Диссертация (1149274), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Из априорной оценки (1.21) и неравенства 1 < | |−10 выводим‖ (·,,) ‖01 (Ω(), ) ≤ () ‖ (·, ) ‖2 (Ω()) ≤ () ‖ (·, ) ‖ℛ1− ( ) .Отсюда следует (1.111). Далее, поскольку срезку в разложении (1.13) можно выбиратьпроизвольным образом, мы считаем, что диаметр носителя supp достаточно мал, чтобыsupp ⊂ () при | | > 0 . Это значит, что при | | > 0 в области Ω() верны тождества( −) (·, ) = ˜(·, ) ( = 0,.., − 1). Поэтому из оценки (1.96) и неравенства 1 < | |−1047следует, что‖ (·, ) ‖01 (Ω(), ) ≤ () ‖ ˜( −) (·, ) ‖− +1 ( ) ≤ () | | ( −3/2)+9/2 ‖ (·, ) ‖ℛ1− ( ) .(1.113)Положим (, )−1= ( , ). Рассуждая так же, как при выводе неравенства (1.53), получаем‖ (·, ) ‖01 (Ω(), ) ≤ − | | − ‖ (·, ) ‖ 23/2−(R3 ∖()).Отсюда и из (1.104 ), (1.105)‖ (·, ) ‖01 (Ω(), ) ≤ − | | − ( ) ≤ () − | | ( −1/2)+1 ‖ (·, ) ‖ℛ1− ( ) . (1.114)Суммирование неравенств (1.113), (1.114) по = 0,.., − 1 дает оценку (1.112).Следствием предложений 1.3.5 и 1.3.6 являетсяПредложение 1.3.7. Пусть (·, ) ∈ ℛ1− ( ) при всех ∈ R.
Тогда при ∈ R и ∈ (0,1/2]справедлива оценка‖ ˜ (·,,) ‖01 (Ω(), ) ≤ () − | | ( −1/2)+9/2 ‖ (·, ) ‖ℛ1− ( ) .Постоянная в оценке (1.115) не зависит от и .1.3.4Асимптотическое разложение решения задачи (1.1)Положим() = F−1 → , = F−1 → ,()()()()˜ = F−1 → ,()()−1−1 = F−1 → 0 , = F → , = F → .Функция является решением задачи∑︀()(2 − △ ) (,) = [△ ,] ||− − (̂︀,)=1∑︀()+ 2 ()||− − (̂︀,), (,) ∈ (Ω∖{0}) × R;=1,2 (,) = 0, (,) ∈ Ω × R,а функция (·,) - решением задачи(3)˜ −2 (,),−△ 0 (,) = − ∈ R3 ∖;∑︀()0 (,) = −|| − (̂︀,), ∈ .=0(1.115)48−1˜Положим −1 = F−1˜ , тогда → −1 и = F → −1∑︁(︀)︀ (,) + () (−1 ,) ;(1.116) (,,) = −1 (,,) + ˜ (,,).(1.117) −1 (,,) ==0Предложение 1.3.7 приводит к утверждениюПредложение 1.3.8.
Решение задачи (1.1) с правой частью, удовлетворяющей условию‖ P ( −1/2)+9/2 ‖RV1− () < +∞,допускает разложение (1.116),(1.117) с остатком ˜ (,,), таким, что при всех ∈ (0,1/2]‖ ˜ (·, · ,) ‖V10 (Ω()×R,) = ( − ).Из предложения 1.3.8 следует теорема 1.1.3.1.4Волновое уравнение в области со сглаженной коническойточкойПусть Ξ- ограниченная область в R3 , граница Ξ которой содержит коническую точку (начало координат); вне этой точки граница гладкая. Более точно, в окрестности точки областьΞ совпадает с открытым конусом K, вырезающим на сфере 2 область с гладкой границей.Пусть ещё Λ ⊂ K - область с гладкой границей, совпадающая в окрестности бесконечности с K,и Γ = Λ∖K.
