Диссертация (1149274), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Наличие срезки в формуле (1.7) не принципиально, но упрощаетрассуждения. Заменяя (·,,) на (·,,) − 0 (·,,) и повторяя процедуру, мы строим второйчлен асимптотики и т.д. В результате получается асимптотическое разложение (·,,) при → 0в форме∞∑︁=0(︀)︀ (, ) + () (−1 , ) .(1.8)23Это разложение является двухмасштабным: оно составлено из функций, которые зависят либоот "медленной"переменной , либо от "быстрой"переменной = −1 . Функции (·, ) являются решениями первых предельных, а функции (·, ) - вторых предельных задач.
Формальноасимптотика решения (·, · ,) при → 0 получается обратным преобразованием Фурье F−1 → изформул (1.7), (1.8). Однако для обоснования асимптотики необходимы равномерные по оценки остатка в асимптотике функции (·,,). Для этого требуется, чтобы асимптотики решений → (, ), → (, ) предельных задач при || → 0 и → ∞ были равномерными по .Оператор второй предельной задачи не зависит от и является эллиптическим. В отличие отвторой предельной задачи, оператор первой предельной задачи существенно зависит от : он неявляется эллиптическим с учетом параметра (в смысле Аграновича-Вишика, см.
[17]). Метод,пригодный для описания равномерной по асимптотики решения 0 (·, ) первой предельнойзадачи, развит в работе [10] при исследовании волнового уравнения в областях с коническимиточками и ребрами на границе. Результаты работы [10] применяются для вывода асимптотики решения 0 (·, ) при → 0; в этом случае начало координат рассматривается, как вершина конусаполного раствора. Для формулировки теоремы об асимптотике введем специальные функциональные пространства. Пусть ⊂ R3 - область, - неотрицательное целое число и ∈ R. Через () и (, ) обозначаются пространства с нормами⎞1/2⎛‖ ‖ () = ⎝∑︁ ∫︁(||+||− | ()|)2 ⎠⎞1/2⎛, ‖ ‖ (, ) = ⎝∑︁||≤ | |2(−) ‖ ‖2 () ⎠.(1.9)≤Введем пространство ( ) как пополнение ∞ (Ω∖{0}) по норме(︁)︁1/2‖ ‖ ( ) = ‖ ‖2 2 (Ω, ) + 2 ‖ ‖2 1 (Ω, ),(1.10)где () = (| |). Если носитель функции ∈ ( ) лежит во внутренности supp , тонорма (1.10) эквивалентна ‖ ‖2 (Ω) .
Однако если носитель лежит в Ω∖supp , то норма (1.10)эквивалентна ‖ ‖ 1 (Ω) . В этом смысле ( ) представляет собой пространство функцийпеременной гладкости. Введем еще пространство ℛ ( ) с нормой‖ ‖ℛ ( ) =(︁‖‖2 0 (Ω)+−22(1−)| |‖‖22 (Ω))︁1/2.(1.11)Предложение 1.1.1 (см. [10]). Пусть ≥ 0 , где 0 > 0 - достаточно большое число. При (·, ) ∈ 2 (Ω) существует единственное решение 0 (·, ) ∈ 1 (Ω) задачи (1.5) и справедливонеравенство‖ 0 (·, ) ‖01 (Ω, ) ≤ −1 ‖ (·, ) ‖2 (Ω) .(1.12)240Если (·, ) ∈ 1−(Ω), где ∈ Z+ , то для 0 (·, ) справедливо представление0 (, ) = ()−1∑︁()( )0 (̂︀, )|| + ˜0 (, ),(1.13)=0( )с остатком ˜0 (·, ), подчиненным оценке( )‖ ˜0 (·, ) ‖1− ( ) ≤ ‖ (·, ) ‖ℛ1− ( ) −1 | |.(1.14)()Коэффициенты 0 (·, ) являются гладкими функциями переменной ̂︀ = ||−1 на единичной(0)сфере 2 , однозначно определяемыми правой частью (·, ).
