Диссертация (1149280), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Приведём эту сумму к общему знаменателю. Общий знаменатель равен2πi2πi2πi3πiD = (e− 2N f − 1)(e− 2N (f −2) − 1)(e− 2N (f +2) − 1) = e− 2N f i sinπ(f −2)π(f +2)πfsinsin.2N2N2N911.210.8B(f)0.60.40.20−0.2−8−6−4−20f2468Рисунок 3.1 — Предельный колокольчик B∞ .Для вычисления числителя введём обозначение x = −πf /N.
Числитель без множителяi sin(πf /2)/N равен2πi2πi2πi2πiM = −2(eix+ N − 1)(eix− N − 1) + (eix − 1)(eix− N − 1) + (eix − 1)(eix+ N − 1)2πi2πi2πi2πi= e2ix [−2 + e N + e− N ] + eix [−2 + e N + e− N ]−3πi3xπf2ππix= e 2 2 cos2 cos− 2 = −8e 2N f cossin2 .2N2NNПосле подстановки получаем, что1BN (f ) = i sinNπf2πfsin πfcos 2Nsin2 NπM12=−,DN sin πf sin π(f −2) sin π(f +2)2N2N2Nчто совпадает с заключением леммы.Предельный переход при N → ∞ и при фиксированном f выполняется тривиальнозаменой синуса на аргумент.График функции B∞ представлен на рис. 3.1.
Функция быстро убывает: |B∞ (f )| < 0.001при |f | > 5.6.Погрешность |BN (f )−B∞ (f )| быстро убывает с ростом N. При N = 128 максимум этойпогрешности на отрезке f ∈ [−6, 6] составляет менее 2 · 10−8 .3.2.2Точность предельного колокольчикаРассмотрим погрешность аппроксимации функции BN (f ) функцией B∞ (f ) на промежутке [0,N]. Введём обозначениеx=πf.2N92Эта переменная меняется на промежутке x ∈ [0, π/2].
В этих обозначенияхsin2 Nπcos x,sin(Nx)BN (f ) = −Nsin x sin x − Nπ sin x + Nπ8 sin(Nx)π21B∞ (f ) = −=−sin(Nx)2Nx(4N 2 x2 π −2 − 4)N3x x2 −Введём стандартную функциюsinc α =π2N2sin α.αТогда погрешность аппроксимации естьsinc2 Nπ cos xBN (f )BN (f ) − B∞ (f ) = B∞ (f ) 1 −= B∞ (f ) 1 −B∞ (f )sinc(x) sinc x − Nπ sinc x +ФункцияπN!.8 sin πf2B∞ (f ) = −2πf (f − 4)убывает, как f −3 при f → ∞. При малых f величина x = πf /(2N) мала, поэтому маловыражение в скобках.В следующем вспомогательном утверждении доказана оценка сверху для функции1/ sinc.Лемма 9. На отрезке x ∈ [−π, π] функцию 1/ sinc(x) можно приблизить следующим обра-зом:x21=1++ δ(x),sinc(x)613x41 20 ≤ δ(x) ≤+x .sinc(x) 360 840Доказательство. Функция sinc чётная, поэтому ограничимся промежутком x ∈ [0, π].Из разложения синуса в ряд следует, чтоsinc(x) =∞X(−1)kx2x2k = 1 −+···(2k + 1)!6k=0Ряд Маклорена для 1/ sinc(x) начинается с 1 + x2 /6:x21=1++ δ(x)sinc(x)6с погрешностью1− 1+"# ∞1x2 X (−1)k x2kx4δ(x) ==+ 1+sinc(x)sinc(x) 366 k=2 (2k + 1)!"#∞Xx41111=.++(−1)m x2m−sinc(x) 36 120 m=1(2m + 5)! 6(2m + 3)!x26sinc(x)93В последнем выражении числовой ряд знакопеременный с монотонно убывающими по модулю членами.