Положим Λ() = { ∈ R3 : −1 ∈ Λ} и Γ() = { ∈ R3 : −1 ∈ Γ}. В областиΞ() = Ξ∖(K∖Λ()) рассмотрим задачу(2 − △ ) (,,) = (,), ∈ Ξ(), ∈ R, (,,) = 0, ∈ Ξ(), ∈ R.(1.118)Будем искать главный член асимптотики решения задачи (1.118) при → 0. После комплексногопреобразования Фурье F→ формулы (1.118) принимают вид−(△ + 2 )(,,) = (, ), ∈ Ξ(),(,,) = 0, ∈ Ξ().(1.119)491.4.1Асимптотика решения задачи (1.119) при → 0Предельным переходом при → 0 в (1.119) получается первая предельная задача−(△ + 2 )0 (, ) = (, ), ∈ Ξ;(1.120)0 (, ) = 0, ∈ Ξ.Решение 0 (·, ) удовлетворяет уравнению и граничным условиям на Ξ()∖Γ() задачи (1.119).Для описания поведения функции 0 (·, )|Γ() при → 0 нужна информация о асимптотике решения 0 (·, ) вблизи конической точки .Обозначим через △ неотрицательный оператор Лапласа-Бельтрами, заданный на функцияхиз 2 (), удовлетворяющих условию | = 0. В области введем операторный пучокC ∋ → U() = ||2− △ || = ( + 1) − △ .Лемма 1.4.1.
Спектр пучка U состоит из нормальных собственных значений± = (/2){1 ∓ (1 + 4 )1/2 }, = 1,2,...,(1.121)где (0 < 1 < 2 ≤ 3 ≤ . . . ) - последовательность всех собственных чисел оператора △ .Числам ± отвечают собственные функции Φ пучка U.
Присоединенных функций нет.Пусть 1 > 2 > ... - все такие числа, что каждая из прямых Im = − 1/2 содержит хотябы одно собственное число ( ≥ 1) пучка U. Из формулы (1.121) следует, что 1 < 1. Как ираньше, положим(︁‖2 2 (Ξ, )2‖2 1 (Ξ, ))︁1/2‖ ‖ ( ) = ‖ + ‖ ,(︁)︁1/2(︀)︀‖ ‖ℛ ( ) = ‖ ‖2 0 (Ξ) + 1 + −2 | |2(1−) ‖ ‖22 (Ξ),здесь - срезка, введенная перед Предложением 1.1.1.Предложение 1.4.2 (см.
[10], теорема 6.4 и §7). Пусть ≥ 0 , где 0 - достаточно большоеположительное число.1. Если (·, ) ∈ 2 (Ξ), то задача (1.5) имеет единственное решение в классе 01 (Ξ, ).Справедлива оценка‖ 0 (·, ) ‖01 (Ξ, ) ≤ −1 ‖ (·, ) ‖2 (Ξ) .(1.122)2. Если (·, ) ∈ 0 (Ξ), где ∈ (2 ,1 ), то решение 0 (·, ) задачи (1.120) допускает представление0 (, ) = ()1 ( )Φ1 (̂︀)||1 + ˜0 (, ).(1.123)50Коэффициент 1 ( ) является линейным функционалом над правой частью (·, ), причем|1 ( )| ≤ () ‖ (·, ) ‖ℛ ( ) | |Im−1 +−3/2 .(1.124)Остаток ˜0 (·, ) подчиняется оценке‖ ˜0 (·, ) ‖ ( ) ≤ () ‖ (·, ) ‖ℛ ( ) | |.(1.125)Постоянные в оценках (1.124), (1.125) не зависят от .Пусть 0 > 0 - столь малое число, что при | | ≤ 0 срезающая функция равна единицена Γ().
При | | ≤ 0 формула (1.123) приводит к соотношению0 (, ), ∈ Γ();0 (, ) = 1 ( )Φ1 (̂︀)(||)1 + ()˜(1.126)здесь = −1 , ()() = (). Остаток ˜0 (·, ) при | | ≤ 0 и ∈ (2 ,1 ) подчиняетсянеравенству‖ ()˜0 (·, ) ‖ 3/2 (Γ) ≤ 1/2− ‖ 0 (·, ) ‖ ( ) ,(1.127)которое выводится так же, как оценка (1.38). Главный член невязки 1 ( )Φ1 (̂︀)(||)1 на Γ()компенсируется при помощи убывающего на бесконечности решения 0 (·, ) второй предельнойзадачи−△ 0 (, ) = 0, ∈ Λ; ∈ Λ∖Γ;0 (, ) = 0,10 (, ) = −1 ( )Φ1 (̂︀)||(1.128), ∈ Γ.Пусть −1 < −2 < ...
- все такие числа, что каждая из прямых Im = − − 1/2 содержитхотя бы одно собственное число − ( ≥ 1) пучка U. Из формулы (1.121) следует, что −1 > 1.Однозначная разрешимость задачи (1.128) вытекает из следующего утверждения.Предложение 1.4.3 (см. [19], 1 , пример 2, [7], теорема 2.3.1).
