очевидно, что они лишь постоянным множителем отличаются от полученных впервой части доказательства функций: ωj =1 ?cj ωj ;поэтому линейные оболочкимножеств {ωj | ∀j ∈ Z} и {ωj? | ∀j ∈ Z} совпадают. Единственность пространстванепрерывных (X, A, ϕ)-сплайнов доказана.Определение: Пространство S1 (X, A? , ϕ) называется пространством (X, ϕ)сплайнов и обозначается S?1 (X, ϕ); сплайны этого пространства называем сплайнами максимальной гладкости на сетке X, порожденными генерирующей функцией ϕ(t).Замечание 1: Если ϕ(t) = (1, t)T , то получается важный частный случай,которому посвящен §1, а именно: получается полиномиальный сплайн ωj? первой степени с носителем supp ωj? = [xj , xj+2 ]; если к тому же aj = ϕ(xj+1 ), тоотыскиваемый сплайн непрерывен и представляет собой одномерную функциюР.Куранта:ωj? (t) = (t − xj )(xj+1 − xj )−1 при t ∈ [xj , xj+1 ),(3.5)ωj? (t) = (xj+2 − t)(xj+2 − xj+1 )−1 при t ∈ [xj+1 , xj+2 ),(3.6)ωj? (t) = 0 при t ∈/ [xj , xj+2 ].(3.7)201.4.Условие полноты цепочки векторовЗдесь найдем достаточные условия полноты цепочки {ϕj }j∈Z , т.

е. достаточныеусловия того, что det(ϕj , ϕj+1 ) 6= 0 ∀j ∈ Z.Пусть ϕ ∈ C 1 (α, β); тогдаϕj+1 = ϕj + ϕ 0j (xj+1 − xj ) + o(xj+1 − xj ),где o(α) — двумерная вектор-функция вещественного переменного α, такая чтоo(α) −−→ 0.αα→0Таким образомdet(ϕj , ϕj+1 ) = det(ϕj , ϕ 0j )(xj+1 − xj ) + o(xj+1 − xj ).(4.1)defПоложим hX = supj∈Z (xj+1 − xj ).Справедливо следующее утверждениеТеорема 5: Если ϕ ∈ C 1 [α, β] и| det(ϕ, ϕ 0 )(t)| ≥ c > 0∀t ∈ (α, β),(4.2)то при достаточно малом hX цепочка {ϕj }j∈Z является полной.Доказательство: Очевидным образом следует из формулы (4.1) ввиду равномерной непрерывности компонент вектора ϕ 0 (t) на отрезке [α, β].Пусть ϕ ∈ C 2 [α, β]; тогдаϕj+1 = ϕj + ϕ 0j (xj+1 − xj ) + ϕ 00j (xj+1 − xj )2 /2 + o((xj+1 − xj )2 );21отсюдаdet(ϕj , ϕj+1 ) == det[ϕj ]0[ϕj ]1[ϕ 0j ]0 (xj+1[ϕ 0j ]1 (xj+1− xj ) +− xj ) +[ϕ 00j ]0 (xj+1[ϕ 00j ]1 (xj+1= (xj+1 − xj ) det(ϕj , ϕ 0j ) + (xj+1 − xj )2 det2− xj )− xj )2[ϕj ]0[ϕj ]1!=[ϕ 00j ]0[ϕ 00j ]1!== (xj+1 − xj )[det(ϕj , ϕ 0j ) + (xj+1 − xj ) det(ϕj , ϕ 00j )].(4.3)Введем обозначениеdefM = supmaxj∈Z xj ≤ξ,η≤xj+1| det(ϕj , ϕ 00j (ξ, η)|.(4.4)При предположении ϕ ∈ C 2 [α, β] число M конечно.Справедливо следующее утверждениеТеорема 6: Если ϕ ∈ C 2 [α, β] и выполнено условие (4.2), то приhX < c/M(4.5)цепочка {ϕj }j∈Z является полной; здесь числа c и M определяются формулами(4.2), (4.4) соответственно.Доказательство: Следует из соотношения (4.3) и формул (4.2), (4.4).Замечание 2: Если ϕ(t) = (1, t)T , то для цепочки ϕj свойство полноты очевидно для любой сетки X; при этом det(ϕ, ϕ 0 )(t) ≡ 1, так что условие (4.2) выполненос константой c = 1, а число M согласно формуле (4.4) равно нулю; таким образомhX — произвольное положительное число.221.5.Укрупнение сетки и вложенность пространствПокажем вложенность пространства непрерывных сплайнов первого порядкана укрупненной сетке в аналогичное пространство сплайнов на исходной сетке(смотри [14], [17]).Для фиксированного k ∈ Z положимdefdefej = xj+1 при j ≥ k + 1,ej = xj при j ≤ k, и xxe:и рассмотрим новую сетку Xdefξ = xk+1 ,(5.1)e−1 < xe0 < xe1 < .

