Автореферат (1149345), страница 2
Текст из файла (страница 2)
. ..e будем называть укрупнением исходной сетки; для нее по аналогии сСетку Xe ϕ).исходным пространством выполняется построение пространства S?1 (X,? , ω?Сплайны ωej? можно представить как линейную комбинацию сплайнов ωj−1j?и ωj+1 :??ωek? = c 0−1 ωk−1+ c 00 ωk? + c 01 ωk+1.???ωek−1= c−1 ωk−1+ c0 ωk? + c1 ωk+1,(2)Соотношения (2) называются калибровочными соотношениями.Пространство вида?e ϕ) defW1 = W1 (X, X,= Q S1 (X, ϕ)будем называть пространством всплесков, а прямое разложениеe ϕ) +.
W1 (X, X,e ϕ),S?1 (X, ϕ) = S?1 (X,назовем сплайн-всплесковым разложением пространства S?1 (X, ϕ).В конце главы приведены формулы декомпозиции и реконструкции. Формулы декомпозиции позволяют осуществить переход от исходных коэффициентов ккоэффициентам сплайн-всплескового разложения. Обратный переход можно осуществить с помощью формул реконструкции.7Во Второй главе рассмотрены сплайн-всплесковые разложения на двумернойплоскости с триангуляцией. Выполняются построения калибровочных соотношения для функций курантова типа, выводятся формулы реконструкции и декомпозиции.Рассмотрим трехкомпонентную вектор-функцию ϕ(t) класса C 1 (Ω), где Ω —некоторая область на плоскости R2 .
Пусть Ω — триангулированная область; T —соответствующий комплекс (возможно, криволинейный) с конечным или счетныммножеством (открытых) треугольников T, T ∈ Ω. Множество вершин (нульмерный остов комплекса) обозначим X, а сами вершины — через tj , j ∈ J0 , где J0— некоторое (не более, чем счетное) множество индексов; множество X назовемсеткой, а вершины tj — узлами этой сетки. Множество вершин треугольника Tобозначим через XT , а множество индексов, соответствующих этим вершинам,обозначим через JT ; таким образом,XTdef={tj | tj ∈ Cl(T), j ∈ J0 },JTdef={j | tj ∈ Cl(T), j ∈ J0 },где символ Cl означает замыкание множества в топологии пространства R2 . Числотреугольников, инцидентных каждому узлу, предполагается конечным.Объединение Sj замкнутых треугольников, инцидентных узлу tj , называетсятелом барицентрической звезды для вершины (узла) tj .
Совокупность внутреннихточек из Sj обозначается S0j . Некоторые узлы ti могут оказаться на границеобласти Ω; в этом случае ti лежит на границе своей барицентрической звезды.Пусть J — множество индексов j, для которых tj ∈ S0j — внутренняя точкаdefсвоей барицентрической звезды, tj ∈ S0j ; таким образом, J = {j | j ∈ J0 , tj ∈S0j }.
Матрицу с вектор-столбцами a, b, . . ., f ∈ R3 обозначим (a, b, . . . , f), а дляквадратной матрицы (a, b, c) через det(a, b, c) обозначим ее определитель; i-юкомпоненту вектора будем обозначать квадратными скобками с нижним индексомi, где i = 0, 1, 2; например, [a]i означает i-ю компоненту вектора a ∈ R3 , так чтоa = ([a]0 , [a]1 , [a]2 )T .
Аналогичным образом, если B — матрица, то ее элементыбудем иногда обозначать [B]ij .На каждом треугольнике T введем локальную нумерацию вершин используячисла 0, 1, 2; соответствующее взаимно-однозначного отображение (биекцию) обозначим χT ,χT : {0, 1, 2} → JT .8Пустьdefdϕ,T = det(ϕ(tχTdefdϕ,T,i (t) = det(ϕ(tχ(0) ),(0) ),Tϕ(tχϕ(tχT(1) ),(1) ),Tϕ(tχT(2) )),ϕ(tχ(2) )T|| 0 i ϕ(t)),где символ || 0 i ϕ(t) означает замену i-го столбца ϕ(tχ (i) ) в рассматриваемомTопределителе на столбец ϕ(t), i = 0, 1, 2.Предположим, что выполнено условие (A): существует число ε > 0 такое, чтодля любого треугольника T ∈ T справедливо неравенство |dϕ,T | ≥ ε.Рассмотрим функции ωj (t), определяемые из соотношенийXϕ(tj )ωj (t) = ϕ(t)при t ∈ T, T ⊂ Sj ,(3)jпри t ∈/ Sj .ωj (t) = 0Благодаря соотношению (4) тождества (3) можно переписать в видеXϕ(tj )ωj (t) = ϕ(t)при t ∈ T;tj ∈Cl(T)(4)(5)из предположения (A) следует, что функции ωj (t) однозначно определены на всехтреугольниках T подразделения T .