Коэффициент 0 (̂︀, ) не зависитот ̂︀ и совпадает с 0 (0, ). Справедливы неравенства()‖ 0 (·, ) ‖ 2 ( 2 ) ≤ ‖ (·, ) ‖ℛ1− ( ) | |1/2+− .(1.15)Постоянные в оценках (1.12), (1.14), (1.15) не зависят от и .Из формул (1.13 ), (1.14) следует, что асимптотика функции 0 (·, ) строится только в окрестности начала координат диаметра (| |−1 ) - эллиптической зоне. При | | ≤ 0 (где 0 > 0достаточно малое число, такое что 0 | ≡ 1) асимптотика решения (·,,) находится методом составных разложений; формула (1.13) применяется для описания асимптотики невязки(,,) − 0 (, ) на границе () малой полости при → 0. Для оценки остатка в асимптотике(,,) выводится неравенство(︀)︀‖ ‖01 (Ω(), ) ≤ () ‖ (△ + 2 ) ‖2 (Ω()) +1/2 | | ‖ () ‖ 3/2 () ,(1.16)справедливое при | | ≤ 0 ; здесь ()() = () и () не зависит ни от , ни от .При | | ≥ const эллиптическая зона находится внутри малой полости () и описать поведение невязки на () невозможно.
Это означает, что при | | ≥ const (иначе говоря, дляописания поведения волн, длина которых меньше, чем диаметр малой полости) метод составных разложений неприменим. Поэтому на правую часть волнового уравнения накладываетсядополнительное условие гладкости по времени, благодаря которому возмущение, вызывающеекороткие волны, пренебрежимо мало при → 0.
Тогда в силу неравенства‖ ‖01 (Ω(), ) ≤ () ‖ (△ + 2 ) ‖2 (Ω()) ,(1.17)(где ∈ R, = 0 на Ω()) вклад коротких волн также оказывается пренебрежимо мал. Благодаря этому удается получить равномерную по оценку остатка в асимптотике решения (·,,).Обратное преобразование Фурье доставляет асимптотику решения исходной нестационарной25задачи.
Введем норму⎞1/2⎛∫︁+∞ ∫︁⎜ ∑︁‖ ‖V(,) = ⎝⎟−2 (||−2 | (,)|2 + |∇(,) (,)|2 )⎠.||≤−∞ ∈Ω()Теорема 1.1.2. Пусть ≥ 0 . Решение задачи (1.1) с правой частью, подчиненной условию∫︁+∞ ∫︁| |6 |F→ (, )|2 < ∞=−∞ ∈Ωдопускает асимптотическое разложение (,,) = 0 (,) + ()0 (−1 ) + ˜1 (,,)(1.18)с остатком ˜1 (,,), таким что‖ ˜1 (·, · ,) ‖V(,) = (1− )при всех ∈ (0,1/2]. Функции 0 , 0 в (1.18) определяются, как обратные преобразования ФурьеF−1 → от функций 0 , 0 .Теорема 1.1.3.
Пусть ≥ 0 . Решение задачи (1.1) с правой частью, удовлетворяющей условию∫︁+∞ ∫︁| | (2 +1)+9 (||2(1− ) + | |2 )|F→ (, )|2 < ∞,=−∞ ∈Ωдопускает разложение (,,) =−1∑︁(︀)︀ (,) + () (−1 ,) + ˜ (,,)=0с остатком ˜ (,,), таким, что‖ ˜ (·, · ,) ‖V(,) = ( − )при всех ∈ (0,1/2]. Функции ( ∈ N) и ( ≥ 0) определяются, как обратные преобразова∞∞3ния Фурье F−1 → от функций → (·, ) ∈ (Ω∖{0}), → (·, ) ∈ (R ∖), допускающихразложения в асимптотические ряды (, ) ≃∞∑︀=0() (̂︀, )|| , || → 0, (, ) ≃∞∑︀=1() (̂︀, )||− , || → ∞26()()с гладкими по переменной ̂︀ = ||−1 ∈ 2 коэффициентами (·, ), (·, ). Функция (·, )является решением задачи2−(△ + ) (, ) = [△ ,]∑︁()||− − (̂︀, ) + 2 ()=1∑︁()||− − (̂︀, ), ∈ Ω,=1,2 (, ) = 0, ∈ Ω.Функция (·, ) является решением задачи(3)−△ (, ) = 2 ˜−2 (, ), ∈ R3 ∖, (, ) = −∑︀()|| − (̂︀, ), ∈ .=0Полученные для задачи (1.1) результаты обобщены (на уровне главного члена асимптотики)на случай ограниченной области Ξ() ⊂ R3 с гладкой границей, вырождающуюся при → 0 вобласть Ξ с конической точкой (начало координат) на границе.
Более точно, в окрестностиначала координат область Ξ совпадает с открытым конусом K, вне вершины конуса граница Ξгладкая. Область Ξ() задается формулой Ξ() = Ξ∖(K∖Λ()), где Λ() = { ∈ R3 : −1 ∈Λ}, область Λ ⊂ K имеет гладкую границу и совпадает с K в окрестности бесконечности.Исследуется асимптотика решения задачи(2 − △ ) (,,) = (,), (,) ∈ Ξ() × R; (,,) = 0, (,) ∈ Ξ() × R.(1.19)при → 0. Обозначим через △ неотрицательный оператор Лапласа-Бельтрами в области =K ∩ 2 с условиями Дирихле на .