Поэтому его сумма оценивается сверху первым членом:1x4131111 2x42=++x−+x ,0 ≤ δ(x) ≤sinc(x) 36 1206 · 5! 7!sinc(x) 360 840что совпадает с заключением леммы.При помощи леммы 9 в следующем утверждении получена оценка сверху для отклонения BN (x)/B∞ (x) − 1.Лемма 10. Пусть |x| ≤ π/2 и N ≥ 8. Тогдагдеsinc2 Nπ cos x sinc(x) sinc x − Nπ sinc x + δ (x) + δ (x) + δ (x)αcγ,−1≤π1−δ(x)γN13 4 13 2 π 213 π 41 61 π61 2 π2δγ (x) =x + x 2++x++x12030 N180 N 4 280420 N 6 28 N 221 2 1 π2π21 41 π41 22δα (x) =x ++ x ++x x − 2 ,23 N 2 1236 N 4 216N2x 1π.δc (x) = 2 sin2 +2 3 N2π22x + 2 ,NДоказательство. Определимππsinc x +.D(x) = sinc(x) sinc x −NNТребуется оценить сверху величину∆(x) = |D(x)−1 sinc2πcos x − 1|.NВ соответствии с леммой 9 введём обозначения для главных частей и остатка множителей, входящих в D(x)−1 :sinc(x)−1 = s1 (x) = α1 (x) + δ1 (x),π −1sinc x −= s2 (x) = α2 (x) + δ2 (x),Nπ −1= s3 (x) = α3 (x) + δ3 (x),sinc x +Nx2,62x − Nπ,α2 (x) = 1 +62x + Nπα3 (x) = 1 +.6α1 (x) = 1 +94В соответствии с утверждением леммы 9 погрешности оцениваются следующим образом:δ1 (x) = s1 (x)γ1 (x),δ2 (x) = s2 (x)γ2 (x),δ3 (x) = s3 (x)γ3 (x),131 20 ≤ γ1 (x) ≤ β1 (x) = x+x ,360 840π 21 π 4 13x−,+0 ≤ γ2 (x) ≤ β2 (x) = x −N360 840Nπ 4 13π 21 0 ≤ γ3 (x) ≤ β3 (x) = x +x+.+N360 840N4Главной частью в sj (x) в соответствии с леммой 9 являетсяαj (x) = (1 − γj (x))sj (x),1 ≤ j ≤ 3.Умножим эти равенства и подставим D(x)−1 = s1 (x)s2 (x)s3 (x).
Для краткости далее опустимаргумент x.α1 α2 α3 = (1 − γ1 )(1 − γ2 )(1 − γ3 )D −1 .ОтсюдаD −1 =α1 α2 α3.(1 − γ1 )(1 − γ2 )(1 − γ3 )Подставим это выражение в формулу для ∆:α1 (x)α2 (x)α3 (x) sinc2 Nπ cos x − (1 − γ1 (x))(1 − γ2 (x))(1 − γ3 (x))∆(x) =(1 − γ1 (x))(1 − γ2 (x))(1 − γ3 (x))ρα (x) + ρc (x) + ργ (x)≤,1 − ργ (x)где введены обозначенияπcos x|α1 (x)α2 (x)α3 (x) − 1|,Nπρc (x) = 1 − sinc2 cos x,Nργ (x) = 1 − (1 − γ1 (x))(1 − γ2 (x))(1 − γ3 (x)).ρα (x) = sinc295Оценим сверху данные функции.
Поскольку | sinc(π/N)| < 1 и | cos x| ≤ 1, тоρα (x) ≤===2 !2 !x − Nπx + Nπx21+1+−11+66621π 2 1 2 2π2π 22x + x−+x x − 2+ x+6NN216N" #22 221πππ+x−x2+ x2 − 2+ x+36NNN2π2π41π21 2 21243x + 2 2 +3x + 4x x − 2+6N216N36N22241 2 1ππ1 41 π1 22x−x ++x++x= δα (x).23 N 2 1236 N 4 216N2Для оценки сверху ρc (x) потребуется неравенство sinc2 (π/N) ≤ 1, а такжеX (−1)k+1 π 2k 1 π 2π=,≤2N(2k+1)!N6Nk=1∞1 − sincтак как числовой ряд знакопеременный, а модули его членов монотонно убывают. В этомслучае сумма ряда оценивается сверху его первым членом. Отсюдаπππcos x ≤ (1 − cos x) sinc2+ 1 − sinc2NNNπxπ1 π2x1 − sinc≤ 2 sin2 += δc (x).≤ 2 sin2 + 1 + sinc2NN2 3 N2ρc (x) ≤ 1 − sinc2Для оценки величины ργ (x) заметим, что 0 < βj (x) < 1 при |x| ≤ π/2 и j = 1, 2, 3.Поэтому ργ > 0 иργ = 1 − (1 − γ1 )(1 − γ2 )(1 − γ3 ) ≤ 1 − (1 − β1 )(1 − β2 )(1 − β3 )= β1 + (1 − β1 )(β2 + β3 − β2 β3 ) ≤ β1 + β2 + β3 .Величина β1 подставляется по определению, а оставшуюся сумму можно упростить:22π61π213π442 π622 πx + 6x 2 + 4 +x + 6 + 15x 2 x + 2.β2 + β3 =180NN420NNNОтсюда13 4 13 2 π 213 π 41 61 π61 2 π2ργ (x) ≤x + x 2++x++x12030 N180 N 4 280420 N 6 28 N 2π22x + 2 = δγ (x).NФункция δγ (x) возрастает на отрезке [0, π/2] и убывает по N.