Пусть ∈ 3/2 (Λ) и = 0 наΛ∖Γ. Задача−△ = 0, в Λ; = на Λимеет единственное решение из пространства 12 (Λ), причем при 1 < ′ < −1 справедливаоценка‖ ‖ 2′ (Λ) ≤ ( ′ ) ‖ ‖ 3/2 (Λ) .Из предложения 1.4.3 следует, что‖ 0 (·, ) ‖ 2′ (Λ) ≤ ( ′ )|1 ( )|.(1.129)51Мы ищем асимптотику решения задачи (1.119) в виде(,,) = 0 (,,) + ˜1 (,,),(1.130)0 (,,) = 0 (, ) + ()1 0 (−1 , ).(1.131)гдеПри | | ≤ 0 остаток ˜1 (·,,) является решением задачи−(△ + 2 )˜1 (,,) = 1 { 2 () + [△ ,]}0 (−1 , ), ∈ Ω(),˜1 (,,) = −˜0 (, ), ∈ Γ().(1.132)˜1 (,,) = 0, ∈ Ω()∖Γ(),Следующее утверждение доставляет априорную оценку решений задач (1.119) и (1.132). Онодоказывается так же, как предложение 1.2.1.Предложение 1.4.4.
Пусть ≥ 0 (0 - то же самое, что в Предложении 1.4.2).I. Пусть = − , ∈ R и ∈ 2 (Ω()). Решение ∈ 1 (Ω()) задачи−(△ + 2 ) = в Ω(), = 0 на ∈ Ω(),подчиняется оценке‖ ‖01 (Ω(), ) ≤ −2 ‖ ‖2 (Ω()) ,(1.133)Ппостоянная () в (1.133) не зависит от , и .II. Пусть = − , ∈ R, | | ≤ 0 , где 0 введено перед формулой (1.126); пусть также ∈ 2 (Ω()) и ∈ 3/2 (Ω()), = 0 на Ω()∖Γ(). Решение ∈ 1 (Ω()) задачи−(△ + 2 ) = в Ω(), = на ∈ Ω(),удовлетворяет неравенству(︀)︀‖ ‖01 (Ω(), ) ≤ () ‖ ‖2 (Ω()) +1/2 | | ‖ () ‖ 3/2 (Λ) .(1.134)Здесь ()() = (); функция () продолжена нулем на Λ∖Γ. Постоянная () в (1.134)не зависит от и .В следующем утверждении выводится равномерная по оценка остатка разложения (1.130).Предложение 1.4.5.
Пусть ≥ 0 и ∈ (2 ,1 ), ′ ∈ [1, min{2,−1 }).(1.135)52Положим = min{1 − , ′ − 1 }, = max{2, + −1 − 1}.(1.136)Пусть (·, ) ∈ ℛ ( ), при всех ∈ R. Тогда при всех ∈ R справедлива оценка‖ ˜1 (·,,) ‖01 (Ω(), ) ≤ () | | ‖ (·, ) ‖ℛ ( ) .(1.137)Постоянная () в (1.137) не зависит от .Доказательство. Пусть | | ≤ 0 . Из (1.127) и оценки (1.125) следует неравенство‖ ()˜1 (·,,) ‖ 3/2 (Λ) ≤ ()1/2− ‖ (·, ) ‖ℛ ( ) | |.(1.138)При ′ ∈ [1,2] справедливы неравенства′‖ [△ ,] −1 ()0 (·, ) ‖2 (Ω()) ≤ −1/2 ‖ 0 (·, ) ‖ 2′ (Λ) ;‖ −1()0 (·, ) ‖2 (Ω()) ≤ ′ −1/2‖ 0 (·, ) ‖ 2′ (Λ) ,(1.139)которые выводятся так же, как формулы (1.41), (1.42).
Вместе с оценкой (1.129) это дает′′‖ (△ + 2 )˜1 (·,,) ‖2 (Ω()) ≤ −1/2+1 ‖ 0 (·, ) ‖ 2′ (Λ) ≤ −1 |1 ( )|.Отсюда и из (1.124) следует, что′‖ (△ + 2 )˜1 (·,,) ‖2 (Ω()) ≤ () −1 | |+−1 −2 ‖ (·, ) ‖ℛ ( ) .(1.140)Мажорируя при помощи (1.138), (1.140) правую часть априорной оценки (1.134) для функции˜1 (·,,), получаем‖ ‖01 (Ω(), ) ≤ () | |max{2,+−1 −2} ‖ (·, ) ‖ℛ ( ) .(1.141)Пусть теперь | | ≥ 0 .
