Диссертация (1149337), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Использование таких контрчленов в лагранжиане (3.13) позволяет восстановить калибровочную и лоренцеву симметрии для наблюдаемых величин в пределе снятия регуляризации. Как будет показано в следующем параграфе, параметры m1 и m3 можно выразить через один параметрΛ m, а именно m1 = Λ, а m3 = Λ2/m.

Из сказанного выше следует,что контрчлен в лагранжиане имеет вид C ln (Λ/m)Aa⊥Aa⊥ , где константа Cможет быть определена в результате численных вычислений указанных диаграмм (рис. 3.3б, 3.3в). Такая форма контрчлена согласуется с остаточнойлоренц-инвариантностью лагранжиана (3.13) относительно преобразованийкоординат x+ → λx+, x− → λ−1 x−, x⊥ → x⊥.

Вследствие этой инвариантности логарифмически расходящиеся диаграммы (рис. 3.3б, 3.3в), вычисляемые при внешнем импульсе, равном нулю (и при внешних лоренцевых индексах, отличных от индекса "−") обращаются в ноль, если содержат хотя быодин внешний лоренцев индекс "+". Таким образом, вклад в контрчлен даютдиаграммы, соответствующие только внешним лоренцевым индексам "⊥".

Вприложении B.1 приводится выражение для диаграммы, изображённой нарис. 3.3а.3.4.Анализ ИК расходимостей для (2+1)-мерной теории ЯнгаМиллсаИспользуем полученный выше вариант регуляризации, при которомдиаграммы теории возмущений на СФ в пределе ε → 0 переходят в диа-65граммы обычной ковариантной теории возмущений. Именно в такой формебудем анализировать расходимости диаграмм в пределе снятия регуляризации m22 → 0, m21 → ∞, m23 → ∞. Для простоты перейдём к евклидовой формеинтегралов Фейнмана, сделав поворот Вика. Это возможно, поскольку структура полюсов при использовании предписания Мандельштама-Лейббрандтапозволяет это сделать. Вариант пропагатора (3.14) после замены переменe0 = −iQ0, Q1 → Qe 1 = Q1 , Q⊥ → Qe⊥ = Q⊥ можно записать вных Q0 → Qследующем виде:e∆abµν (Q) =√22αabeeeeiδ −(Q0 + Q1 )gµν − 2(iQ0 + Q1)(Qµnν + Qν nµ + i m εµνα n )×=e2 + Qe2 + µ2Q01R , (3.23)× Q 222eeQ +Q +m0l=0,1,31lгдеe2 ,m20 = m2 + Q⊥БудемдляR = r1M12 (m22 + m23 ) + r2 M22 (m21 + m23 ) + r3 M32 (m21 + m22 ),e0 ± Qe1iQ√Q± =,2произвольнойe⊥.Q⊥ = Qдиаграммыанализироватьпределm2 = µ → 0.

Как видно из формы пропагатора (3.23), в этом пределевозможно появление в диаграммах существенных (т. е. возникающих прилюбых значениях внешних импульсов) ИК расходимостей в точках импульсного пространства, в которых одновременно для нескольких пропагаторныхe2 = Qe2 + Qe2 обращаются в ноль. В приложении B.2импульсов величины Qk0166показано, что для рассматриваемой теории ИК расходимость возникаетe k и может быть только логарифмической, причем толькотолько по Qдля вкладов в диаграммы поддиаграмм следующего вида (в диаграммы,показанные на рис.

B.1):∆+ν Gνγ ∆γ+ ,(3.24)где Gνγ − одна из заштрихованных на рисунке B.1 поддиаграмм, к которойприсоединены два внешних пропагатора.Проанализируем вклад выражения (3.24), дающий ИК расходимость поek . Для этого рассмотрим в выражении (3.24) первый множитель, т.е. проQпагатор ∆+ν и выделим в нём часть, в которой не происходит сокращениеek . Вместе с множителем Gνγ получаем (с точностью доИК особенности по Qнесущественного общего множителя):√e0 + Qe1)2(iQ−(Qν − im δν⊥ )Gνγ .2eQ(3.25)kПерепишем величину δν⊥ в следующем виде:δν⊥ =Qν − Q+ δν+ − Q−δν−,e⊥Q(3.26)e⊥ =где предполагается, что Q6 0.

