Диссертация (1149337), страница 10
Текст из файла (страница 10)
поле, не зависящее от x− , в этом члене отсутствует,поэтому канонически сопряженный с ней импульс обращается в нуль, и нулевая мода не является независимой динамической переменной, в отличиеот остальных мод. Наряду с этой особенностью возникают сингулярности ввыражении для гамильтониана при p− = 0.Обычно применяют два типа регуляризации:(1) | p− | > ε > 0,(2) так называемая "DLCQ" регуляризация ("Дискретизованное на световом74конусе квантование") [31, 32], т.
е. ограничение пространства по x−, |x− | 6 L,при периодических граничных условиях на (калибровочно-инвариантные)функции поля.Однако, регуляризация (1) не имеет лоренцевой и калибровочной симметрии и исключает нулевые по x− моды, которые важны для правильногоописания вакуумных эффектов. Регуляризация в виде DLCQ также нарушает лоренцеву симметрию, но сохраняет калибровочную инвариантность.
Импульс p− становится дискретным из-за периодических граничных условий,четко отделенные нулевые моды могут быть выражены через другие модыпутем решения канонических связей. Однако для большинства моделей этисвязи очень сложны, и задача практически неразрешима [15, 16].Нарушение лоренцевой и калибровочной симметрий в этих регуляризациях ведет к затруднениям при перенормировке теории, а также к возможнойее неэквивалентности обычной формулировке в лоренцевых координатах. Врамках теории возмущений было показано, что для восстановления эквивалентности необходимо ввести в регуляризованный гамильтониан формализмана СФ дополнительные члены, которые, в частности, могут быть нелокальными по координате x− [7].Чтобы исследовать проблему описания вакуумных эффектов на СФ,была рассмотрена хорошо известная модель калибровочного поля в двумерном пространстве-времени, а именно (1+1)-мерная квантовая электродинамика (КЭД(1+1)) [3, 5].
Эта модель может быть преобразована в модель скалярного поля с неполиномиальным взаимодействием, которая намного проще75для рассмотрения на СФ, чем исходная калибровочная теория. В результатебыли найдены члены, которые нужно добавить к каноническому выражениюдля гамильтониана на СФ, чтобы сделать формулировку на СФ эквивалентной обычной формулировке в лоренцевых координатах.
Эти члены содержатвсю информацию о вакуумных конденсатах и зависят от нулевых мод.К тому же было замечено, что аналогичные вакуумные эффекты дляспектра масс в КЭД(1+1) можно приближенно получить в рамках полуфеноменологического подхода, связанного с предельным переходом к гамильтониану на СФ от гамильтонианов на пространственно-подобных плоскостях, близких к СФ. При этом вводятся координаты, характеризующие такиепространственно-подобные плоскости и совпадающие в пределе с координатами СФ. Далее, по той координате, которая совпадает в пределе с координатой x−, вводится ограничение пространства (с аналогичным параметром L)и соответствующие периодические граничные условия.
Пока параметр L конечен и фиксирован, предельный переход совершается так, чтобы нулевыемоды оставались независимыми динамическими переменными, какими ониявляются до перехода на СФ. В этом смысле для нулевых мод предельныйпереход на СФ "замораживается". В результате нулевые моды, моделирующие динамику в инфракрасной области, дают полуфеноменологический способ описания вакуумных конденсатов и правильного описания спектра массв пределе снятия регуляризации [33].Попытка применить аналогичный полуфеноменологический способ дляприближенного описания вакуумных эффектов в КХД на СФ была изло-76жена ранее в работе [34]. Однако регуляризация не имела калибровочнойсимметрии.
В настоящей главе предлагается калибровочно-инвариантная регуляризация, удобная для рассмотрения предельного перехода на СФ. Здесьиспользуется конечная (с периодическими граничными условиями) решеткав пространстве поперечных координат и калибровочно-инвариантный аналогограничения импульса p− . В предлагаемой регуляризации только нулевые моды глюонного поля отнесены к ребрам решетки и описываются унитарнымиматрицами, остальные поля отнесены к узлам решетки.Пока регуляризация не снята, лоренцева симметрия нарушена этой регуляризацией.