Из оценки (1.133) для функции (·,,) выводим‖ (·,,) ‖01 (Ω(), ) ≤ () ‖ (·, ) ‖ℛ ( ) | |−1 ≤ () ‖ (·, ) ‖ℛ ( ) .(1.142)Аналогично, оценка (1.122) приводит к неравенству‖ 0 (·, ) ‖01 (Ω(), ) ≤ () ‖ (·, ) ‖ℛ ( ) .(1.143)53Положим 0 (, ) = 0 (−1 , ). При ′ ∈ [1,2] справедливо неравенство‖ ∇ (·, ) ‖2 (Ω()) ≤ 1/2 ‖ 0 (·, ) ‖ 2′ (Λ) ,которое доказывается так же, как оценка (1.43). Вместе с формулой (1.139) и очевидным неравенством−10 (Ω()) ≤ ‖ (·, ) ‖−1‖ (·, ) ‖2 (Ω()) ,это дает′‖ (·, ) ‖01 (Ω(), ) ≤ −1/2 | | ‖ 0 (·, ) ‖ 2′ (Λ) .(1.144)Мажорируя правую часть (1.144) при помощи формул (1.129) и (1.124), получаем′1 ‖ (·, ) ‖01 (Ω(), ) ≤ () −1 | |−1 +−1 ‖ (·, ) ‖ℛ ( ) .С учетом (1.143) отсюда имеем‖ 0 (·,,) ‖01 (Ω(), ) ≤ () | | ‖ (·, ) ‖ℛ ( ) .(1.145)Из (1.141), (1.142), (1.145) следует неравенство (1.137).1.4.2Асимптотика решения задачи (1.118) при → 0Положим−1−10 = F−1 → 0 , 0 = F → 0 , 1 = F → 1 .Функция 0 является решением задачи(2 − △ )0 (,) = (,), (,) ∈ Ξ × R;0 (,) = 0, (,) ∈ Ξ × R,а функция 0 (·,) - решением задачи− △ 0 (,) = 0, ∈ Λ;0 (,) = −1 ()Φ1 (̂︀)||1 , ∈ Γ.−1˜Положим 0 = F−1˜1 ; формулы (1.130), (1.131) после обратного преобразования → 0 и 1 = F → Фурье F−1 → принимают вид (,,) = 0 (,,) + ˜1 (,,)(1.146)0 (,,) = 0 (,) + 1 ()0 (−1 ,).(1.147)Введем норму ‖ · ‖RV () формулой (1.57), в которой Ω заменено на Ξ.
Тогда эквивалентностинорм (1.58) остаются в силе. Предложение 1.2.3 приводит к утверждению54Предложение 1.4.6. Пусть ≥ 0 , и выполнены соотношения (1.135), (1.136). Решение (·, · ,)задачи (1.118) с правой частью, подчиненной условию‖ P 0 ‖RV () < ∞,допускает разложение (1.146),(1.147) с остатком ˜1 (·, · ,), удовлетворяющим оценке‖ ˜1 (·, · ,) ‖V10 (Ω()×R,) = ( ).Предложение 1.4.6 приводит к Теореме 1.1.4 .55Глава 2Асимптотика решений стационарнойсистемы МаксвеллаВ этой главе рассматривается стационарная система Максвелла в ограниченной областиΩ() ⊂ R3 с малой полостью () диаметра .
При → 0 полость стягивается в начало координат. На границе Ω() заданы условия идеальной проводимости. Система Максвелла является переопределенной, для существования решения необходимы условия совместности. Поэтомудля ее исследования применяется расширение оператора Максвелла до оператора эллиптическойкраевой задачи. Для описания асимптотики решений расширенной задачи при → 0 применяется метод составных асимптотических разложений, асимптотика составляется из решений предельных задач, не зависящих от .
Одной из предельных задач оказывается задача в ограниченной области Ω = Ω() ∪ (), другой - задача во внешности полости фиксированного диаметра.Предельные задачи исследуются в разделах 2.3 и 2.4, асимптотики их решений в окрестностях начала координат и бесконечности описываются с помощью операторного пучка, свойствакоторого изучаются в разделе 2.2. Главный член асимптотики решения расширенной системыМаксвелла в Ω() описывается в разделе 2.5, а асимптотический ряд - в разделе 2.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
