Диссертация (1149337), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Это условие позволяет придать регуляризации теорииполностью калибровочно-инвариантный вид.Выпишем действие регуляризованной теории в следующем виде:( XZ L2 ++S(η) =dy 3 a2 a0 T r G+03 (y) G03 (y)+η G0k (y) G0k (y)+G0k (y) G3k (y)+y⊥, y0−Li +−− √ ψ+ (y)M0(y) ψ+ (y − a0 e0 ) − э.с. −a0 22√ +iη+− √ψ− (y)M0(y)ψ−(y − a0 e0 ) − э.с.
+ i 2 ψ−(y)D3ψ− (y)−2 2 a0i ++−ψ (y)Mk (y) σk ψ+ (y − aek ) + ψ+ (y)Mk (y) σk ψ− (y − aek ) − э.с. −2a −)++− im ψ−(y) ψ+ (y) − ψ+(y) ψ−(y) . (4.7)+ G+3k (y) G0k (y)G+12 (y) G12 (y)Здесь "э.с." означает эрмитово-сопряжённые члены. Далее для краткости будет принята следующая сокращенная запись аргументов у функций поля:82поле в точке y пишется без указания на аргумент, а поле в смещенной точке y ± aα eα пишется с указанием только на величину и направление сдвига,например:f (y) = f, f (y ± aα eα ) = f (±aα ).При конечном значении η 6= 0 нулевые моды − независимые динамические переменные.
Чтобы сохранить это свойство в пределе η → 0, модифицируем действие, фиксируя параметр η равным η0 6= 0 в соответствующихчленах действия:(122S(η, η0) = S(η) + 2L(η0 − η )T r Uk U0(−ak ) − U0 Uk (−a0 ) ×2ag0y⊥, y0)i+× U0+ (−ak )Uk+ − Uk+ (−a0 )U0+− √ψ−,. (4.8)0 U0 ψ−, 0 (−a0 ) − э.с.2 2a0XЗдесь ψ−,0 обозначает моду фермионного поля, определенную равенствомD3 ψ−, 0 = (∂3 − igA3 )ψ−,0 = 0.Для построения гамильтониана применим изложенный в работе [35] метод получения гамильтониана из соответствующей трансфер-матрицы на решетке по времени y 0 . С этой целью выберем A3 = 0, U0 = I как калибровочные условия. Заметим, что выбор для полей периодических граничныхусловий по y 3 ограничивает такими условиями класс калибровочных преобразований.
При этом условие A3 = 0 не только ограничивает калибровочнуюсвободу, но и сужает общий класс физически допустимых полей [15]. Однаков случае КЭД(1+1) было замечено [33], что можно получить хорошее полуфеноменологическое описание спектра масс на СФ даже с так ограниченным83классом полей. Поэтому в данной работе рассматривается этот более простойвариант.Полагая A3 = 0, U0 = I, глюонную часть действия можно переписатьследующим образом:(2XZ L3 2SG (η, η0) =dy a a0 T r ∂3Ã0 −y⊥, y0−Li+−∂ 3Ãk I + iga Ãk I + iga0 I + iga Ã0 Uk Ã0 (−ak ) Uk −gaa0+− I + iga0 Ã0 I + igaÃk (−a0 ) Uk (−a0 ) Uk − э.с.
+ η2I + g 2 a20 Uk Ã20(−ak )Uk−1 I + g 2 a2 Ã2k − Uk Uk+(−a0 )×+ 2 2 2g a a0× I −igaÃk (−a0 ) I −iga0 Ã0 I +igaÃk I + iga0 Uk Ã0(−ak ) Uk+ + э.с. +!)+ I + g 2 a2 Ã2k (−a0) I + g 2 a20 Ã20− G+12 G12 ++ 2L(η02 − η 2)Xy⊥, y0(1g 2 a0)T r 2 − Uk Uk+(−a0 ) + э.с.. (4.9)Произведение Uk Uk+(−a0 ), входящее в это выражение, отвечает сдвигу вдольоси времени на шаг решетки, что используется при построении соответствующей трансфер-матрицы и гамильтониана в пределе a0 → 0, следуя методуработы [35]. Применяя этот метод для глюонной части действия [18], получаем следующее выражение для глюонной части гамильтониана в пределеa0 → 0 (с точностью до членов порядка η 2):(Z L 2Xg21HG =πka −dy 3 f abcΠ̃bk Ãck+24Lη2−L0⊥y ,k841+ 2 22η aZLdy 3(Π̃ak − a2 ∂3Ãak )2+−L )hi+Ã0 − Uk Ã0(−ak )Uk+dy 3 Π̃ak T r λa−ig Ãk , (Ã0 +Uk Ã0 (−ak )Uk+)−a−LXZ L22−a2dy 3 T r ∂3Ã0 − G+12 G12 + O(η ). (4.10)ZLy⊥−LЗдесь Π̃ak и Ãak = T r(λaÃk ) − канонически сопряженные пары переменных,λa − аналоги матриц Гелл-Манна для группы SU(N): a bλcλ λ= if abc ,,2 22f abc − структурные константы (a, b, c = 1, ..., N 2 − 1).