Вектор-функция ϕ(t) называется генератором(генерирующей функцией) семейства функций {ωj }.Из (5) получаемωχT (i)(t) = dϕ,T,i (t)/dϕ,T ,t ∈ T ∀i ∈ {0, 1, 2},так что используя соотношение (4), выводимd(t)/dϕ,T при t ∈ T ⊂ Sjϕ,T,χ−1T (j)ωj (t) =0при t ∈ T для T ∩ Sj = ∅, T ∈ T .Предположим, что векторы t0 , t1 линейно независимые, t0 , t1 ∈ R2 .Обозначим через L множество точек t ∈ R2 , удовлетворяющих уравнениюdet(ϕ(t), ϕ(t0 ), ϕ(t1 )) = 0.Очевидно, что t0 , t1 ∈ L.9(6)Доказана следующая лемма:Лемма 1. Если точка t0 принадлежит L, а L — множество точек, удовлетворяющих уравнениюdet(ϕ(t), ϕ(t0 ), ϕ(t1 )) = 0,то L ⊂ L.Определение: Две стороны треугольника T , инцидентные одной вершине,будем называть соседними.В последующих разделах доказывается, что функции ωj определены и непрерывны в области Cl(Ω) в том числе и в случае соответствующей криволинейнойтриангуляции.Предположим, что система функций [ϕ]0 , [ϕ]1 , [ϕ]2 линейно независимая на любом треугольнике T некоторого подразделения T ; тогда система функций {ωj }j∈Jтакже является линейно независимой системой.Рассмотрим систему функционалов {gi }i∈J , заданную на пространстве C(Ω)формулойhgi , ui = u(ti ),∀i ∈ J, ∀u ∈ C(Ω).(7)Поскольку носителем функции ωj служит тело барицентрической звезды Sj ,то ввиду непрерывности ωj на области Ω ее значения на границе множества Sjравны нулю.
Внутри этого множества лежит узел tj ; остальные узлы сетки Xлежат на границе или вне носителя функции ωj . Ввиду этогоhgi , ωj i = 0,i 6= j,∀i, j ∈ J.(8)Используя свойство (8) в тождестве (5), записанном для t = tj , имеемhgj , ωj i = 1,∀j ∈ J.(9)Соотношения (8), (9) показывают, что формула (7) задает продолжение на C(Ω)системы функционалов, биортогональной системе функций {ωj }j∈J .e области Ω, являющуюся укрупнением подразделеРассмотрим триангуляцию Te осуществляется таким образом, чтобы стороны его треугольния T 3 . Построение Te выполняников определялись уравнениями вида (6).
Затем для подразделения Tются построения, аналогичные тем, которые были сделаны для подразделения T .3 Укрупнением Te триангуляции T называем такую триангуляцию, измельчением которой является T (понятие измельчения триангуляции известно).10Введены калибровочные соотношения вида:ωej (t) ≡Xhgi , ωej iωi (t),∀t ∈ T.i∈JTВ последующих параграфах показана вложенность пространства сплайнов наукрупненной сетке в исходное пространство.
Получены следующие соотношения:ecj = cϑ(j) ,bi = ci −Xe∀j ∈ J,hgi , ωej icϑ(j) ,(10)∀i ∈ J,(11)e ti ∈Se0j∈J,jci =Xhgi , ωej iecj + bi ,∀i ∈ J.(12)e ti ∈Se0j∈J,jСоотношения (10), (11) являются формулами декомпозиции, а (12) — формулойреконструкции.Для описания триангуляции используется таблица инциденций, каждая строкакоторой описывает треугольник перечнем инцидентных ему вершин. Иногда рассматривается таблица инциденций, получаемая объединением нескольких таблицинциденций; порядок объединения таблиц не имеет значения; также не существенпорядок строк и порядок следования вершин в строках рассматриваемых таблиц.Для обозначения этих таблиц используются двойные вертикальные линии.Обозначим ri,j точки с координатами (ih 0 , jh 00 ), (i, j) ∈ Z2 .
