Диссертация (1149280), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Для этогоприменим равенство обобщённых функций∞Xk=−∞δ(t − 2πk) =∞1 X inte .2π n=−∞к функции η(τ + t/F ) с произвольным числом τ . После замены переменной в интегралеполучим, что∞X2πη τ+kFk=−∞∞ Z ∞∞XF XinF (s−τ )eη(s) ds = Fe−inF τ ηb(nF )=2π n=−∞ −∞n=−∞=3FdP (e−iF τ ).8Функция dP принимает только вещественные положительные значения по определению, таккак любое число на единичной окружности можно представить в виде z=eiF τ с некоторымτ . При τ = 2πm/N получаемCm (P ) = d(zPm ),zP = e−2πiP,0 ≤ m ≤ P − 1,что доказывает утверждение 1 теоремы.Функция dP (z) зависит только от величины F — количества периодов на окно сигналаи не зависит от частоты дискретизации. Сетка отсчётов на единичной окружности полностью определяется числом P — количеством отсчётов в периоде, пропорциональна частотедискретизации и не зависит от длины окна N.2.

Утверждение 2 доказывается непосредственным суммированием геометрических прогрессий.3. Функция ηb0 (x) чётная, и при x > 0 является произведением множителя sin(πx) на мо-нотонно убывающую функцию пропорционально x−5 . При |x| > 3 значения функции меньше0.005, при |x| > 4 — меньше 0.001.Последовательность (bη0 (nF ))∞n=−∞ является коэффициентами ряда Лорана для d(z).

Поусловию, F ≥ 1.6. Поэтому |nF | ≥ 3.2 для n ≥ 2 и, следовательно,|bη0 (nF )| ≤ 0.005,|n| ≥ 2,F ≥ 1.6.1021.210.80.60.40.20−0.2−4−3−2−101234Рисунок 3.2 — Нормированная функция ηb0 (x) = 83 ηb(x).1.0110.990.980.970.960.950.940.931.522.533.5Рисунок 3.3 — Множитель KF .Аппроксимация первого порядка допускает факторизацию1Xn=−1ηb0 (nF )z n = hF (z)hF (z −1 ),hF (z) = KF (1 − αF z),где коэффициенты определяются из уравнения факторизации:KF =p1 p1 + 2bη0 (F ) + 1 − 2bη0 (F ) ,2αF = −ηb0 (F ).KF2Это доказывает утверждение 3 и завершает доказательство теоремы.График функции ηb0 представлен на рис. 3.2. При |x| > 3 значения функции меньше0.005, при |x| > 4 — меньше 0.001. Функция ηb0 (x) чётная, и при x > 0 является произведениеммножителя sin(πx) на монотонно убывающую функцию пропорционально x−5 .Последовательность (bη0 (nF ))∞n=−∞ является коэффициентами ряда Лорана для d(z). Поусловию, F ≥ 1.6.

Поэтому |nF | ≥ 3.2 для n ≥ 2 и, следовательно,|bη0 (nF )| ≤ 0.005,|n| ≥ 2,F ≥ 1.6.Графики функций KF и αF при F ≥ 1.6 показаны на рис. 3.3 и 3.4. Как и следовалоожидать, при F ≥ 3 допустимы приближения KF ≈ 1 и αF ≈ 0.1030.10−0.1−0.2−0.3−0.41.52F,2.5periods/frame33.5Рисунок 3.4 — Коэффициент фильтра первого порядка αF .Относительная точность приближенияCm (P ) ≈ |KF |2 |1 − αF zPm |2 ,zP = e2πiP,на луче F ≥ 1.6 составляет менее 0.01.В соответствии с утверждениями 1 и 3 теоремы 6 относительная погрешность прибли-жения всех величин Cm (P ) на луче F ≥ 1.6 меньше, чем 0.01. Отсюда11≈|gP (zPm )|2 ,Cm (P )|KF |2∞X1αFk z k .gP (z) ==1 − αF zk=0Заменим исходную функцию φ(P ) соответствующей аппроксимацией:1φ0 (P ),φ(P ) ≈|KF |23.3.2φ0 (P ) =P−1Xm=0|gP (zPm )ym |2 .Аппроксимация φ0 (P ) при помощи сглаживающей функцииВ этом разделе описывается способ приближения функции φ0 (P ), основанный на частичных суммах геометрической прогрессии gP (z).Введём обозначениеvP (t) = st wt2 gP (zPt ),−NN≤t≤− 1.22Лемма 12.