Здесь используется доказанный в приложе-e⊥ = 0 не может дать ИК расходимости,нии B.2 факт, что окрестность точки Qe⊥ в знаменателе. Снованесмотря на появление в формуле (3.26) импульса Qek,отбрасывая слагаемые, в которых происходит сокращение особенности по Qсущественную часть (3.25) можно записать в виде√e0 + Qe1) 2(iQm−1−iQν Gνγ .e2e⊥QQk(3.27)67Если бы была сохранена калибровочная инвариантность, то это выражение было бы равно нулю как следствие тождеств Уорда, а значит, в этомслучае существенные продольные расходимости отсутствовали бы.

Однако,используемая регуляризация, как УФ, так и ИК, нарушает калибровочнуюинвариантность. Для того чтобы в пределе µ → 0 ИК расходимость не появилась, необходимо восстановление калибровочной инвариантности в пределеснятия регуляризации. Этого можно достичь, выбирая перенормировочныеконтрчлены так, чтобы в пределе снятия регуляризации выполнялись тождества Уорда.

Для этого достаточно выбрать контрчлены таким образом, чтобыс их учетом значения диаграмм отличались от перенормированных результатов, полученных по размерной регуляризации, на величину порядка1m1(дляУФ конечных диаграмм это происходит автоматически, если произведение µm1 ограничено сверху), вклад величины (3.27) можно оценить как O m11 .Следовательно, соответствующий ему полный вклад в диаграмму (которыйв размерной регуляризации равен нулю) можно оценить как(ln µ)Nm1(где N −число поддиаграмм G на рис.

B.1). Потребуем, чтобы это отношение стремилось к нулю для любого N , тогда диаграммы, для которых может возникать продольная ИК расходимость, не будут в пределе снятия регуляризациидавать отличий между результатами вычислений в используемой здесь и вразмерной регуляризациях.В результате можно заключить, что если взять, например,m2 = µ ∼1,Λm1 ∼ Λ,m3 ∼ Λ2 ,(3.28)68то в пределе Λ → ∞ все требуемые условия будут выполнены и при анализеУФ расходимостей можно считать, что в диаграммах µ = 0.3.5.Построение перенормированного гамильтониана на световомфронте для (2+1)-мерной теории Янга-МиллсаРассмотрим теорию с лагранжианом (3.13).

Напишем выражение дляэтого лагранжиана, полагая Aal,− = 0.3Xaa2∂+fl,+−∂−fl,+−m2la2a 2∂−L=rl −+(fl,+−) + ∂+ Al,⊥ 2 ∂+Aal,⊥+22Ml2MlMll=1 2ml a2 am2laaaa+ 2 ∂+ Al,⊥∂−Al,⊥ + mfA +f∂+ ∂−Al,⊥ −MlMl2 l,+− l,⊥ Ml2 l,+−! 2ml + 2∂+∂−a−∂⊥ fl,+−Aal,⊥ − gf abcAa+Ab⊥ ∂−Ac⊥ . (3.29)2MlЧтобы привести действие, соответствующее этому лагранжиану к гамильтоновой форме, найдём сначала импульс Πal,⊥, сопряжённый к полю Aal,⊥: 2∂−m2l2∂LaaaaΠl,⊥ == rl 4 2 ∂+ Al,⊥ + 2 ∂− Al,⊥ + 2 (∂⊥ − m)∂− fl,+− .(3.30)∂(∂+Aal,⊥)MlMlMlaОтсюда можно выразить величины ∂+Aal,⊥ через переменные Πal,⊥, Aal,⊥ и fl,+−:m2l2Ml2 −2aaaa∂+ Al,⊥ =∂rl Πl,⊥ − 2 ∂− Al,⊥ − 2 (∂⊥ − m)∂−fl,+− .(3.31)4 −MlMlВ результате действие можно переписать в следующем виде:" 3 #ZXrlaaS = dx+dx−dx⊥− 2 ∂+ fl,+−∂− fl,+−+ Πal,⊥∂+ Aal,⊥ − H ,Ml(3.32)l=1гдеaH(Πal,⊥, Aal,⊥, fl,+−)=3Xl=1"rl m2l arl m2l aaa−fl,+−fl,+− +Al,⊥(∂⊥ − m)fl,+−+222MlMl692rl Ml2m2a+rl Πal,⊥ − l2 ∂−Aal,⊥ − 2 (∂⊥ − m)∂−fl,+−×8MlMl#22ma+×∂−−2 rl Πal,⊥ − l2 ∂−Aal,⊥ − 2 (∂⊥ − m)∂−fl,+−MlMl+gf abcAa+Ab⊥ ∂−Ac⊥ − C ln (Λ/m)Aa⊥Aa⊥ .

