Диссертация (1149337), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Чтобы нулевыемоды остались независимыми динамическими переменными на СФ, предельный переход осуществляется по-разному для нулевых и ненулевых мод. Фактически предельный переход осуществляется только для ненулевых мод, покапараметр L конечен и фиксирован. Тогда нулевые моды могут моделироватьвакуум и приводить к вакуумным эффектам в пределе L → ∞.Калибровочно-инвариантная регуляризация для КХД включает введение решетки в пространстве поперечных координат x1, x2 и калибровочноинвариантный способ ограничения компоненты импульса p−. Вводится новоеописание полевых переменных на решетке. Так для глюонных нулевых модиспользуются унитарные матрицы, относящиеся к ребрам решетки, а дляненулевых мод − эрмитовы матрицы, относящиеся к соответствующим узлам решетки.Регуляризация и отделение нулевых мод от остальных мод нарушаютлоренцеву симметрию в формулировке теории при конечных значениях параметра решетки и параметра L.
Можно надеяться на восстановление этойсимметрии в пределе снятия регуляризации. Однако это требует дополнительного исследования, которое включает также вопросы перенормировкитеории и сравнения с формулировкой в лоренцевых координатах.Разработанный полуфеноменологический подход был успешно применён к описанию кварк-антикваркового состояния в работе [36].93ЗаключениеВ первой главе данной диссертации изложена идея П-В регуляризациина примере теории скалярного поля и приведено построение гамильтонианана СФ в (2+1)-мерной теории λϕ4 скалярного поля, регуляризованной с помощью поля Паули-Вилларса для случаев с ненарушенной симметрией и соспонтанным нарушением симметрии.
Также получены ограничения (1.26) напараметры масс и константы связи для этих гамильтонианов. Во второй главе рассматривается модель типа Юкавы, а также роль регуляризации ПаулиВилларса в восстановлении эквивалентности между теориями возмущений,связанными с обычным квантованием и квантованием на СФ. В третьей главеописана перенормировка (2+1)-мерной теории Янга-Миллса при квантованиина СФ. В четвёртой главе представлено построение гамильтониана КХД наСФ, включающее полуфеноменологическое описание вакуумных эффектов.В данном подходе теория на СФ получается предельным переходом от теории, сформулированной на пространственно-подобных плоскостях, близкихк СФ.Важность полученных результатов обусловлена необходимостью развития непертурбативного подхода к КХД и описания частиц, участвующих всильных взаимодействиях. В рамках гамильтонова подхода на СФ можнопросто описывать вакуумные состояния различных теорий, что в других под-94ходах является чрезвычайно сложной задачей.
Описание вакуумного состояния необходимо для дальнейшего рассмотрения частиц теорий, поскольку этичастицы представляют из себя суперпозиции состояний, полученных действием операторов рождения на вакуумное состояние.При описании теории с помощью квантования на СФ особая роль уделяется нулевым модам Фурье по координате x−, эти моды моделируют вакуум на СФ и позволяют ввести полуфеноменологическое описание вакуумных эффектов. Дальнейшее применение полученных результатов связано скомпьютерными вычислениями спектра полученного гамильтониана на СФи волновых функций КХД. Автор диссертации надеется, что на этом путиудастся описать спектр масс адронов, а также структуру таких частиц, ихвзаимодействие друг с другом и взаимодействие между кварками, из которых они состоят, в частности, эффект конфайнмента кварков.95БлагодарностиАвтор диссертации выражает благодарность Е.В.
Прохватилову занаучное руководство и неоценимую помощь в работе над диссертационным исследованием. Также автор благодарит С.А. Пастона и В.А. Франке за сотрудничество и плодотворные обсуждения данной работы, сотрудников кафедры физики высоких энергий и элементарных частиц СанктПетербургского Государственного Университета, преподавателей Физического факультета СПбГУ и школы № 181 г. Санкт-Петербурга, в особенностиМ.П. Голубовскую, за их труд и переданные знания. Кроме того, автор благодарит своих родителей, родственников и друзей за понимание, участие иподдержку.96A. Приложения к главе 1A.1.Вычисление диаграммы I(p)Для перенормировки рассматриваемой модели в обычной фейнманов-ской ковариантной теории возмущений необходимо рассмотреть только однулогарифмически расходящуюся диаграмму (рис. 1.2 (f)).