Её максимум достигается приN = 8 и x = π/2. Непосредственные вычисления показывают, что при этих значениях δmax ≈960.92 < 1, и поэтому знаменатель в формуле из утверждения леммы всегда положительный.3.2.3Полиномиальная аппроксимацияПредположим, что для каждого целого m на отрезке [m − 1/2, m + 1/2] функцию BNудалось разложить в быстро сходящихся ряд по одной и той же системе функций, заданнойна отрезке x ∈ [−0.5, 0.5]. Ввиду гладкости функции BN такой системой функций могут бытьмногочлены:BN (x + m) =∞XCm,j xj ,x ∈ [−0.5, 0.5],j=0m ∈ Z.При каждом j последовательность Cm,j имеет период 2N.
Практически можно считать, чтоCm,j ≈ 0, начиная уже с небольших |m| < N/2.Разложим в ряд предельный колокольчик. Представим sin πxи cos πxв виде рядов:22 π 2n+1 (−1)nπx X sin nsin=Cn x , где C2n+1=,22(2n+1)!n=0∞sin∞πx X cos ncos=Cn x где C2n+1= 0,cos2n=0Лемма 11. ПустьB∞ (f ) = −cosC2n=sinC2n= 0. π 2n (−1)n.2(2n)!8 sin πf2πf (f 2 − 4)и f = m + x, где m — целое, |x| ≤ 0.5, тогда:B∞ (x + m) =∞XCm,n xn ,n=0гдеC2m,k =kXl=0C2m+1,k =kXl=0b2m,k−l ,Clsin · Cb2m+1,k−l ,Clcos · C21(−1)n+m+11b− n+1 ++,C2m,n =π(2m − 2)n+1 (2m + 2)n+12m211(−1)n+m+1b−++.C2m+1,n =π(2m + 1)n+1 (2m + 1 − 2)n+1 (2m + 1 + 2)n+197В особых точкахkC0,kX2 sinb0,k−l ,+Clsin · C= Ck+1πl=0kC2,kX1 sinb2,k−l ,+Clsin · C= Ck+1πl=0kC−2,kX1 sinb−2,k−l .= Ck+1+Clsin · Cπl=0Доказательство.
Разложим B∞ (f ) на простейшие дроби:1πfB∞ (f ) = − sinπ2211− ++ff −2 f +2Пусть f = m + x, где m — целое, |x| ≤ 0.5, тогдаπ(x + m)1B∞ (x + m) = − sinπ2211−++x+m x+m−2 x+m+2Для начала рассмотрим случай, когда m 6= [−2,0,2]. Т.к. |x| ≤ 0.5, то∞X1=(−1)n (m − 2)−n−1 xnx + m − 2 n=0∞X1=(−1)n (m + 2)−n−1xnx + m + 2 n=0∞Таким образом,X1=(−1)n (m)−n−1 xnx + m n=0B∞ (x + m) =∞12π(x + m) X11n= − sin(−1) − n+1 ++xn =n+1n+1π2m(m−2)(m+2)n=0∞1πxπmπxπm X211n=−sincos+ cossin+xn(−1) − n+1 +n+1n+1π2222 n=0m(m − 2)(m + 2)или∞πx X bC2m,n xnB∞ (x + 2m) = sin2 n=0∞πx X bB∞ (x + 2m + 1) = cosC2m+1,n xn2 n=098гдеn+m+11(−1)21b2m,n =C− n+1 +,+π(2m − 2)n+1 (2m + 2)n+12m211(−1)n+m+1b−.++C2m+1,n =π(2m + 1)n+1 (2m + 1 − 2)n+1 (2m + 1 + 2)n+1Согласно правилу произведения Коши для степенных рядов:B∞ (x + 2m) =∞XCnsin xnn=0·∞Xn=0гдеC2m,k =kXl=0Аналогично,B∞ (x + 2m + 1) =∞XCncos xnn=0C2m+1,k =l=0∞XC2m,k xkk=0b2m,k−l .Clsin · C·∞Xn=0гдеkXb2m,n xn =Cb2m+1,n xn =C∞XC2m+1,k xkk=0b2m+1,k−l .Clcos · CТеперь рассмотрим случай m = [−2, 0, 2].