Автореферат (1149309), страница 3
Текст из файла (страница 3)
В качестве опорных выбраны вектор площадей c, радиус-вектор r, вектор скорости ṙ и вектор возмущающего ускорения P, что, на наш взгляд, являетсяболее удачным выбором, чем вектор площадей и вектор Лапласа, принятые в [12], так как у нас результирующие уравнения имеют законченныйи удобный для дальнейшего использования вид. Так, скорости изменениявсех инвариантных элементов, кроме вектора площадей, записаны в виделинейной комбинации двух величин – скалярного произведения вектораскорости ṙ малого тела и вектора P, и смешанного произведения векторов c, r, P.
Производная по времени от вектора площадей представляетсобой векторное произведение r и P. В выражения для скоростей измене-11ния полуинвариантных элементов добавится третья величина – смешанноепроизведение векторов r, P и орта k оси Z инерциальной декартовой системы координат. Зависимость от этих трех величин по-прежнему линейна.В случае необходимости из этих 15 выражений можно легко вывести уравнения для новых элементов.
Например, при исследовании почти круговыхспутниковых орбит целесообразно вместо эксцентриситета e и аргументаперицентра σ использовать их комбинации ϵ1 = e sin σ, ϵ2 = e cos σ [2]. Новые элементы являются функциями старых, поэтому ϵ̇1 = sin σ ė + e cos σ σ̇,ϵ̇2 = cos σ ė − e sin σ σ̇. Подставив сюда уже известные уравнения для ė, σ̇,получим универсальные уравнения для новых элементов.При выборе вращающейся системы отсчета из универсальных выражений можно легко получить уравнения возмущенного движения, выразив скалярные и смешанные произведения через оскулирующие элементыи проекции вектора возмущающего ускорения на оси выбранной системыотсчета. В первой главе подобная операция проведена для 15 элементов орбиты в трех системах координат.
Все уравнения получены в двух вариантах — выраженными через эксцентрическую и через истинную аномалию.Во второй главе «Метод осреднения» рассмотрены системы уравнений для шести независимых элементов орбиты, отвечающих трем вышеуказанным системам отсчета при постоянном модуле возмущающего ускорения, и выполнено методом Крылова-Боголюбова осредняющее преобразование уравнений движения типа Эйлера в первом порядке по маломупараметру, соответствующему отношению возмущающего ускорения к основному. Наличие лишь одной быстрой переменной предотвращает появление малых знаменателей. Мы ограничились возмущениями первого порядка, поскольку этого достаточно для подавляющего числа астрономическихприложений. В этом случае осредняющее преобразование может быть выполнено в замкнутом виде, без разложений по степеням эксцентриситетаили наклона, или отношения радиуса центрального тела к большой полуоси.
В результате получены уравнения движения в средних элементах ифункции замены переменных для основной и двух сопутствующих системкоординат. Так как для O2 в формулах замены переменных появляютсянеполные эллиптические интегралы первого и второго рода, и даже интегралы от неполных эллиптических интегралов, то кроме замкнутых формул получены их разложения по степеням эксцентриситета.
Радиус сходимости этих рядов равен единице.В третьей главе «Разность положений на оскулирующей и среднейорбите для системы O1 » получена формула для вычисления нормы разно-12сти оскулирующих и средних элементов:a62∥ρ∥ =(A1 S 2 + A2 T 2 + A3 W 2 ),432κ2где A1 = 32 + 276e − 255e4 + 50e6 , A2 = 512 − 99e2 − 385e4 − e6 ,A3 = 32 − 15e2 + 10e4 . Видим, что среднеквадратичная норма ∥ρ∥2 в O1зависит только от компонент вектора возмущающего ускорения, большойполуоси и эксцентриситета оскулирующего эллипса! От ориентации орбитыи положения точки A на ней ∥ρ∥2 не зависит.Четвертая глава «Решение осредненных уравнений для системы O1 »посвящена решению уравнений движения в средних элементах для первойсопутствующей системы координат.
При e = 0 и в случаях, если хотя быодна из компонент возмущающего ускорения равна нулю, система проинтегрирована в квадратурах и построен ее фазовый портрет. Для O1 осредненные уравнения движения решены методом рядов Ли по степеням времени.В пятой главе «Применение к задаче изменения орбиты астероида или ИСЗ» рассматриваются приложения модельной задачи к изменению орбиты АСЗ, снабженного двигателем малой тяги, и спутникаретранслятора.Норма разности оскулирующих и средних элементов вычислена длянескольких малых тел и ИСЗ и составила ∼ 10−8 величины радиусавектора. Следовательно для выбранных объектов периодическими возмущениями можно пренебречь, принимая во внимание лишь вековое движение, которое дается осредненными уравнениями, полученными в главе 2.Оценен временной интервал, необходимый для существенного изменения элементов орбиты АСЗ или ИСЗ при малом возмущении.
Например,если придать астероиду 99 942 Апофис дополнительное возмущающее ускорение T = 1.64·10−9 м с−2 , что соответствует тяге 100 Н, то через год такоговоздействия малое тело сместится от своего невозмущенного положения на2.46 Мм. Таким образом, орбиту опасного астероида можно изменить с помощью батареи электрореактивных двигателей для избежания столкновения за приемлемое время (от нескольких месяцев до нескольких лет в зависимости от величины тяги и массы тела).