Эта диаграмма вП-В регуляризации имеет следующий вид:! 3!32 ZXY96iλ113~3~3~~kj − ~pI(~p) =dkdkdkδ−, (A.1)123~k 2 + m2 ~k 2 + M 2(2π)6jjj=1j=1где интегрирование ведется по евклидовым импульсам, m − массовый параметр, M − параметр П-В регуляризации, множитель 96 = (4!)2/6 включает симметрийный коэффициент 1/6 этой диаграммы (множитель (4!)2 связан с определением константы связи λ в лагранжиане (1.39)). Для нахождения контрчлена нужно вычислить только расходящуюся (при M → ∞)часть I(~p). Эта расходящаяся часть может быть вычислена как расходящаяся часть I(~p)|p~=0, которая может быть переписана в следующей форме:!Z3 ZY196iλ21~ ~ ~=I(0) =d3~x ei~x(k1 +k2 +k3 )d3~kj−9~k 2 + m2 ~k 2 + M 2(2π)jjj=13ZZ3iλ21133~ i ~k~x=d ~xdke−. (A.2)~k 2 + m2 ~k 2 + M 216π 997Воспользуемся известным результатом:Z~eik~x2π 2 −rm3~dk=e,~k 2 + m2rr=√~x2.(A.3)Чтобы получить этот результат достаточно положить ~x = {r, 0, 0} и вычислить интеграл по вычетам:Zeik1 r3~= 2πidk 2k1 + k22 + k32 + m2Z√2 2 2e−r k2 +k3 +m2π 2 −rmdk2 dk3 p 2e.
(A.4)=r2i k2 + k32 + m2Далее подставим этот результат в уравнение (A.2):Z2 Z 136iλ2 ∞ dr −rm6iλdr −r m3I(0) = 2e− e−rM = 2e M − e−r +πrπ0 rZ ∞0Z ∞mmdr −3r mdr−2r−r−r−2r−3r+e M+−3e M e + 3e M e − e. (A.5)rr11Первый и третий интегралы в этом выражении − конечные константы приM → ∞, поэтому I(0) можно переписать следующим образом:ZZ6iλ2 ∞ dr −3r m6iλ2 ∞ dr −3rI(0) = 2e M + O(1) = 2e + O(1) =mπrπr1MZ ∞Z 1Z 1 !26iλdr −3rdr −3rdr= 2e +e −1 ++ O(1). (A.6)m rm rπr1MMПервые два интеграла в этом выражении − также конечные константы приM → ∞, таким образом для I(0) получается следующий результат:6iλ2 MI(0) = 2 ln+ O(1).πm(A.7)Используя этот результат, можно найти соответствующий контрчлен стандартным способом [19].
Этот контрчлен присутствует в уравнениях (1.40)и (1.41).98A.2.Пример сравнения вычислений диаграммыПокажем, как работает метод сравнения вычислений в теории возму-щений на СФ и обычной ковариантной теории возмущений [7, 17], используяв качестве примера однопетлевую диаграмму с двумя внешними линиями.Напишем соответствующее подынтегральное выражение в следующем виде:1=(q 2 − m2 + i0) ((q + p)2 − m2 + i0)1=2 − m2 + i0) (2(q + p )(q + p ) − (q + p )2 − m2 + i0) , (A.8)(2q+ q− − q⊥++−−⊥⊥где p и q являются внешним и петлевым импульсами соответственно.При расчете диаграммы в обычной ковариантной теории возмущений интегрирование осуществляется по всем импульсам qµ , в то времякак при вычислении на СФ интегрирование ведется только по области{|q−| > ε} ∩ {|q− + p− | > ε} из-за регуляризации полей в уравнении (1.41).Таким образом, различие между расчетом в координатах СФ и обычным ковариантным расчетом диаграммы является интегралом по области{|q−| < ε} ∪ {|q− + p− | < ε}.
Эта область состоит из двух частей и вклад каждой из них нужно рассматривать отдельно. Однако, вклад второй части оказывается подобным вкладу первой части после замены q → q̃ = q +p, поэтомурассмотрим интегрирование только по первой части области:ZZZ ε1dq⊥ dq+×dq−2(2q+q− − q⊥ − m2 + i0)−ε1×. (A.9)(2(q+ + p+)(q− + p−) − (q⊥ + p⊥ )2 − m2 + i0)99После замены q− → q− ε, q+ → q+/ε этот интеграл принимает вид:Z 1ZZ1dq⊥ dq+dq−×2(2q+q− − q⊥ − m2 + i0)−1ε×. (A.10)(2(q+ + p+ε)(p− + q−ε) − (q⊥ + p⊥ )2ε − m2 ε + i0)Область интегрирования теперь не зависит от ε, а подынтегральное выражение можно проанализировать в пределе ε → 0.