Пусть P — целое число, 1 ≤ P < N/2. Тогда1. Функция φ0 может быть вычислена по формуле[N/P ]φ0 (P ) = rP (0) + 2Xk=1rP (kP ),104где rP (t) — корреляционная функция сигнала vP (t), дополненного нулями при |t| ≥ N/2.2 N −12. Вектор (rP (k))Nk=−N есть обратное ДПФ от вектора (|QP (n)| )n=−N , гдеN/2−1XQP (n) =2πivP (t)e− 2N nt ,−N ≤ n ≤ N − 1.t=−N/2Доказательство. Доопределим величины set = st wt2 нулями при |t| ≥ N/2. По определе-нию величин ym и vP (t):gP (zPm )ym=∞X− 2πimPgP (e)esm+nP =n=−∞∞X− 2πi(m+nP )PgP (e)esm+nP =n=−∞∞XvP (m + nP ).n=−∞Отсюда2 P −1 ∞ ∞∞X X XXvP (m + nP )vP∗ (m + ℓP )vP (m + nP ) =φ0 (P ) =m=0 n=−∞m=0 n=−∞P−1 X=P−1Xℓ=−∞∞∞XXvP (m + nP )vP∗ (m + (n + k)P ) ==vP (t)vP∗ (t + kP )k=−∞ t=−∞m=0 n=−∞ k=−∞∞X∞∞XX[N/P ]rP (kP ) = rP (0) + 2k=−∞XrP (kP ),k=1так как функция rP чётная и rP (t) = 0 при t ≥ N.

Отсюда следует утверждение 1 леммы.Утверждение 2 леммы является стандартным выражением корреляционной функциичерез ДПФ вектора длины 2N.Таким образом задача быстрого расчёта φ(P ) сводится к быстрому расчёту QP привсех необходимых P .Сглаживающая функция QP (n)Введём обозначение для спектра речевого сигнала, умноженного на окно Ханнинга,N/2−1S(n) =X2πiwt st e− 2N tn ,t=−N/2−N ≤ n ≤ N − 1,и для нормированного ДПФ от произведения гармоники частоты f на окно ХаннингаBN (f ) =N/2−12πi2 Xwt e− 2N f t ,Nt=−N/2называемого «колокольчиком».f ∈ R,105Лемма 13.

Пусть 1 < P < N/2 и F = N/P — частота гармоники с периодом P . ТогдаN −1∞1X k XSm BN (n − m + 2kF ),αQP (n) =4 k=0 F m=−N−N ≤ n ≤ N − 1,где величины αF определены в теореме 6.Доказательство. Определим величиныN/2−1XGP (n) =2πiwt gP (zPt )e− 2N tn ,−N ≤ n ≤ N − 1.t=−N/2Обозначим at = wt st и bt = wt g(zPt ) при −N/2 ≤ t ≤ N/2 − 1.

Доопределим эти функциинулём при −N ≤ t < −N/2 и при N/2 ≤ t < N. Продолжим периодически функции at и btна множество всех целых чисел с периодом 2N. По свойству периодических функций ДПФна периоде от произведения равно круговой свёртке ДПФ:N/2−1XQP (n) =2πiat bt e− 2N tn =t=−N=12NN−1Xm=−N12NN−1XN−1Xm=−N2πiat e− 2N tmt=−N!N−1X2πibt e− 2N t(n−m)t=−N!S(m)GP (n − m)по определению S и GP .С другой стороны, по определению функции gP и из условия |αF |<1 следует, что∞gP (zPt )X2πi1==αFk e− N F kt .t1 − αF zPk=0ПоэтомуGP (n − m) ==∞XN/2−1αFkk=0N2∞Xk=0X− 2πit(n−m) − 2πiF kt2NNwt ee=∞Xk=0t=−N/2N/2−1αFkX2πiwt e− 2N t(n−m+2kF )t=−N/2αFk BN (n − m + 2kF ).Подстановка этого равенства в формулу для QP (n) приводит к утверждению леммы.Первый ряд в утверждении леммы 13 сходится, как геометрическая прогрессия, таккак |αF | ≤ 0.4 для F ≥ 1.6.