В случае спутника-ретрансляторавоздействие малой тяги в 20 мН, направленной по трансверсали, в течениесуток приведет к увеличению большой полуоси на 432 км.В приложение вынесены вспомогательные математические предложения и методы, используемые в данной работе, но напрямую не относящиеся к теме диссертации.Заключение. Рассмотрена задача о движении точки нулевой массы поддействием притяжения к центральному телу S и возмущающего ускоре-13ния P. Вектор P считается постоянным в одной из трех наиболее употребительных в астрономии систем отсчета с общим началом S, но разныминаправлениями осей: основная инерциальная и две сопутствующие.Выведены уравнения типа Эйлера изменения оскулирующих элементов в форме, не зависящей от системы отсчета. Элементы были разбитына две группы: инвариантные относительно группы вращений трехмерногопространства, и инвариантные только относительно группы вращений основной плоскости.
Это позволило легко получить уравнения типа Эйлерав любой из рассмотренных систем отсчета.Для решения уравнений был применен метод осреднения. Для трехсистем отсчета были получены как формулы замены переменных (от оскулирующих к средним и обратно), так и правые части уравнений движения всредних элементах с точностью до первой степени малого параметра, соответствующего отношению возмущающего ускорения к основному. В O и O1все соотношения оказались элементарными.
В O2 правые части уравненийдвижения содержат полные эллиптические интегралы, а формулы заменыпеременных — также неполные эллиптические интегралы и интегралы отних. Их можно избежать, раскладывая соответствующие функции в рядыпо степеням эксцентриситета, что и было сделано. Доказано, что радиуссходимости этих рядов равен единице.Осредненные уравнения движения, хотя и неинтегрируемы в квадратурах, но близки к таковым. Для O1 при e = 0 (круговые орбиты) и вслучаях, если хотя бы одна из компонент возмущающего ускорения равнанулю, система интегрируется в квадратурах. Найдены интегралы движения и построен фазовый портрет системы.
Осредненные уравнения движения были решены также методом рядов Ли по степеням времени.В качестве приложения показано, что двигатель малой тяги можетбыть эффективен для предотвращения астероидно-кометной опасности, атакже для корректировки орбит искусственных спутников.В будущем мы намереваемся расширить результаты данной диссертации, выполнив аналогичные вычисления при возмущающем ускорении,обратно пропорциональном квадрату расстояния от притягивающего центра, и применить результаты к движению астероида или ядра кометыпод действием негравитационных эффектов, включая эффект ЯрковскогоРадзиевского.Публикации по результатам работы.
Основные результаты работыопубликованы в следующих статьях в рецензируемых журналах:• Санникова Т.Н., Холшевников К.В. Уравнения движения в оскулирующих элементах в различных системах отсчета // Вестник СПбГУ, сер. 1,14вып. 4, 2013, c. 134–145.• Санникова Т.Н., Холшевников К.В., Чечеткин В.М. Применение методаосреднения Гаусса к анализу возможности увода небесного тела // Экологич. вестн. научн. центров Черноморск. экон. сотрудн., том 2, №. 4,2013, c.
144–147.• Санникова Т.Н. Осредненные уравнения движения в центральном полепри постоянном по модулю возмущающем ускорении // Вестник СПбГУ,сер. 1, том 1(59), вып. 1, 2014, с. 171–179.• Холшевников К.В., Санникова Т.Н., Джазмати М.С. К выводу уравнений движения в оскулирующих элементах // Вестник СПбГУ, сер. 1,том 1(59), вып.
2, 2014, с. 160–164.• Холшевников К.В., Санникова Т.Н. Осредненные уравнения движенияпри постоянном в различных системах отсчета возмущающем ускорении // Астрономический Журнал, том 91, № 12, 2014, с. 1060–1068.• Санникова Т.Н., Холшевников К.В. Движение в центральном поле привозмущающем ускорении, постоянном в сопровождающей системе отсчета, связанной с радиусом-вектором // Астрономический Журнал, том 92,№ 8, 2015, с. 681–692.В совместных статьях Санниковой Т.Н. принадлежит вывод инвариантных и полуинвариантных уравнений типа Эйлера, а затем получение изних дифференциальных уравнений в трех системах отсчета для 15 элементов орбиты, выполнение процедуры осреднения, вывод уравнений движения в осредненных переменных и функций замены переменных для трехсистем координат, вывод нормы разности оскулирующих и средних элементов, решение в квадратурах системы осредненных уравнений в O1 длянескольких частных случаев.Доклады по результатам работы опубликованы в трудах конференций:• Холшевников К.В., Санникова Т.Н.
Движение с постоянным в различных системах отсчета возмущающим ускорением // Труды 43-й Международной студенческой научной конференции «Физика космоса», Екатеринбург, 3 — 7 февраля 2014 г, изд. УрФУ, c. 129–146.• Холшевников К.В., Санникова Т.Н., Батмунх Н. Связь возмущений координат и элементов орбиты // Труды 44-й Международной студенческой научной конференции «Физика космоса», Екатеринбург, 2 — 6 февраля 2015 г, изд. УрФУ, c. 127–139.15Литература[1] Белецкий В. В. Очерки о движении космических тел.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