Для нулевых мод рольканонических переменных играют Uk , πka . Эти переменные удовлетворяют0следующим перестановочным соотношениям (при y 0 = y 0 ):λa= −δkk 0 δy⊥ y⊥0 Uk (y) ,2(4.11)[ πka (y), πkb 0 (y 0 )] = i δkk 0 δy⊥y⊥0 f abc πkc (y) .(4.12)[ πka (y), Uk 0 (y 0 )]Рассмотрим зависящую от фермионных переменных часть действия.Нулевые моды глюонных полей, описываемые унитарными матрицами, входят в эту часть без производных по времени. Поэтому можно не вводитьдополнительной решетки по времени и переходить к данной части гамильтониана, применяя обычный канонический формализм.Введем нормированные фермионные переменные следующим образом:Z LZ L1aη0χ = 21/4ψ+ , ξ = 2−1/4η ψ− −dy 3 ψ− , ξ0 = 2−1/4 √dy 3 ψ− .2L −L2L −L85Тогда часть действия и гамильтониан, зависящие от фермионных переменных, записываются в следующем виде (при A3 = 0):(Z LXZiη203+++√Sψ = adydy iχ D0 χ + iξ D0 ξ +ξ0 D0 ξ + э.с.
+a2Lη−L0y⊥ +i +2i +iξξ0++ξ ∂0 ξ0 + 2 ξ ∂3 ξ −+√Mk σk χ(−ak ) − э.с. −2La2 0η2aη2L η0aξ(−a)iξ(−a)k0kχ+ Mk σk+√−− э.с. −2aη2L η0a +)+ξξ− im+√ 0χ − э.с., (4.13)η2L η0 a( XZ Lη23+++√Hψ = ady −g χ A0χ + ξ A0 ξ +ξ0 A0 ξ + э.с. +a2Lη−L0y⊥ +2i +iξξ0+1 +ξ A0 ξ0 − 2 ξ ∂3ξ ++√+Mk σk χ(−ak ) − э.с. +2La2 0η2aη2L η0aiξ(−a)ξ(−a)k0kχ+ Mk σk++√− э.с. +2aη2L η0a) ++ξξχ − э.с.. (4.14)+ im+√ 0η2L η0 aПриравнивая нулю вариацию полного гамильтониана по переменной Ã0, получаем следующее соотношение (с точностью до членов порядка O(η 2 )):( i−1gh2 2 aa Uk (ak ) Π̃k (ak ) Uk (ak ) − Π̃ka ∂3 Ã0 = T r λ− i Ãk , Π̃k −a2)g −1− i Uk (ak ) Ak (ak ), Πk (ak ) Uk (ak )+2ga2η+ a+ a+ a+χ λ χ+ ξ λ ξ + √ξ0 λ ξ + э.с. . (4.15)22L a η0Из этого соотношения можно найти выражение для Ã0 через другие переменные.86Теперь можно написать для полного гамильтониана следующее выражение:(2Zg21 L 3 abc b c aH=dy f Π̃k Ãk+2 πk − 24Lη−L0y⊥, kZ L2 2i1123a2a 2a++ady(Π̃k − a ∂3Ãk ) +∂3Ã0 + T r G12G12 − 2 ξ +∂3 ξ+242η a2η−L +iξξ0+√++Mk σk χ(−ak ) − э.с.
+2aη2L η0 aiξ(−a)ξ(−a)k0k+χ+ Mk σk+√− э.с. +2aη2L η0a +)+ξξ+ imχ − э.с.+ O(η), (4.16)+√ 0η2L η0 aXгде величина ∂3 Ãa0 должна быть определена по формуле (4.14). Кроме этого,нужно выразить все поля через их моды Фурье по y 3 (которые являютсянезависимыми переменными):Ãaka+a1 X an, k + a−n, k −ipny3p= √e,a 2L n6=02 |pn|где pn =1 X i −ipny3χir = √χnr e,a 2L nπnL,Π̃aka+a−ia X an, k − a−n, k p3√=√|pn | e−ipn y ,22L n6=01 X i −ipny3ξri = √ξnr e,a 2L n6=0n = 0, ±1, ±2, ...