Быстрый алгоритм приближённого расчёта QP (n) при всех P иn основан на способе вычисления свёрткиN−1Xm=−NSm BN (n − m − 2kF ),106где (Sn ) — спектр входного сигнала, умноженного на окно.Разложение в ряд функции QP (n)Подставим разложение функции BN в выражение для QP (n):N −1∞1X k XQP (n) =αSm BN (n − m + 2kF ) =4 k=0 F m=−NN −1∞1X k X=Sm BN ([n − m + lkF ] + xkF ) =αF4m=−Nk=0=N −1∞∞X1X k XSmCn−m+lkF ,j xjkF .αF4 k=0j=0m=−NВведём обозначение для нормированной свёртки последовательностей S и C при фиксированном j:Dn,j =N −11 XSm Cn−m,j ,4 m=−Nn ∈ Z.Для каждого j это периодическая последовательность с периодом 2N.Пусть k ≥ 0 и округлим число 2kF до ближайшего целого числа:2kF = ℓkF + xkF ,|xkF | ≤ 0.5,ℓkF ∈ Z.Теорема 7.

Корреляционная функция последовательности vP (t) равнаrP (t) =∞ X∞XαFk αFmk=0 m=0∞ X∞Xi=0 j=0πixikF xjmF ρi,j (t,lmF − lkF ) e− N lkF tгде введено обозначение для обратного ДПФρi,j (t,τ ) =N −12πi1 XDn,j D n+τ,i e 2N tn .2N n=−NДоказательство. Значения Dn,j рассчитываются при помощи ДПФ. Пустьct,j =N−1X2πiCn,j e 2N tn .n=−NТогдаDn,jN/2−12πi1 Xwt st ct,j e− 2N tn .=4t=−N/2107В этих обозначенияхQP (n) =∞XαFkk=0∞XxjkF Dn+lkF ,j .j=0По определению, последовательность rP (k) есть обратное преобразование Фурье от |QP (n)|2 :2∞∞N −1 2πi1 X X k X jxkF Dn+lkF ,j e 2N in =αFrP (t) =2N n=−N k=0j=0=∞∞∞N −1 ∞XX2πi1 X X kX jximF D n+lmF ,i · e 2N tnαFmxkF Dn+lkF ,j ·αF2N n=−Ni=0m=0j=0k=0Введём обозначение:ρi,j (t,τ1 , τ2 ) =N −12πi1 XDn+τ1 ,j · D n+τ2 ,i · e 2N tn =2N n=−NN −12πi1 X=D(n+τ1 ),j · D (n+τ1 )+τ2 −τ1 ,i · e 2N tn =2N n=−N− 2πitτ12N=e2πiN −12πi1 XDn,j · D n+τ2 −τ1 ,i · e 2N tn =·2N n=−N= e− 2N tτ1 · ρi,j (t,τ2 − τ1 ),гдеρi,j (t,τ ) =N −12πi1 XDn,j D n+τ,i e 2N tn .2N n=−NВ этих обозначенияхrP (t) =∞ X∞XαFk αFmk=0 m=0∞ X∞Xi=0 j=0πixikF xjmF ρi,j (t,lmF − lkF ) e− N lkF t ,что приводит к заключению теоремы.Погрешность частичных суммВыпишем оценку для ρ:11||D·,i || · ||D·,j || = ||sw · c·,i || · ||sw · c·,j || ≤2N161 w 22N w 2≤ ||s || · ||c·,i || · ||c·,j || =||s || · ||C·,i || · ||C·,j ||.1616|ρi,j (t,τ )| ≤108Выпишем остаточный член и погрешность оценки:∞ Xδ = ≤∞Xk=K+1 m=K+1∞2N w 2 X16ks ki=J+1 j=J+1∞Xk=K+1 m=K+12N w 2=ks k16=αFk αFm∞∞XX∞Xk=K+1|αF |k2N w 2ks k MK,J (F )2 ,16гдеMK,J (F ) =∞Xk=K+1Таким образом,|αF |kxikF xjmF ρi,j (t,lmF − lkF ) e|αF |k |αF |m∞Xi=J+1∞Xi=J+1l t− πiN kF∞∞XXi=J+1 j=J+1|xkF |i kC·,i k|xkF |i kC·,i k =!|xkF |i |xmF |j kC·,i kkC·,j k∞Xm=K+1∞Xi=J+1|αF |mkC·,i k∞Xj=J+1∞Xk=K+1|xmF |j kC·,j k!!|αF |k |xkF |i .Лемма 14.|brP (t) − rP (t)| ≤2Nksw k2 (M0,016· M0,J + M0,J · M0,0 + M0,J · M0,J + M0,0 · MK,0+M0,0 · MK,J + M0,J · MK,0 + M0,J · MK,J + MK,0 · M0,0+MK,0 · M0,J + MK,J · M0,0 + MK,J · M0,J + MK,0 · MK,0+MK,0 · MK,J + MK,J · MK,0 + MK,J · MK,J )Для сокращения вычислений возможно использовать следующие свойства функцииρi,j (t,τ ):Лемма 15.