Вакуумное состояние, определенное как собственное состояние оператора P− с минимальным значением p− = 0, определено не однозначно из-за нулевых мод. Минимум оператора P− может не соответствоватьминимуму гамильтониана P+ . В данной работе принимается приближение,в котором вакуум определяется как состояние, минимизирующее проекцию(т. е. редукцию) гамильтониана P+ на собственное подпространство с нулевым значением импульса P− . Такая проекция зависит только от нулевых мод(которые остаются независимыми динамическими переменными на СФ после вышеупомянутого предельного перехода при конечном L) и выглядит подобно гамильтониану калибровочной теории на пространственной решетке в(2+1)-измерениях (где координата x+ может быть формально отождествленас лоренцевым временем).Чтобы найти массы адронов, надо строить состояния с конечным значением импульса P− , используя над данным вакуумом базис пространства77Фока на СФ, связанный с ненулевыми модами.Можно надеяться, что лоренцева инвариантность может быть восстановлена в пределе снятия регуляризации.
Поэтому вакуумное состояние,определенное путем минимизации редукции гамильтониана P+ на собственное подпространство оператора P− с собственным значением p− = 0, можетоказаться равным в пределе снятия регуляризации собственным состояниямоператора P+ , отвечающим его минимальному собственному значению. Однако окончательный ответ может быть получен в результате последующихчисленных расчетов.4.2.Гамильтониан КХД в координатах, близких к координатам СФНачнем с лагранжевой формулировки в координатах y µ = (y 0 , y 1, y 2 , y 3),аппроксимирующих координаты СФ:η2 − 3y = x + x , y = x− , y ⊥ = x⊥ .20+(4.1)Предельный переход к теории на СФ соответствует пределу η → 0 параметра η. В (3+1) измерениях привычнее использовать координаты, в которыхвыделена ось x3, а именно x± =x0√±x3,2x⊥ = (x1, x2) − поперечные координа-ты.В этих координатах имеем следующую плотность лагранжиана КХД(с калибровочной группой SU (N )) [34]:L(y) =222T r{F03(y)+2 F0k (y) F3k (y)+η 2F0k(y)−F12(y)}+√ +i 2 ψ+ (y) D0 ψ+ (y)+78√ +i η2 ++(y) D3 ψ− (y) + i ψ−(y) (D⊥ − m) ψ+(y)++ √ ψ− (y) D0 ψ− (y) + i 2 ψ−2++ i ψ+(y) (D⊥ + m) ψ− (y), (4.2)где Fµν (y) = ∂µ Aν (y) − ∂ν Aµ (y) − ig Aµ (y), Aν (y) , Aµ (y) − векторные потенциалы глюонного поля, отнесенные к координатам y µ , Dµ = ∂µ − igAµ (y),D⊥ =Xσk Dk ,k=1,2σk − матрицы Паули, g − константа связи,m − масса поля фермионов (квар ψ+ jсоков), описываемого биспинором ψ = , имеющим компоненты ψ±,rψ−спиновыми индексами r = ± 21 и SU(N)-индексами j = 1, 2, .
. . , N . Эти спино-ры отнесены к системе координат xµ и соответствуют выбору матриц Диракаγ µ в координатах xµ в следующем виде0 I = i,I 0σk 0 γk = i .0 σk0 −I γ0 = i ,I 0γ3 =Введем решетку по координатам y 1 = x1, y 2 = x2 с параметром a (рас-стоянием между соседними узлами решетки), а также решетку по координатеy 0 с параметром a0 (в дальнейшем этот параметр устремляется к нулю в соответствующей трансфер-матрице по y 0 ).