Так определенные независимые переменныеудовлетворяют следующим (ненулевым) каноническим перестановочным со0отношениям (при y 0 = y 0 ):hi0ab+an, k (y) , an0 , k0 (y ) = δkk0 δab δnn0 δy⊥y⊥0 ,no noj+j+i0i0χnr (y), χn0 r0 (y ) = ξnr (y), ξn0 r0 (y ) = δnn0 δij δrr0 δy⊥ y⊥0 .К этим соотношениям следует добавить соотношения (4.11), (4.12) для нулевых мод глюонного поля.874.3.Предельный переход к гамильтониану КХД на световомфронтеЧтобы рассмотреть предельный переход на СФ (η → 0) для полученногогамильтониана, заметим, что при фиксированных значениях параметров L иa этот гамильтониан можно разложить по степеням параметра η следующимобразом:H=11H+H1 + H2 + O(η).0η2ηИмея это разложение, можно построить аналог стационарной теории возмущений по малому параметру η:(H − E)f = 0,f = f0 + ηf1 + · · · ,E=11E0 + E1 + E2 + O(η).
(4.17)2ηηЗаметим, что состояния f0 соответствуют собственным состояниям гамильтониана в пределе η → 0, т. е. на СФ. Для ограниченности энергии E в пределеη → 0, нужно положить E0 = E1 = 0.В низшем и в двух следующих порядках по η имеем следующие уравнения:H0 f0 = 0,H0 f1 + H1 f0 = 0,H0f2 + H1 f1 + (H2 − E2 )f0 = 0.Подставим в эти уравнения точные выражения для соответствующих частейгамильтониана. Выражение для H0 в терминах мод Фурье полей имеет вид:2XZ L1 a32a2 +H0 =dyΠ̃k − a ∂3 Ãk − 2ia ξ ∂3ξ =22a−Ly⊥( )XXXX+i+ i|pn |aa−n,k +ξ−nξ−n + ξni ξni+. (4.18)=2aa−n,ky ⊥ n>0ai88Здесь отброшена постоянная, отвечающая минимальному собственному значению H0.
Следовательно, подпространство состояний {f0} может быть определено следующими уравнениями:iaa−n,k f0 = ξ−nf0 = ξni+f0 = 0 ,n > 0.(4.19)Поэтому состояния {f0} играют роль вакуума для этих мод Фурье полей.Обозначим проектор на подпространство {f0} через P0 . В следующемпорядке по η получаемf1 = −(1 − P0)H0−1(1 − P0)H1 f0.Для оставшегося уравнения достаточно рассмотреть проекцию на подпространство {f0}. Получаем следующее равенство:P0 H2 − H1 (1 − P0 )H0−1(1 − P0 )H1 f0 = E2f0 .Уравнение в такой форме можно рассматривать как задачу на собственныезначения для гамильтониана на СФ поскольку величины E2 определяют собственные значения гамильтониана H в пределе η → 0.