. .... < xdefej = ϕ(xej ). Предположим, что {ϕej }j∈Z — полная цепочка векторов.Пусть ϕe?j = ϕej+1 Рассмотрим функции ωej? , определяемые соотношениямиПоложим aX ?defej 0 ωej?0 (t) = ϕ(t),ej? (t) ≡ 0 ∀t ∈ej , xej+2 ],aω(5.2)/ Sej , Sej = [xdefj 0 ∈Zej? — сплайны первого порядка, описываемые уже знакомыми намследовательно, ωформулами:ej? (t) =ωej ,ϕ(t))det(ϕeej+1 )det(ϕj ,ϕej , xej+1 )при t ∈ (x0ej , xej+2 )при t ∈/ (xej+2 )det(ϕ(t),ϕeej+2 )det(ϕ,j+1 ϕej+1 , xej+2 ) .при t ∈ (x(5.3)e ? defe?j }j∈Z , аналогично (1.5) построим пространствоПолагая A= {aXdef? eej? ∀cj ∈ R1 }.S1 (X, ϕ) = Clp {u | u =cj ωjej? совпадают с ωj? :Очевидно, что при j ∈/ {k − 1, k} функции ωej? (t) ≡ ωj? (t) ∀j ≤ k − 2,ω?ej? (t) ≡ ωj+1ω(t) ∀j ≥ k + 1(5.4)e?j = a?j+1 при j ≥ k + 1.a(5.5)иe?j = a?j при j ≤ k − 2,a23Из (1.2) и (5.2) вытекает равенствоX ?X?eej (t) =aj ωa?j0 ωj?0 (t).(5.6)j 0 ∈Zj∈ZСледовательно,???e?k−1 ωe?k ωek−1ek? (t) = a?k−1 ωk−1a(t) + a(t) + a?k ωk? (t) + a?k+1 ωk+1(t).(5.7)Теорема 7: Справедливо соотношениеe ϕ) ⊂ S? (X, ϕ).S?1 (X,1(5.8)Доказательство: Система линейных уравнений (5.7) разрешима относительek−1 и ωek по условию полноты цепочки векторов {ϕej }j∈Z .

Следовательно, функно ωek−1 и ωek представимы в виде линейных комбинаций функций ωk−1 и ωk Теоции ωрема доказана.1.6.Калибровочные соотношенияej? представляют собойРанее было установлено, что при j ∈ {k − 1, k} сплайны ω??линейную комбинацию сплайнов ωj−1, ωj? и ωj+1:?????ek−1ek? = c 0−1 ωk−1ω= c−1 ωk−1+ c0 ωk? + c1 ωk+1, ω+ c 00 ωk? + c 01 ωk+1.(6.1)Определение: Соотношения вида (6.1) называются калибровочными соотношениями.Теорема 8 : Пусть цепочка векторов {aj }j∈Z полная, а компоненты векторфункции ϕ(t) представляют собой линейно независимую систему функций налюбом интервале (a, b) ⊂ (α, β).Тогда на любом интервале (a, b), (a, b) ⊂ (α, β) система функций{ωj | (a, b) ∩ (xj , xj+2 ) 6= ∅ j ∈ Z}линейно независима.24Для того, чтобы система функционалов{gi }i∈Z , supp gi ⊂ (xi , xi+1 ),была биортогональна системе функций {ωj }j∈Z , 1 , необходимо и достаточно,чтобы hgi , ϕi = ai .Доказательство: Первая часть теоремы очевидна.

