Диссертация (1149337), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Аналогичное выражение можно написать для диаграммы, изображённой на рис. 3.3г.Поскольку эта диаграмма может расходиться только логарифмически, можно вычислять её расходящуюся (в пределе снятия регуляризации) часть привнешних импульсах, равных нулю. Выражение для этой диаграммы, несмотря на громоздкий вид, допускает аналитическое рассмотрение после евклидова поворота в импульсном пространстве. В результате видно, что при нулевыхвнешних импульсах часть этой диаграммы, которая могла расходиться, равнанулю. Выражения для оставшихся логарифмически расходящихся диаграмм3.3б, 3.3в с интересующими нас лоренцевыми индексами "⊥⊥" можно получить аналогичным образом, используя формулы (B.1), (B.3).
Однако в данном случае эти выражения оказываются намного более громоздкими. Крометого, их не удаётся рассмотреть аналитически. Возможны только приближённые численные вычисления, результаты которых, тем не менее, могут бытьиспользованы в непертурбативном гамильтоновом подходе к данной модели.B.2.Общий вид диаграмм Фейнмана в (2+1)-мерной теории ЯнгаМиллса, имеющих инфракрасную расходимостьИнфракрасные расходимости в диаграммах Фейнмана теории с лагран-жианом (3.13), могут появляться при m2 = µ = 0 при интегрировании только103e0, Qe1 и при интегрировании по всем трём импульсам: Qe0, Qe1по импульсам Qe⊥. В обоих случаях возможная расходимость связана с множителемиQe0 + Qe1)(Qµnν + Qν nµ + im εµνα nα )(iQ,e2 + Qe2Q0(где Q± =e 0 ±QeiQ√ 1,2(B.5)1e⊥ ) который присутствует в пропагаторе (3.23) приQ⊥ = Qснятии ИК регуляризации µ → 0.
Рассмотрим точку в пространстве петлевыхek = 0. Найдём индексимпульсов, в которой для некоторого набора линий QИК расходимости σ. Из выражения (B.5) видно, что каждая линия указанного набора даёт вклад "−1", если она имеет лоренцевы индексы +⊥, а линиис индексами ++ и ⊥⊥ не дают вкладов. Наименьшее значение σ соответствует случаю, когда все указанные пропагаторы имеют индексы +⊥. Такжев σ дают вклады дифференциалы петлевых импульсов dq0dq1 (q − петлевойимпульс). При этом нужно учитывать только те петлевые импульсы, изменеek = 0 дляние которых (при фиксированных остальных) нарушает условие Qлиний набора. Число таких петлевых импульсов − это число линий набора, импульсы которых можно задать произвольно, т.е. число независимых изних. Вклад в σ от дифференциалов петлевых импульсов равен этому числу,умноженному на 2.Для нахождения этого числа разорвём все пропагаторы вышеупомянутого набора.
При этом исходная диаграмма распадётся на n+1 связную часть,n = 0, 1, . . . Предположим, что внешние к исходной диаграмме импульсы непринимают значений, когда сумма части их равна нулю. Тогда после разрывалиний набора все внешние к исходной диаграмме импульсы будут присоеди-104нены к одной части, назовём её выделенной, а остальные − невыделенными.Поддиаграммы, получающиеся после разрыва линий набора, имеют лоренцевы индексы и в силу буст-инвариантности должны быть пропорциональны импульсам их внешних линий или компонентам метрического тензора. При этом коэффициент пропорциональности не даёт вклада в σ благодарябуст-инвариантности.
Каждая внешняя линия произвольной невыделеннойe⊥ или g µ⊥ . Каждая внешняячасти, имеющая индекс ⊥, даёт множитель Qлиния, имеющая индекс +, даёт множитель Q+, где Q − линейная комбинация импульсов внешних линий рассматриваемой невыделенной части, т.е. ли-ний набора. Поэтому каждая внешняя линия, имеющая индекс +, даёт вклад"+1" в σ, а имеющая индекс ⊥ − "0". Пусть m − вклад в σ, получающийсятаким образом из невыделенных частей.Пусть s − число линий в наборе, а r − число линий набора, внешних квыделенной части.
