Диссертация (1149346)
Текст из файла
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТНа правах рукописиРомановский Леонид МихайловичДвумерные модели цифровых сигналов на базеадаптивных сплайн-всплесковСпециальность 05.13.18 — Математическое моделирование,численные методы и комплексы программДиссертация на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукНаучный руководитель:профессор, д. ф.-м. н. Демьянович Юрий КазимировичСанкт-Петербург — 2015ОглавлениеВведение41 О сплайн-всплесковых разложениях121.1 Предварительные определения .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121.2 О непрерывности координатных функций . . . . . . . . . . . . . . . .141.3 Нелинейные координатные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . .181.4 Условие полноты цепочки векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .211.5 Укрупнение сетки и вложенность пространств . . . . .
. . . . . . . .231.6 Калибровочные соотношения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .241.7 Формулы реконструкции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .271.8 Формулы декомпозиции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.292 Математическое моделирование и двумерныевсплесковые разложения342.1 Первоначальные обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .342.2 Непрерывность функций курантова типа . . . . . . . . . . . . . . . .422.3 Укрупнение триангуляции . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .432.4 Вложенность пространств и всплесковое разложение . . . . . . . . . .462.5 Триангуляция, допускающая локальное укрупнение . . . . . . . . . .492.6 Структура барицентрических звезд на исходной и укрупненной триангуляциях .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .532.7 Калибровочные соотношения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .562.8 Биортогональная система и ее значения на базисных функциях объемлющего пространства .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .602.9 Общая структура всплескового разложения . . . . . . . . . . . . . .6122.10Всплесковое разложение при локальном укрупнении триангуляции . .3 Реализация алгоритма укрупнения триангуляции64693.1 Обозначения . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .693.2 Изменение таблицы инциденций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .713.3 Укрупнение триангуляции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .723.4 Алгоритм укрупнения в данной области . . . .
. . . . . . . . . . . . .733.5 Програмная реализация алгоритма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .793.6 Структура алгоритма укрупнения триангуляции . . . . . . . . . . . .803.7 Результаты работы программы на модельных примерах . . . . . .
. .88Литература97Приложение102IТаблицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102II Результаты работы программы на модельных примерах . . . . . . . . 114III Исходные коды компьютерных программ . . . . . . . . . . . . . . . . 1173ВведениеАктуальность работыПри решении практических задач компьютерного моделирования возникает потребность построения аппроксимации наборов данных значительного объема, характеризуемых функциями с нерегулярным поведением (например, неограниченным ростом функций или их производных). В частности, подобные задачи возникают в метеорологии, где требуется проводить детальный анализ погодных явлений, например, циклонов. Решение таких задач, как правило, требует существенных вычислительных ресурсов; при этом иногда применяются так называемые всплесковые1 разложения.
Сплайн-всплесковая аппроксимация набора данных представляет собой линейную комбинацию некоторых базисных функций,имеющих компактный носитель; соответствующие базисные функции строятсястандартным образом и определяются сеткой узлов, ассоциируемой с рассматриваемым набором данных. При этом исходный поток преобразуется в коэффициентытакого разложения и представляется в виде двух потоков: основного, позволяющего построить приближенную модель исходных данных, и уточняющего (всплескового). Классическая теория вэйвлетов использует преимущественно равномерныесетки узлов, которые позволяют применять мощный аппарат преобразования Фурье. Для построения аппроксимаций функций с особенностями предложен другойподход, в основе которого лежат аппроксимационные соотношения.
В этом случаеоказалось возможным использование неравномерных сеток узлов, что позволяет в некоторых случаях добиться сокращения объема ресурсов, необходимых дляпостроения и численного анализа математической модели.Трудности возникают в при решении практических задач, связанных с много1Врусскоязычной литературе термин “всплеск” применяется вместо слова “вэйвлет”.4мерными наборами данных; в частности, в двумерном случае используемые сеткиявляются множеством вершин некоторой триангуляции.
Однако, не всякая триангуляция может быть локально укрупнена с сохранением правильности: например,стандартная триангуляция, часто используемая в методе конечных элементов2 , недопускает локального укрупнения. Таким образом, представляет интерес разработка симплициальных разбиений двумерной плоскости, допускающих локальныеукрупнения с сохранением топологической правильности, а также построение соответствующих пространств сплайн-всплесковых разложений.Цель диссертационной работыОсновной целью данной диссертационной работы является построение адаптивных методов числовой обработки и математического моделирования потоковданных, естественным образом ассоциируемых с двумерными объектами.2 Ю.К. Демьянович, А.В. Зимин “Аппроксимации курантова типа и их вэйвлетные разложения” – Проблемы математическогоанализа, 2008, с.