(3.33)Из выражения (3.32) видно, что канонический импульс, сопряжённый к полюafl,+−, порождает на СФ каноническую связь, которая оказывается связьювторого рода. Чтобы избежать этой связи перейдём к новым переменнымс помощью преобразования Фурье по координате x− (вводя регуляризацию|p−| > ε):afl,+−(x)×Z∞εMl=√2πZ(|p− |>ε)Mldp−a⊥ +−pal (p−; x , x ) exp (−ip−x ) = √ ×2π2|p−|dp−⊥ +−√aal (p−; x⊥, x+) exp (−ip−x−)+aa+l (p− ; x , x ) exp (ip− x ) .

(3.34)2p−Тогда член в действии3 ZXrl+−⊥aadx dx dx − 2 ∂+ fl,+−∂− fl,+−Ml(3.35)l=1преобразуется (с точностью до внеинтегральных членов по x+) к следующемувиду:3 ZXl=1+dx dx⊥Zε∞⊥ +a⊥ +dp− −irl aa+(p;x,x)∂a(p;x,x).−+−ll(3.36)Полученная гамильтонова форма действия позволяет определить квантовыеперестановочные соотношения для канонических переменных:hia⊥ +b+ 00⊥ +al (p−; x , x ), al0 (p−; x , x ) = −rl δll0 δ ab δ(p− − p0− )δ(x⊥ − x0⊥),(3.37)70hAal,⊥(x), Πbl0,⊥ (x0)ix0+ =x+= iδll0 δ ab δ(x− − x0−)δ(x⊥ − x0⊥ ).(3.38)Остальные канонические перестановочные соотношения для этих полей рав⊥ +ны нулю. Переменные aal (p−; x⊥, x+) и aa+l (p− ; x , x ) можно рассматриватькак операторы, аналогичные операторам рождения и уничтожения на СФ.Введём также преобразование Фурье для переменных Aal,⊥(x) и Πbl,⊥(x):Aal,⊥(x) =×Z(|p− |>ε)Ml=mldpp −2|p− |Z⊥ +−aal,⊥ (p−; x⊥, x+) + aa+l,⊥ (−p− ; x , x ) exp (−ip− x ) =dp− h a⊥ +a⊥ +√al,⊥ (p−; x , x ) + bl,⊥(p−; x , x ) exp(−ip−x−)+4πp−ia+⊥ +a+⊥ +−+ al,⊥(p−; x , x ) + bl,⊥(p−; x , x ) exp(ip−x ) ,∞εΠbl,⊥(x) =×Zdp−(|p− |>ε)−iml=MlMl√ ×ml 2πZr∞ε|p− |2dp−r−iml√ ×Ml 2π⊥ +−abl,⊥(p−; x⊥, x+) − ab+l,⊥ (−p− ; x , x ) exp (−ip− x ) =p− h b⊥ +b⊥ +al,⊥ (p−; x , x ) − bl,⊥(p−; x , x ) exp(−ip−x−)−4πi−э.с.