Положим m = 0:12πx11B∞ (x) = − sin− +=+π2x x−2 x+2 !∞πx 2 −1 X (−1)n+111n= sin=x +n+1 + n+1 x2 ππ2−2n=0∞∞∞2 −1 X sin n X sin n X b= xCn x +Cn x ·C0,n xn =πn=0n=0n=0∞∞∞X2 sin n X sin n X b=Cn+1 x +Cn x ·C0,n xn =πn=0n=0n=0=∞XC0,k xkk=0гдеkC0,kX2 sinb0,k−l+Clsin · C= Ck+1πl=099Положим m = 2: !∞1 −1 X (−1)n −21x ++ n+1 xn =n+1ππ24n=0πxB∞ (x + 2) = sin2==∞∞∞1 −1 X sin n X sin n X bCn x +Cn x ·C2,n xn =xπn=0n=0n=0∞XC2,k xkk=0гдеkC2,kX1 sinb2,k−l= Ck+1Clsin · C+πl=0Положим m = −2:πxB∞ (x − 2) = sin2== !∞−21 −1 X (−1)n1x +xn =n+1 +n+1ππ−4−2n=0∞∞∞1 −1 X sin n X sin n X bxCn x +Cn x ·C−2,n xn =πn=0n=0n=0∞XC−2,k xkk=0гдеkC−2,k =3.3X1 sinb−2,k−lClsin · CCk+1 +πl=0Аппроксимация функции φ(P )В общем случае, когда количество F периодов сигнала в окне меньше трёх, приближение Cm ≈ 1 некорректно.
Однако преобразование из частного случая в разделе 3.1.2 можнопровести приближённо, если представить знаменатель и числитель в виде быстро сходящихсярядов.1003.3.1Факторизация знаменателяС длиной окна N и периодом P свяжем частоту F = N/P , выражающую количествопериодов на окно. В дальнейшем переменные P и F всегда связаны уравнением P F = N.Показатель качества φ(P ) должен быть рассчитан только для F ≥ 1.6.Введём вспомогательную функцию η(t) = cos4 (t/2) на промежутке |t| ≤ π, продолжен-ную нулём вне интервала [−π, π], а также её обратное преобразование Фурье1ηb(x) =2πZ∞η(t) eitx dt,x ∈ R,−∞и нормированную функцию ηb0 (x) = 83 ηb(x).Теорема 6.
1. При всех F > 0Cm (P ) = dP (zPm ),zP = e−2πiP,0 ≤ m ≤ P − 1,где функция dP определяется рядом ЛоранаdP (z) =∞Xn=−∞ηb0 (nF )z n ,2. Функция ηb0 (x) представима в видеηb0 (x) =4 sin(πx),− 1)(x2 − 4)πx(x2x 6= 0,|z| = 1.x 6= ±1,x 6= ±2,со значениями в особых точкахηb0 (0) = 1,2ηb0 (±1) = ,31ηb0 (±2) = .6Это непрерывная функция и ηb0 (x) = O(x−5 ) при x → ∞.3. Для любого F ≥ 1.6 функция dP (z) приближается следующим образом:гдеdP (z) − |KF |2 |1 − αF z|2 ≤ 0.01,p1 p1 + 2bη0 (F ) + 1 − 2bη0 (F ) ,KF =2|z| = 1,αF = −ηb0 (F ).KF2Доказательство. 1. По определению функции η квадрат окна Ханнинга на промежутке[N/2, N/2 − 1] равенwt2=η2π tF P,−NN≤t≤− 1,22101а коэффициенты Cm (P ) по их определению записываются в виде∞8 X2π2πCm (P ) =ηm+k .3F k=−∞NFВыразим эти коэффициенты через обратное преобразование Фурье от η(t).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