Пусть τ 6= 0, тогдаρi,j (t,τ ) = ρi,j (t, − τ ),где i и j одинаковой чётности, иρi,j (t,τ ) = −ρi,j (t, − τ ),где i и j различной чётности. При τ = 0 для любых i 6= j выполняетсяρi,j (t,0) = ρj,i (−t,0).Таким образом, аппроксимацией функции rP (t) является частичная сумма rbP (t). По-грешность рассчитывается по леммам 10, 14 и теореме 6. Коэффициенты C рассчитываютсяв соответствии с леммой 11. Сложность расчётов определяется количеством индексов j, длякоторых рассчитываются ДПФ D·,j .

Сложность пропорциональна N log N.1093.3.3Аппроксимация функции φ0 (P ) при помощи ряда ЛоранаВ этом разделе излагается более экономный способ аппроксимации функции φ0 (P ),основанный на разложении ряда Лорана.По определению, rP (τ ) есть корреляционная функция последовательности vP (t) =st wt2 gP (zPt ):N/2−1XrP (τ ) =N/2−1∗vP (t)vP (t + τ ) =t=−N/2X2st wt2 st+τ wt+τgP (zPt )gP (zPt+τ )∗ .t=−N/2По лемме 12 в вычислении значений φ0 (P ) участвуют величины rP (t) только при t = qP , вмоменты времени, кратные P .

Если τ = qP с целым q, то zPτ = 1, поэтомуgP (zPt )gP (zPt+τ )∗ = gP (zPt )gP (zPt )∗ = |gP (zPt )|2 =1,|1 − αF zPt |2τ = qP,и это выражение не зависит от τ . Его можно присоединить к сомножителю, зависящему отt, и далее аппроксимировать одну геометрическую прогрессию вместо двух.Введём обозначения для сигналовst = st wt2 ,eht = est |gP (t)|2 = st wt2 |gP (t)|2 ,и, соответственно, для их ДПФN/2−1Sen =Xt=−N/2N/2−1− 2πitn2Nset e,Hn =X2πiht e− 2N tn ,t=−N/2−N ≤ n ≤ N − 1.Поскольку ДПФ сохраняет скалярное произведение с точностью до множителя 2N, тоN −12πi1 X e∗rP (τ ) =Sn Hn e 2N τ n ,2N n=−Nτ = qP,|τ | < N.Если бы величины Sen и Hn не зависели от P , как это и есть в рассмотренном частном случае,то задача расчёта функции φ0 (P ) при всех P решается одним ДПФ по данной формуле.

Вобщем случае величины Sen действительно не зависят от P , а в Hn значение P входит только через |gP (zPt )|2 . Аппроксимируем эту функцию и найдём способ приближённого расчётапоследней суммы в частотной области.110Разложение геометрической прогрессииЛемма 16.1rP (τ ) =1 − αF2"где#N −1N−1∞XX2πi1 X e 2 2πi τ n1|Sn | e 2N + 2 ReSen∗ Gn,k e 2N τ n ,αFk2N n=−N2N n=−Nk=1N/2−1XGn,k =2πit=−N/2set zPkt e− 2N tn .Доказательство. На единичной окружности gP (z)∗ = gP (z −1 ). Разложим аналитическуюфункцию gP (z)gP (z −1 ) в ряд Лорана на единичной окружности:|gP (z)|2 =∞X11|k|αF z k .=(1 − αF z)(1 − αF z −1 )1 − αF2k=−∞ПоэтомуN/2−1∞X1|k|αF Gn,k ,Hn =21 − αF k=−∞Gn,k =Xt=−N/22πiset zPkt e− 2N tn .при −N ≤ n ≤ N − 1.

Характеристики

Список файлов диссертации