3-22.5Задачи диссертационной работыВ рамках реализации цели диссертационной работы поставлены следующие задачи:• построение триангуляций на плоскости, допускающих многократные локальные укрупнения;• исследование пространств сплайн-всплесковых разложений, ассоциированныхс рассматриваемыми сетками узлов;• разработка адаптивных алгоритмов и численных методов всплесковой обработки двумерных моделей цифровых данных;• реализация предложенных алгоритмов в виде комплекса компьютерных программ.Положения, выносимые на защиту1.
Триангуляция, допускающая локальное укрупнение с сохранением топологииисходной триангуляции в области укрупнения.2. Сплайн-всплесковые разложения вложенных пространств курантова типа, ассоциированные с предложенными триангуляциями.3. Алгоритмы декомпозиции и реконструкции, а также выведены соответствующие калибровочные соотношения.4. Комплекс компьютерных программ, реализующий предложенный алгоритм.6Научная новизнаВсе результаты, представленные в работе, являются новыми.Личный вклад автораЛичный вклад автора состоит в выполнении исследований, изложенных в диссертационной работе, реализации предложенных алгоритмов, в анализе и оформлении результатов в виде научных докладов.Теоретическая и практическая значимостьРабота носит, в основном, теоретический характер, однако полученные результаты представляют также и практический интерес.
Вопросы построения адаптивных сеток узлов в многомерном случае исследованы недостаточно полно; необходимость использования таких сеток возникает, в частности, в численных методах, использующих всплесковые разложения. Предложенные алгоритмы позволяют проводить адаптивное укрупнение триангуляции, а также выполнять построение соответствующих сплайн-всплесковых разложений исходного потока.
Результаты диссертационной работы могут быть использованы при решении прикладныхзадач, связанных с моделированием и анализом цифровых потоков данных, а также при сжатии и последующем восстановлении с заданной точностью большихобъемов информации с резко меняющимися характеристиками.
Кроме того, важной характеристикой метода всплесков, исследуемого в данной работе, являетсяего параллелизуемость.7Публикации по теме диссертационной работыСписок публикаций в изданиях, рекомендованных ВАК1. Демьянович Ю. К., Романовский Л. М.
Сплайн - всплесковое укрупнениеаппроксимаций курантова типа. Численные методы и вопросы организациивычислений. XXVI, Зап. научн. сем. ПОМИ, 419, ПОМИ, СПб., 2013, с. 77–110.2. Романовский Л. М. Реализация алгоритма локального укрупнения триангуляции. Вестн. С.-Петербург. ун-та. Сер. 10. Прикл. матем. Информ. Проц.упр., 2014:3, с. 111-117.3. Романовский Л. М.
Об алгоритме локального укрупнения триангуляции. Компьютерные инструменты в образовании, ГНИИ ИТТ ‘Информатика’, СПб.,2014:2, с. 29-34.Список публикаций в сборниках трудов научныхконференций1. Демьянович Ю. К., Романовский Л. М. Локальное укрупнение триангуляциии двумерные сплайн-всплески. СПИСОК-2012: Материалы всероссийской научной конференции по проблемам информатики,Санкт-Петербург, ВВМ, 2012,с. 117-182.2. Романовский Л.
М. О локальном укрупнении триангуляции. СПИСОК-2013:Материалы всероссийской научной конференции по проблемам информатики,Санкт-Петербург, ВВМ, 2013, с. 207-210.8Структура и объем диссертацииДиссертация состоит из введения, трех глав, заключения, библиографии и приложения. Общий объем диссертации составляет 119 страниц. В тексте работы содержится 7 таблиц и 25 рисунков; в приложении содержится 9 таблиц и 3 листингаисходных кодов компьютерных программ.
В библиографии работы содержится 53наименования.Описание главВ первой главе рассмотрены вопросы общие построения сплайн-всплесковыхразложений. Даются основные определения и термины, используемые в работе.Рассматрены вопросы непрерывности и гладкости сплайн-всплесковых функций.Выполнено построение пространства сплайнов S?1 (X, ϕ), ассоциированного с сеткой узлов X и с генерирующей функцией ϕ.
Далее доказана вложенность проe в пространство сплайнов, асстранства сплайнов на укрупненной сетке узлов Xсоциированное с исходной сеткой:e ϕ) ⊂ S? (X, ϕ).S?1 (X,1На примере функций первого порядка выполнено построение калибровочных соотношений, а также алгоритмов реконструкции и декомпозиции.Вторая глава посвящена вопросам построения сплайн-всплесковых разложений с использованием функций Куранта. Выполнено построение триангуляции,допускающей сохранение правильности при проведении локального укрупнения,а также построены алгоритмы проведения таких укрупнений; при этом для задания триангуляции предлагается использовать таблицу инциденций треугольниквершина.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
