Автореферат (1149345)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТНа правах рукописиРомановский Леонид МихайловичДвумерные модели цифровых сигналов на базеадаптивных сплайн-всплесковСпециальность 05.13.18 — математическое моделирование,численные методы и комплексы программАвторефератдиссертации на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукСанкт-Петербург2015Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете.Научный руководитель:профессор, доктор физико-математических наукДемьянович Юрий Казимирович.Официальные оппоненты: ВагерБорисматематическихГеоргиевич,наук,профессордокторфизико-кафедрыпри-кладной математики и информатики факультетаинженерной экологии и городского хозяйства СанктПетербургскогогосударственногоархитектурно-строительного университета;Ходаковский Валентин Аветикович, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой математики и моделирования Петербургского государственного университета путей сообщения;Ведущая организация:Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им.

В.И. Ульянова (Ленина) (СПбГЭТУ «ЛЭТИ»).Защита состоится 23.12.2015 года вчасов на заседании диссертационногосовета Д.212.232.50 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук, на соискание ученой степени доктора наук по адресу: Санкт-Петербург,Университетский пр., 35, факультет ПМ-ПУ СПбГУ, аудитория 327.Отзывы на автореферат в 2-х экземплярах просим направлять по адресу: 198504,Санкт-Петербург, Петродворец, Университетский пр., д. 35, ученому секретарюдиссертационного совета Д 212.232.50 Г.И. Курбатовой.С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им.

М. ГорькогоСанкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, СанктПетербург, Университетская наб., д. 7/9. Автореферат и диссертация размещенына сайте www.spbu.ru.Автореферат разослан: " "2015 г.Ученый секретарь диссертационногосовета д-р физ.-мат. наук, проф.Г.И. Курбатова2Актуальность работыПри решении практических задач компьютерного моделирования возникает потребность построения аппроксимации наборов данных значительного объема, характеризуемых функциями с нерегулярным поведением (например, неограниченным ростом функций или их производных). В частности, подобные задачи возникают в метеорологии, где требуется проводить детальный анализ погодных явлений, например, циклонов.

Решение таких задач, как правило, требует существенных вычислительных ресурсов; при этом иногда применяются так называемые всплесковые1 разложения. Сплайн-всплесковая аппроксимация набора данных представляет собой линейную комбинацию некоторых базисных функций,имеющих компактный носитель; соответствующие базисные функции строятсястандартным образом и определяются сеткой узлов, ассоциируемой с рассматриваемым набором данных. При этом исходный поток преобразуется в коэффициентытакого разложения и представляется в виде двух потоков: основного, позволяющего построить приближенную модель исходных данных, и уточняющего (всплескового).

Классическая теория вэйвлетов использует преимущественно равномерныесетки узлов, которые позволяют применять мощный аппарат преобразования Фурье. Для построения аппроксимаций функций с особенностями предложен другойподход, в основе которого лежат аппроксимационные соотношения. В этом случаеоказалось возможным использование неравномерных сеток узлов, что позволяет в некоторых случаях добиться сокращения объема ресурсов, необходимых дляпостроения и численного анализа математической модели.Трудности возникают в при решении практических задач, связанных с многомерными наборами данных; в частности, в двумерном случае используемые сеткиявляются множеством вершин некоторой триангуляции. Однако, не всякая триангуляция может быть локально укрупнена с сохранением правильности: например,стандартная триангуляция, часто используемая в методе конечных элементов2 , недопускает локального укрупнения.

Таким образом, представляет интерес разработка симплициальных разбиений двумерной плоскости, допускающих локальныеукрупнения с сохранением топологической правильности, а также построение соответствующих пространств сплайн-всплесковых разложений.1Врусскоязычной литературе термин “всплеск” применяется вместо слова “вэйвлет”.Демьянович, А.В. Зимин “Аппроксимации курантова типа и их вэйвлетные разложения” – Проблемы математическогоанализа, 2008, с. 3-22.2 Ю.К.3Цель диссертационной работыОсновной целью диссертационной работы является построение адаптивных методов числовой обработки и математического моделирования потоков данных,естественным образом ассоциируемых с двумерными объектами.Задачи диссертационной работыВ рамках реализации цели диссертационной работы поставлены следующие задачи:• построение триангуляций на плоскости, допускающих многократные локальные укрупнения;• исследование пространств сплайн-всплесковых разложений, ассоциированныхс рассматриваемыми сетками узлов;• разработка адаптивных алгоритмов и численных методов всплесковой обработки двумерных моделей цифровых данных;• реализация предложенных алгоритмов в виде комплекса компьютерных программ.Положения, выносимые на защиту1.

Триангуляция, допускающая локальное укрупнение с сохранением топологииисходной триангуляции в области укрупнения.2. Сплайн-всплесковые разложения вложенных пространств курантова типа, ассоциированные с предложенными триангуляциями.3. Алгоритмы декомпозиции и реконструкции, а также выведены соответствующие калибровочные соотношения.4.