Вторая часть следует изтеоремы 1.Пусть функционалы gj? ∈ (C(α, β))∗ заданы формулойhgj? , ui = u(xj+1 )∀u ∈ C(α, β) ∀j ∈ Z.(5.1)Теорема 9: Система функционалов {gj? }j∈Z биортогональна системе функций {ωi? }i∈Z , так что hgj? , ωi? i = δi,j .Доказательство: Очевидно по (5.1) и теореме 1.Теорема 10:??ek−1ω(t) = ωk−1(t) +ek? (t) =ωek+1 ) ?det(ϕk+1 , ϕ· ωk (t),ek , ϕek+1 )det(ϕek , ϕk+1 ) ?det(ϕ?· ωk (t) + ωk+1(t)ek , ϕek+1 )det(ϕ∀t ∈ (α, β).(6.2)(6.3)??, получим:, gk? и gk+1Доказательство: Применяя к (6.1) функционалы gk−1??ek−1c−1 = hgk−1,ωi,?ek? i,c 0−1 = hgk−1,ω?ek−1c0 = hgk? , ωi,ek? i,c 00 = hgk? , ωВычислим выражения (6.4). det(ϕek−1 ,ϕ(t))defek−1 ,ϕek )det(ϕ?ek−1 (t) =ω det(ϕ(t),ϕek+1 )ek ,ϕek+1 )det(ϕ1 т.е.hgi , ωj i = δi,j25??ek−1c1 = hgk+1,ωi,?ek? i.c 01 = hgk+1,ωek−1 , xek ),при t ∈ (xek , xek+1 ).при t ∈ (x(6.4)(6.5)(6.6)ek и xk+2 = xek+1 получим:Т.к.

xk = x????ek−1ek−1ek−1ek ) = 1,c−1 = hgk−1,ωi=ω(xk ) = ω(x??ek−1ek−1c0 = hgk? , ωi=ω(xk+1 ) =ek+1 )det(ϕk+1 , ϕ,ek+1 )ek , ϕdet(ϕ????ek−1ek−1ek−1ek+1 ) = 0.c1 = hgk+1,ωi=ω(xk+2 ) = ω(xПервая формула доказана. Аналогично det(ϕek ,ϕ(t))ek , xek+1 ),при t ∈ (xdef?ek (t) = det(ϕek ,ϕek+1 )ω det(ϕ(t),ϕek+2 ) при t ∈ (xek+1 , xek+2 ),ek+1 ,ϕek+2 )det(ϕоткуда?ek? i = ωek? (xk ) = ωek? (xek ) = 0,c 0−1 = hgk−1,ωek? i = ωek? (xk+1 ) =c 00 = hgk? , ωek , ϕk+1 )det(ϕ,ek , ϕek+1 )det(ϕ?ek? i = ωek? (xk+2 ) = ωek? (xek+1 ) = 1.c 01 = hgk+1,ωТеорема доказана.Теорема 11: Справедливы калибровочные соотношенияXei? =ωpi,j ωj? ,(6.8)jгде ∀i, j ∈ Z pi,j удовлетворяет следующим условиям:pi,j = δi,jпри i ≤ k − 2,pk−1,k−1 = 1, pk−1,k =pk−1,j = 0 при j ∈/ {k − 1, k},∀j ∈ Z,ek+1 )det(ϕk+1 , ϕ,ek , ϕek+1 )det(ϕpk,j = 0 при j ∈/ {k, k + 1},26(6.9)(6.10)(6.11)pk,k =ek , ϕk+1 )det(ϕ,ek , ϕek+1 )det(ϕpk,k+1 = 1,при i ≥ k + 1,pi,j = δi,j−1∀j ∈ Z.(6.12)(6.13)Доказательство: Очевидно по (4.1), (4.4), (6.1), (6.3).1.7.Формулы реконструкцииОпределение: Пространство вида?e ϕ) defW1 = W1 (X, X,= Q S1 (X, ϕ)будем называть пространством всплесков.Теперь можно записать прямое разложение.e ϕ) +e ϕ),S?1 (X, ϕ) = S?1 (X,W1 (X, X,(7.3)представляющее собой сплайн-всплесковое разложение пространства S?1 (X, ϕ).Разложим u ∈ S?1 (X, ϕ) по базису {ωi }i∈Z :u=Xci = hgi? , uici ωi ,(7.4)i∈Zи его разложение по компонентам прямой суммы (7.3).e ϕ) иПусть коэффициенты ai и bi0 проекций элемента u на пространства S?1 (X,W1 известны, тогда P u и Qu представимы в видеXXei? ,Pu =ai ωQu =bi0 ωi?0 ,(7.5)i0iгде ai = hgei , ui, bi0 = hgi0 , Qui.Выразив cj через коэффициенты ai и bi0 , получим:cj =Xai pi,j + bji27∀j ∈ Z.(7.6)Определение: Формулы вида (7.6) будем называть формулами реконструкции.Введем обозначения:defa = (.

Характеристики

Список файлов диссертации