, (3.39)где введено обозначение⊥ +bal,⊥(p−; x⊥, x+) = aa+l,⊥ (−p− ; x , x ).a+⊥ +a⊥ +⊥ +Операторы aal,⊥ (p−; x⊥, x+), aa+l,⊥ (p− ; x , x ), bl,⊥ (p− ; x , x ), bl,⊥ (p− ; x , x )удовлетворяют следующим каноническим перестановочным соотношениям,71аналогичным перестановочным соотношениям для операторов рождения иуничтожения:hh00⊥ +aal,⊥(p−; x⊥, x+), ab+l0 ,⊥ (p− ; x , x )00⊥ +bal,⊥(p−; x⊥, x+), bb+l0,⊥ (p− ; x , x )ii= δll0 δ ab δ(p− − p0−)δ(x⊥ − x0⊥),(3.40)= −δll0 δ ab δ(p− − p0− )δ(x⊥ − x0⊥),(3.41)остальные коммутаторы равны нулю.В терминах этих операторов свободная (квадратичная по полям) частьгамильтониана принимает следующий вид:"ZZ ∞3Xrl⊥ + a⊥ +−m2l aa+H0 = dx⊥dp−l (p− ; x , x )al (p− ; x , x )−2p−ε−(∂⊥ −l=1⊥ +m)aa+l (p− ; x , x )(∂⊥− m)aal (p−; x⊥, x+)+⊥ +a⊥ +a⊥ ++ml (∂⊥ − m)aa+(p;x,x)a(p;x,x)+b(p;x,x)+э.с.−−−−l,⊥l,⊥l1 − rl a+1 + rl a+−m2lal,⊥(p−; x⊥, x+) +bl,⊥(p−; x⊥, x+) ×221 − rl a1+rl a×al,⊥(p−; x⊥, x+) +bl,⊥(p−; x⊥, x+) +22⊥ ++ml (∂⊥ − m)aa+l (p− ; x , x )+1 − rl aal,⊥(p−; x⊥, x+)+2!!#1 + rl abl,⊥(p−; x⊥, x+)2+ э.с..

(3.42)Введение новых переменных, аналогичных операторам рождения и уничтожения, даёт в гамильтониане достаточно простую зависимость от ml . Однакоквадратичная по полям часть гамильтониана всё ещё не имеет диагональноговида. В принципе, её можно привести к диагональному виду, но получаемыепри этом выражения имеют достаточно громоздкий вид.723.6.ЗаключениеВ данной главе рассматривается пример применения регуляризации ти-па П-В для SU(N) калибровочно-инвариантной (2+1)-мерной теории ЯнгаМиллса, квантованной на СФ. Пример применения регуляризации типа П-Вдля КХД приведён в работах [8, 17], которые содержат метод построенияУФ перенормированного гамильтониана КХД на СФ, генерирующего теорию возмущений, эквивалентную обычной теории возмущений в лоренцевыхкоординатах.

Поля П-В используются для восстановления этой эквивалентности, при этом получаемый гамильтониан КХД на СФ содержит много контрчленов, необходимых для УФ перенормировки. Однако, трудно использовать этот гамильтониан для непертурбативных (например, численных) вычислений из-за наличия многих неизвестных констант связи (т. е. коэффициентов перед вершинами, относящимся к этим новым контрчленам). Поэтому в этой главе рассматривается пример (2+1)-мерной SU(N) калибровочноинвариантной теории Янга-Миллса, в которой эти константы связи могутбыть вычислены благодаря суперперенормируемости этой теории. Важно отметить, что в калибровочных теориях на СФ имеется проблема правильного учета непертурбативных вкладов (например, вакуумных эффектов).

Этапроблема достаточно сложная, как вариант её решения в калибровочных теориях на СФ можно применять методы DLCQ или полуфеноменологическогоописания нулевых мод на СФ [30].734. Построение полуфеноменологической модели учетанулевых мод для решеточно-регуляризованногогамильтониана на СФ (3+1)-мерной КХД4.1.ВведениеКак было упомянуто ранее, каноническая формулировка теории поляна СФ сталкивается с трудностями рассмотрения нулевых мод Фурье поляпо координате x−. Например, кинетический член в лагранжиане L(x) дляскалярного поля ϕ(x) имеет в координатах СФ следующий вид:L = ∂+ ϕ ∂− ϕ + · · · ,где выделено слагаемое, содержащее производную по времени x+. Нулеваямода (p− = 0), т. е.

Характеристики

Список файлов диссертации