Координату y 3 ограничим условием| y 3 | 6 L, и при этом поля подчиним периодическим граничным условиямпо y 3 .Компоненту глюонного поля A3(y) и кварковые поля оставляем без изменения и относим к узлам решетки. Для поперечных компонент глюонного79поля вводим новые специальные переменные в виде комплексных N × N матриц следующего вида (для модели с калибровочной группой SU(N)):Mα (y) = I + igaα Ãα (y) Uα (y) ,α = 0, 1, 2,a1 = a 2 = a ,(4.3)где Uα (y) − унитарные N × N матрицы, отнесенные к ребрам решетки (y − aα eα , y), eα − единичные векторы вдоль осей y α , а Ãα (y) − эрмитовыN × N матрицы, отнесенные к соответствующим узлам решетки.Для этих переменных определим закон калибровочных преобразованийследующим образом:Ãα (y) → Ω(y)Ãα (y) Ω+(y) ,Uα (y) → Ω(y)Uα(y) Ω+(y − aα eα ) ,(4.4)где Ω(y) − матрица калибровочного преобразования.
Для матриц Mα (y) преобразование имеет следующий вид:Mα (y) → Ω(y)Mα(y) Ω+(y − aα eα ).При этом для переменных A3 и ψ сохраняем обычный закон преобразования:iA3(y) → Ω(y)A3(y) Ω+(y) + Ω(y)∂3Ω+(y),gψ(y) → Ω(y)ψ(y).Определим оператор D3 следующими равенствами:hiD3 Ãα (y) = ∂3 Ãα (y) − ig A3 (y), Ãα(y) ,D3 Uα (y) = ∂3 Uα (y) − igA3(y)Uα (y) + igUα (y)A3(y − aα eα ),D3 Mα (y) = ∂3Mα (y) − igA3(y)Mα (y) + igMα (y)A3(y − aα eα ),D3 ψ(y) = ∂3 − igA3 (y) ψ(y).80Эти равенства обеспечивают перестановочность операции D3 с калибровочными преобразованиями.Теперь доопределим матрицы Uα (y) следующим калибровочноинвариантным условием:D3 Uα (y) = 0,(4.5)а для матриц Ãα (y) потребуем отсутствия в них части, удовлетворяющейусловию D3 Ãα (y) = 0.
В калибровке A3 = 0 эти условия просто означаютразделение нулевых и ненулевых мод Фурье по y 3 матриц Mα (y), где Uα (y)и igaα Ãα (y)Uα (y) описывают нулевые и ненулевые моды соответственно.В пределе непрерывного пространства (a → 0, a0 → 0) потребуем, чтобы в калибровке A3 = 0 для Uα (y) выполнялось следующее:Uα (y) → exp igaα Aα0 (y) → I + igaα Aα 0(y) ,где Aα0 (y) − нулевая мода поля Aα (y) в непрерывном пространстве, а дляполя Ãα (y) потребуем, чтобы оно стремилось к части поля Aα (y), отвечающейненулевым модам. Тогда при всех A3 для матриц Mα (y) получаем следующеесоотношение:2Mα (y) → I + igaα Aα (y) + O (aα g) .(4.6)Это позволяет определить решеточный аналог полей Fµν (y) теории в непрерывном пространстве следующим образом:1G12 (y) = − 2 M1 (y)M2(y − ae1 ) − M2 (y)M1(y − ae2 ) ,ga811G0k (y) =gaa0Mk (y)M0 (y − aek ) − M0 (y)Mk (y − a0 e0) , k = 1, 2 ,G3α (y) =1D3 Mα (y).gaαПри a → 0, a0 → 0 получаем Gµν (y) → iFµν (y).При калибровочных преобразованиях имеемG3α (y) → Ω(y) G3α(y) Ω+(y − aα eα ),Gαβ (y) → Ω(y) Gαβ (y) Ω+(y − aα eα − aβ eβ ).Далее можно ввести калибровочно-инвариантный аналог ультрафиолетовогообрезания по p3, используя обрезание по собственным значениям q3 оператора D3 : | q3 | 6 Λ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