Каждая линия набора имеет один индекс +, значитm > s − r.(B.6)Число независимых линий в наборе равно s − n, поскольку сумма внешнихимпульсов каждой из n + 1 части равна нулю и сумма импульсов исходнойдиаграммы также равна нулю (таким образом получается n условий на sимпульсов). В итоге получается следующее выражение для σ:σ = 2(s − n) + m − s.(B.7)Из (B.6) и (B.7) получаем неравенство:σ > 2(s − n) − r.(B.8)105Каждая невыделенная часть имеет по меньшей мере две внешние линии, выделенная часть и все невыделенные имеют по меньшей мере 2n + r внешнихлиний, которые являются линиями разрываемого набора.
Эти линии соединены друг с другом в пары, значит можно написать следующее неравенство:s>2n + rr=n+ ,22(B.9)откуда получаем σ > 0. Таким образом, наибольшая возможная ИК расходимость − логарифмическая, она присутствует в диаграммах, для которыхвсе используемые неравенства обращаются в равенства.
При этом все невыделенные части имеют по две внешние линии, общий вид такой диаграммыизображён на рис. B.1.Рис. B.1. Общий вид диаграмм Фейнмана в (2+1)-мерной теории ЯнгаМиллса, имеющих инфракрасную расходимость.Можно провести аналогичное рассуждение для случая интегрированияe0, Qe1 и Qe⊥ . В этом случае добавляетсяпо всем трём импульсам, а именно по Qe⊥ и для индекса ИК расходимости получаетсяещё одно интегрирование по Q106выражение:σ = 3(s − n) + m − s.(B.10)Остальные рассуждения не изменяются и приведённые неравенства сохраняют свой вид.
Из этих рассуждений можно получить, что σ >означает отсутствие расходимости в данном случае.r2> 0, это107Литература1. Bakker, B. L. G. Light-Front Quantum Chromodynamics: A frameworkfor the analysis of hadron physics / B. L. G. Bakker,at al. //Nucl. Phys. B (Proc. Suppl.). − 2014. − Vol. 251−252. − Pp. 165−174. −arXiv:1309.6333 [hep-ph].2. Dirac, P. A. M. Forms of relativistic dynamics / P. A. M. Dirac //Rev.
Mod. Phys. − 1949. − Vol. 21, no. 3. − Pp. 392−398.3. Пастон, С. А. Гамильтонов формализм на световом фронте длядвумернойквантовойковариантномуподходуэлектродинамики,/С.А.эквивалентныйПастон,Е.В.лоренц-Прохватилов,В. А. Франке // ТМФ. − 2002. − Vol.
131, no. 1. − Pp. 84−97. −arXiv:hep-th/0302016.4. Пастон, С. А. Вычисление спектра масс КЭД-2 в координатах световогофронта. / С. А. Пастон, Е. В. Прохватилов, В. А. Франке // ЯФ. − 2005. −Vol. 68. − Pp. 292−303. − arXiv:hep-th/0501186.5. Paston, S. A. On the construction of corrected light-front Hamiltonian forQED2 / S. A. Paston, V. A. Franke, E. V. Prokhvatilov. − hep-th/0011224,2000.1086. Prokhvatilov, E.
V. Effective light-front quantization of scalar field theoriesand two-dimensional electrodynamics / E. V. Prokhvatilov, H. W. L. Naus,H.-J. Pirner // Phys. Rev. D. − 1995. − Vol. 51. − Pp. 2933−2943.7. Пастон, С. А. Сравнение квантово-полевой теории возмущений насветовом фронте и в лоренцевых координатах / С. А.