В этом пределе интеграл (A.10) равен нулю.Если добавить в выражение (A.8) множитель q+ в числителе (как,например, в диаграмме фермионной собственной энергии в модели Юкавы [7, 17]), то после замены q+ → q+ /ε получим дополнительный множитель 1/ε. В этом случае получается ненулевой результат для разницы междувычислением в координатах СФ и обычным ковариантным вычислением такой диаграммы. Заметим, что зависимость от внешних импульсов факторизуется в этом результате для рассмотренного различия. Такая факторизацияобычно имеет место также и в более высоких порядках теории возмущений[7, 17].
Это дает возможность определить формы необходимых контрчленов,которые должны быть добавлены к каноническому гамильтониану, чтобыубрать вышеупомянутое различие.100B. Приложения к главе 3B.1.Вычисление расходящихся частей диаграмм, определяющих контрчлен в перенормированном гамильтониане (2+1)мерной теории Янга-МиллсаСогласно формуле (3.18) пропагатор обращается в ноль, если хотя быодин его лоренцев индекс положить равным "−", т.е.
∆abµ− = 0. Из пропагатора при остальных лоренцевых индексах можно сформировать следующуюматрицу:ababk⊥ − imiδ ab∆++(k) ∆+⊥(k) 2k+ab∆ (k) = = 2 . (B.1)2 + i0k−mababk⊥ + imk−∆⊥+(k) ∆⊥⊥(k)Вершине соответствует следующий множитель:V µνρ,abc (p, k, q) = −gf abc ((p − k)ρg µν + (k − q)µ g νρ + (q − p)ν g µρ ) ,у метрического тензора g µν(B.2)отличны от нуля только компонентыg +− = g −+ = 1, g ⊥⊥ = −1. Поскольку в диаграммах для функций Грина квершинам подсоединяются пропагаторы, то нет необходимости рассматривать вершины с лоренцевыми индексами "−" (заметим, что это потребовалось бы, если бы использовались явно тождества Уорда).
Фиксируя один лоренцев индекс, можно сформировать следующую матрицу из вершины при101остальных лоренцевых индексах:µ++,abc(p, k, q) V µ+⊥,abc(p, k, q)Vµ,abcV(p, k, q) = =µ⊥+,abcµ⊥⊥,abcV(p, k, q) V(p, k, q)0(q − p)−g µ⊥abc = −gf . (B.3)µ⊥µ⊥µ(p − k)−g(k − q)⊥ g + (q − k)Для диаграммы, изображённой на рис. 3.3а, получается следующее выражение:Dµ1 µ2 ,a1 a2(k) =Zdq+ dq−dq⊥ V µ1 ν1 ρ1 ,a1 b1 c1 (k, q) ∆cρ11bν22 (k + q) V µ2 ν2 ρ2 ,a2 b2c2 (k, q)×Zdq+dq− dq⊥×= −g N δ(q 2 − m2 + i0)((k + q)2 − m2 + i0)(0(q− + 2k−)g µ1 ⊥×T r ×µ1 ⊥µ1µ1µ1 ⊥(q− − k− )g2q + k − (k⊥ + 2q⊥)g 2(k+ + q+ ) k⊥ + q⊥ − im××k⊥ + q⊥ + imk − − q−)µ2 ⊥2qq−im0(q−k)g−−+⊥× .(B.4)µ2 ⊥µ2µ2µ2 ⊥(q− + 2k−)g2q + k − (k⊥ + 2q⊥)gq⊥ + imq−×∆ρc22bν11 (q)2a1 a2Здесь была использована формула: f a1 b1 b2 f a2b1 b2 = N δ a1 a2 .
Для вычисления контрчлена рассматривается разность выражений для этого интегралав используемой в данной работе регуляризации (аналогичной регуляризации Паули-Вилларса) и в размерной регуляризации, учитывая первые двачлена ряда Тейлора по k вблизи точки k = 0. Кроме того, совершается евклидов поворот в импульсном пространстве. В результате легко убедиться,102что все компоненты диаграммы, содержащие лоренцев индекс "+", исчезают.Оставшаяся компонента с индексами ⊥⊥ может быть вычислена аналитически и даёт конечный ответ в пределе снятия УФ регуляризации.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