Комплекс компьютерных программ, реализующий предложенный алгоритм.4Научная новизнаВсе результаты, представленные в работе, являются новыми.Личный вклад автораЛичный вклад автора состоит в выполнении исследований, изложенных в диссертационной работе, реализации предложенных алгоритмов, в анализе и оформлении результатов в виде научных докладов.Теоретическая и практическая значимостьРабота носит, в основном, теоретический характер, однако полученные результаты представляют также и практический интерес.

Вопросы построения адаптивных сеток узлов в многомерном случае исследованы недостаточно полно; необходимость использования таких сеток возникает, в частности, в численных методах, использующих всплесковые разложения. Предложенные алгоритмы позволяют проводить адаптивное укрупнение триангуляции, а также выполнять построение соответствующих сплайн-всплесковых разложений исходного потока.

Результаты диссертационной работы могут быть использованы при решении прикладныхзадач, связанных с моделированием и анализом цифровых потоков данных, а также при сжатии и последующем восстановлении с заданной точностью большихобъемов информации с резко меняющимися характеристиками. Кроме того, важной характеристикой метода всплесков, исследуемого в данной работе, являетсяего параллелизуемость.Структура и объем диссертацииДиссертация состоит из введения, трех глав, заключения, библиографии и приложения. Общий объем диссертации составляет 119 страниц. В тексте работы содержится 7 таблиц и 25 рисунков; в приложении содержится 9 таблиц и 3 листингаисходных кодов компьютерных программ.

В библиографии работы содержится 53наименования.Содержание диссертацииВо Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулированы цели исследования, показана практическая значимость полученных результатов, дано описание структуры диссертации.5Первая глава посвящена вопросам построения сплайн-всплесковых разложений. В ней излагаются основные принципы построения сплайн-всплесковых аппроксимаций, даются определения и термины, используемые в дальнейшем.На интервале (α, β) вещественной оси R рассмотрим сеткуX :· · · < x−2 < x−1 < x0 < x1 < x2 < . . .Пустьlim xj = α,lim xj = β.j→−∞j→+∞defРассмотрим множество двумерных векторов A = {aj }j∈Z , для которых верноследующее соотношение: det(aj , aj+1 ) 6= 0, ∀j ∈ Z.

Обозначим через [aj ]k k-юкомпоненту вектора aj , k = 0, 1.Пусть Sj = (xj , xj+1 ) ∪ (xj+1 , xj+2 ), ϕ(t) = (1, t)T – двухкомпонентная векторфункция. Рассмотрим функции ωj (t), t ∈ (α, β), j ∈ Z такие, чтоXaj 0 ωj 0 (t) = ϕ(t),ωj (t) ≡ 0,∀t ∈/ Sj .(1)defdefj 0 ∈ZСоотношения вида (1) будем называть аппроксимационными соотношениями.Функции ωj (t), полученные из аппроксимационных соотношений, называются координатными сплайнами.Рассмотрим ue(t) – линейную комбинацию функций ωj при j ∈ Z:Xue(t) defcj ωj (t),t ∈ (α, β)\X=jПо определению функции ωj (t) для каждого t ∈ (xi , xi+1 ) функция ue(t) будетиметь вид:ue(t) = ci−1 ωi−1 (t) + ci ωi (t).Замыкание S1 (X, A, ϕ) линейной оболочки функций {ωj }j∈Z в топологии поточечной сходимости называется пространством сплайнов первого порядка:XdefS1 (X, A, ϕ) = Clp {u | u =cj ωj , ∀cj ∈ R1 }.jЭлементы этого пространства назовем сплайнами первой степени. Далее рассмотрена непрерывность функции ωj (x) на интервале (α, β).6Пустьa?j = ϕj+1 = (1, xj+1 )T ,defd?i = (−xi , 1)T ,def∀i, j ∈ Z.Очевидно, что A? = {a?j } — полная цепочка векторов; решение соответствующейсистемы аппроксимационных соотношений обозначим ωj∗ (t).defПо аналогии с пространством сплайнов S1 (X) = S1 (X, A) строится пространствоdefсплайнов S?1 (X) = S1 (X, A? ).

Доказана непрерывность ωj? на отрезке (α, β) для всех∀j ∈ Z, после чего показано существование и единственность пространства непрерывных сплайнов.Далее показано существование и единственность пространства непрерывныхсплайнов; доказывается вложенность пространства непрерывных сплайнов первого порядка на укрупненной сетке в аналогичное пространство сплайнов на исходной сетке.Для фиксированного k ∈ Z положимdefdefdefej = xj+1 при j ≥ k + 1,xej = xj при j ≤ k, и xdefξ = xk+1 ,e : ... < xи рассмотрим новую сетку Xe−1 < xe0 < xe1 < .

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов диссертации