Пастон,Е. В. Прохватилов, В. А. Франке // ТМФ. − 1999. − Vol. 112, no. 3. −Pp. 399−416. − arXiv:hep-th/9901110.8. Пастон, С. А. К построению гамильтониана КХД в координатахсветового фронта / С. А. Пастон, Е. В. Прохватилов, В. А. Франке //ТМФ. − 1999. − Vol.
120, no. 3. − Pp. 417−437. − arXiv:hep-th/0002062.9. Pauli, W. On the Invariant Regularization in Relativistic Quantum Theory / W. Pauli, F. Villars // Rev. Mod. Phys. − 1949. − Vol. 21, no. 3. −Pp. 434−444.10. Glazek, S. D. Renormalization of Hamiltonians / S.
D. Glazek, K. G. Wilson // Phys. Rev. D. − 1993. − Vol. 48, no. 8. − Pp. 4214−4218.11. Glazek, S. D. Perturbative renormalization group for Hamiltonians /S. D. Glazek, K. G. Wilson // Phys. Rev. D. − 1994. − Vol. 49, no. 12. −Pp. 5863−5872.12. Wegner,F.Flow-equationsforHamiltoniansAnn. Phys. (Berlin).
− 1994. − Vol. 3. − Pp. 77−91./F.Wegner//10913. Light-front holographic QCD and emerging confinement / S. J. Brodsky,G. F. de Teramond, H. G. Dosch, J. Erlich // Phys. Rep. −2015. −Vol. 584. − P. 1−105.14. De Teramond, G. F. Light-Front Holography: A First Approximation toQCD / G. F. de Teramond, S. J. Brodsky // Phys. Rev. Lett. − 2009. −Vol. 102, no. 081601. − 4 pp.15. Franke, V. A. On the Light Cone Formulation of Classical NonabelianGauge Theory / V.
A. Franke, Yu. V. Novozhilov, E. V. Prokhvatilov //Lett. Math. Phys. − 1981. − Vol. 5, no. 3. − Pp. 239−245.16. Franke, V. A. On the Light Cone Quantization of Nonabelian Gauge Theory /V. A. Franke, Yu. V. Novozhilov, E. V. Prokhvatilov // Lett. Math. Phys. −1981. − Vol. 5, no. 5. − Pp. 437−444.17. Focus on quantum field theory / V. A. Franke, Yu. V. Novozhilov, S. A. Paston, E. V. Prokhvatilov / Ed. by O. Kovras. − New York: Nova sciencepublishers, 2005. − Pp. 23−81.
− arXiv:hep-th/0404031.18. Квантовые поля на световом фронте, формулировка в координатах,близкихксветовомуфронту,Е.-М. Ильгенфриц и др. // ТМФ. −решеточное2006. −приближение/Vol. 148, no. 1. −Pp. 89−101. − arXiv:hep-th/0610020.19. Weinberg, S. The Quantum Theory of Fields. V.1. Foundations. V.2. ModernApplications / S. Weinberg. − Cambridge: Cambridge University Press, 2000.11020.
Stevenson, P. M. Gaussian effective potential: Quantum mechanics /P. M. Stevenson // Phys. Rev. D. − 1984. − Vol. 30, no. 8. − Pp. 1712−1726.21. Stevenson, P. M. Gaussian effective potential. II. λϕ4 field theory /P. M. Stevenson // Phys. Rev. D. − 1985. − Vol. 32, no. 6. − Pp. 1389−1408.22. Siringo, F. Higher order extensions of the Gaussian effective potential /F. Siringo // Phys. Rev. D. − 2013.
− Vol. 88, no. 5. − 056020, arXiv:1308.1836 [hep-ph].23. Ligterink, N. E. Equivalence of Light-Front and Covariant Field Theory /N. E. Ligterink, B. L. G. Bakker // Phys. Rev. D. − 1995. − Vol. 52,no. 10. − Pp. 5954−5979. − arXiv:hep-ph/9412315.24. Burkardt, M. Hamiltonian formulation of (2+1)-dimensional QED on the lightcone / M.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