Рассмотрим триангуляцию, которая получается объединением таблицri,jr2+i,j r1+i,1+jr2+i,2+j r2+i,j r1+i,1+jr2+i,2+j ri,2+j r1+i,1+jri,jri,2+j r1+i,1+j11,∀(i, j) ∈ Z20 .На Рис. 1 показан общий вид исходной триангуляции. Укрупнение триангуляции будем производить объединением двух соседних (имеющих общую сторону) треугольников. Полученные в результате треугольники будем называтьукрупненными треугольниками.Укрупнение задается с использованием задавать следующими преобразованиями таблицы инциденций (полный список преобразованийсм. в тексте диссертации):Рис. 1: Исходная триангуляцияr 0,0 r−2,0 r−1,1 r−2,2 r−2,0 r−1,1−→ r0,0 r−2,0 r−2,2 ,r −2,2 r0,2 r−1,1 r0,0 r0,2 r−1,1 r0,0 r0,2 r−2,2 ,−→...rr0,−2 r−1,−1 0,0 r−2,−2 r0,−2 r−1,−1 −→ r0,0 r0,−2 r−2,−2 ,r −2,−2 r−2,0 r−1,−1 r0,0r−2,0 r−1,−1 −→ r0,0 r−2,0 r−2,−2 .Исходную триангуляцию обозначим T , а описанную только что укрупненнуютриангуляцию обозначим T0 ; переход от исходной триангуляции к укрупненнойобозначим [T 7−→ T0 ].При построении модели сигнала с использованием аппроксимации Куранта существенна структура барицентрических звезд, соответствующих вершинам рассматриваемой триангуляции.
В разделах 2.7 и 2.8 показывается, какие барицентрические звезды имеются в исходной и укрупненной триангуляциях, в том числеи на границе укрупнения.12Теорема. Справедливы соотношения1111ωe0,0 (t) ≡ ω0,0 (t) + ω1,1 (t) + ω−1,1 (t) + ω1,−1 (t) + ω−1,−1 (t),22221ωe2,2 (t) ≡ ω2,2 (t) + ω1,1 (t),21ωe2,−2 (t) ≡ ω2,−2 (t) + ω1,−1 (t),21ωe−2,2 (t) ≡ ω−2,2 (t) + ω−1,1 (t),21ωe−2,−2 (t) ≡ ω−2,−2 (t) + ω−1,−1 (t).2Выводятся формулы реконструкции:bα = 0,b−e∗ = c−e∗ −be = ce −aα = cα ,11c−2e∗ − c0 ,22b−e = c−e −11c2e − c0 ,22be∗ = ce∗ −11c−2e − c0 ,2211c2e∗ − c0 ,22и декомпозиции:∀α ∈ Y,cα = aα ,c−e∗ = b−e∗ +ce = b e +11a−2e∗ + a0 ,22c−e = b−e +11a2 e + a0 ,22ce∗ = be∗ +11a−2e + a0 ,2211a2e∗ + a0 .22В разделе 2.10 демонстрируется, что при проведении укрупнения в соответствии с предложенным алгоритмом укрупненная триангуляция изоморфна исходной триангуляции.Третья глава посвящена практическим аспектам реализации алгоритма и результатам его тестирования на модельных примерах.
Представлены преобразования, позволяющие из таблицы инциденций исходной триангуляции T получитьe.таблицу инциденций укрупненной триангуляции T13Данное преобразование имеет следующий rr2i+2,2jr2i+1,2j+1 2i,2j r2i+2,2j r2i+2,2j+2 r2i+1,2j+1 →rr2i+1,2j+1 2i+2,2j+2 r2i,2j+2 r2i,2j+2 r2i,2jr2i+1,2j+1 ∀(i, j) ∈ Z2 , r 2i+2,2j r2i+2,2j+2 r 2i,2j+2 r2i,2j rr2i+2,2j r2i,2j+22i,2j r2i+2,2j+2 r2i+2,2j r2i,2j+2,(i + j) mod 2 ≡ 0;r2i+2,2j+2 r2i+1,2j+1r2i,2j+2r2i+1,2j+1r2i,2jr2i+1,2j+1r2i+2,2jr2i+1,2j+1∀(i, j) ∈ Z2 ,вид: →r 2i,2j r2i+2,2j+2 r2i+2,2j r2i,2j r2i+2,2j+2 r2i,2j+2,(i + j + 1) mod 2 ≡ 0.e , полученная в результате применения представленного преобТриангуляция Tразования к исходной триангуляции, будет иметь следующий вид: rr2i+2,2j r2i,2j+2 2i,2j , (i + j) ≡ 0 mod 2 ∀(i, j) ∈ Z2 , r2i+2,2j+2 r2i+2,2j r2i,2j+2 r 2i,2j r2i+2,2j+2 r2i+2,2j r2i,2j r2i+2,2j+2 r2i,2j+2 , (i + j + 1) ≡ 0 mod 2 ∀(i, j) ∈ Z2 .На Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