Таким образом длягамильтониана на СФ можно принять следующее выражение:P+ = P0 H2 − H1 (1 − P0 )H0−1(1 − P0 )H1 P0 .Используя условия (4.17), можно устранить в этом выражении завиiсимость от операторов aa−n,k , ξ−n, ξni+ (n > 0) (принимая порядок этих опе-раторов в гамильтониане в соответствии с формулой (4.13)). В результате получается следующее выражение в терминах независимых переменных89++++ia ank , a ank , b inr , b inr , d inr , d nr(n > 0) и Uk , πka , χ0 , χ+0 , ξ0 , ξ0 :("!22X Z LXgia2 a 2−aabc +b cP+ =dxπk −f ank ank+F+− +2η28L22−L0⊥n>0xiLF + LF+LF+a T r G12 G12 + √ξ0 I + iga Ak Uk σk χ(−ak )+2 2L η0!hi hiima+χ+ I + iga ALFUk σk ξ0 (−ak ) − э.с. + √ξ0+, χ − χ+ , ξ0 −k2 2L η0i+−1LF− χ (−ak0 ) σk0 Uk0 I − iga Ak0 − χ+ (ak0 )×8!+× I + iga ALF×k 0 (ak 0 ) Uk 0 (ak 0 ) σk 0 + 2maχ2×∂−−1!I+iga ALFUk σk χ(−ak )−σk Uk−1(ak ) I−iga ALFkk (ak ) χ(ak )+2maχ +2X#LFT r ALF+k Akg415N − 2 −8LNpn>0 n!!!)X χ+ χnX X χ+ χng 2 N − N1 X 1nn+++const, (4.20)+216Lapppmm−nnn>mn<−mm>0+n6=mгдеaF+−a= T r λ F+− ,1LF−1 LFF+− =Ak − Uk Ak Uk (ak ) −ai hiaig −1 hλLF−1 LF+ a− ∂−∂−ALF+ ∂− Uk−1ALF, (4.21)k , Akk Uk , Uk Ak Uk (ak )−χ λ χ22GLF12 (x) = − 1 LFLFI+igaAUI+igaA(−a)11 U2 (−a1 )−12ga2! − I + iga ALFU2 I + iga ALF21 (−a2 ) U1 (−a2 ) ,(4.22)90ALFk (x)X1= √a 2L a, n>0−aank (x⊥)e−ipnx√2pn!λa+ э.с.,2(4.23)X1χ0−+−χir (x) = √b inr (x⊥) e−ipnx + d inr (x⊥) eipnx + √ .a 2L n>0a 2L(4.24)Расходящиеся суммы в этом выражении для гамильтониана должны бытьограничены условием p− = pn =πnL6 Λ.++iОператор импульса P− в терминах переменных a ank , a ank , b inr , b nr, d inr ,+id nrимеет следующий вид:P− =XXx⊥+n>0+pn a ank a ank++i+ ib nrb nr++id inr d nr> 0.(4.25)+iОператоры a ank , a ank , b inr , b nr, d inr , d inr являются операторами уничтоженияи рождения в пространстве Фока, в котором вакуум определён как состояние с P− = 0.
Поэтому можно найти проекцию (P+ )0 гамильтониана P+ наподпространство с P− = 0:X g 24La a+(P+ )0 =2 πk πk + g 2 a2 Re T r I − U124Lη0⊥x+i2a η0!hi+ξ0+Uk σk χ0 (−ak ) + χ+0 Uk σk ξ0 (−ak ) + ma ξ0 , χ0 − э.с. + const. (4.26)Это выражение имеет форму гамильтониана (2+1)-мерной калибровочнойтеории на пространственной решетке с непрерывным временем x+. Вакуумное состояние соответствует минимуму такого гамильтониана.
Можно определить состояния с конечным импульсом p− , используя операторы рожденияв вышеупомянутом пространстве Фока на СФ над этим вакуумом.91Заметим также, что имея выражение (4.18) для гамильтониана на СФ,можно найти форму действия, которая порождает этот гамильтониан непосредственно в координатах СФ. Можно проверить, что такое действие совпадает с выражением (4.8) (т. е. модифицированным выражением (4.7)), но приη = 0, плюс добавка тех членов из выражения (4.18), которые получены врезультате процедуры исключения части мод полей в силу уравнений (4.17).Для ясности выпишем снова эти добавочные члены:( X 2XZ Lg41−LF LF−dx5N − 2 −T r Ak Ak +8LNpn−Ln>0x⊥ ,x+!!!)X χ+ χnX X χ+ χng 2 N − N1 X 1nn+++.
(4.27)216Lapppmm−nnn>mn<−mm>0n6=m4.4.ЗаключениеВ данной главе представлено построение гамильтониана КХД на СФ,включающее описание вакуумных эффектов. Рассмотрение аналогичной задачи для КЭД(1+1) (массивной модели Швингера) показывает возможностьполуфеноменологического подхода к решению этой задачи. Данный подходвключает ограничение пространства по координате вдоль светового конуса(|x−| 6 L) и периодические граничные условия на функции поля по x−. Тогданулевые и ненулевые моды Фурье по этой координате можно рассматриватьотдельно и описывать вакуумные эффекты при помощи нулевых мод. Кроме того, в данном подходе теория на СФ получается предельным переходомот формулировки теории на пространственно-подобных плоскостях, близких92к СФ. Рассматриваемый предельный переход при фиксированном значенииL описывается с использованием параметра η, характеризующего близостьпространственно-подобной гиперплоскости к СФ (η → 0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