Пусть 0 < 1 < 2 ≤ 3 ≤ . . . - последовательностьсобственных чисел оператора △ . Положим± = 1 ∓ (1 + 4 )1/2 /2, = ((1 + 4 )1/2 − 1)/2.Теорема 1.1.4. Пусть ≥ 0 , ∈ (2 ,1 ) и ′ ∈ (1, min{2,−1 }). Решение задачи (1.19) с правойчастью, подчиненной условию∫︁+∞ ∫︁||2 | |2(3−) |F→ (, )|2 < ∞=−∞ ∈Ωдопускает асимптотическое разложение (,,) = 0 (,) + ()0 (−1 ) + ˜1 (,,)с остатком ˜1 (,,), таким что′‖ ˜1 (·, · ,) ‖V(,) = (min{1−, −1 } ).(1.20)27Функции 0 , 0 в (1.20) определяются, как обратные преобразования Фурье F−1 → от функций → 0 (·, ), → 0 (·, ).
Функция 0 (·, ) ∈ 1 (Ξ) является решением задачи−(△ + 2 )0 (·, ) = [F→ ](·, ) в Ξ(); 0 (·, ) = 0, на Ξ(),допускающим в окрестности точки асимптотику 0 (, ) ≃ ()1 ( )Φ1 (̂︀)|| (где Φ1 нормированное решение уравнения △ Φ1 = 1 Φ1 , а коэффициент 1 ( ) однозначно определяется правой частью [F→ ](·, )). Функция 0 (·, ) ∈ 2′ (Λ) является решением задачи−△0 (·, ) = 0 в Λ; 0 (·, ) = −1 ( )Φ1 (̂︀)|| на Λ.1.21.2.1Главный член асимптотикиДоказательство оценок (1.16) и (1.17)Предложение 1.2.1. I.
Пусть = − (где ∈ R и > 0) и ∈ 2 (Ω()). Решение ∈ 1 (Ω()) задачи−(△ + 2 ) = в Ω(), = 0 на Ω(),подчиняется оценке‖ ‖01 (Ω(), ) ≤ −2 ‖ ‖2 (Ω()) .(1.21)Постоянная в (1.21) не зависит от , и .II. Пусть = − (где ∈ R, > 0) и | | ≤ 0 (число 0 введенно перед формулой (1.16)).Пусть также ∈ 2 (Ω()) и ∈ 3/2 (()). Решение ∈ 1 (Ω()) задачи−(△ + 2 ) = в Ω(), = на (), = 0 на Ω,подчиняется оценке(︀)︀‖ ‖01 (Ω(), ) ≤ () ‖ ‖2 (Ω()) +1/2 | | ‖ () ‖ 3/2 () .Здесь ()() = (), а постоянная () не зависит от и .Доказательство. I.
Пусть ∈ ∞ (Ω() × R) и − △ = на Ω() × R, = 0 на Ω() × R.(1.22)28Имеем∫︁ ∫︁∫︁ ∫︁( (,) − △ (,)) (,) = (,) (,).−∞ Ω()−∞ Ω()Складывая это равенство с сопряженным и интегрируя по частям, получаем∫︁ ‖ ∇(,) (·,)‖22 (Ω()) =∫︁ ∫︁2Re (·,) (·,).−∞ Ω()−∞Отсюда‖ ∇(,) (·,)‖22 (Ω()) ≤∫︁ 2(,),(1.23)−∞где (,) =‖ (·, ) ‖2 (Ω()) ‖ (·, ) ‖2 (Ω()) . Поскольку носитель функция (·,) компактен,имеем∫︁+∞∫︁ ∫︁+∞∫︁+∞∫︁+∞1−2−22(,) = 2(,) =−2 (,).−∞−∞−∞(1.24)−∞Умножим (1.23) на −2 и проинтегрируем по .
С учетом (1.24) получаем∫︁+∞∫︁+∞1−22‖ ∇(,) (·,) ‖2 (Ω()) ≤−2 ‖ (·, ) ‖2 (Ω()) ‖ (·, ) ‖2 (Ω()) .−∞(1.25)−∞Используя неравенство 2 ≤ 2 + 2 при =√√ −1 −2 ‖ (·, ) ‖2 (Ω()) и = (1/ 2)− ‖ (·, ) ‖2 (Ω()) , мы мажорируем правую часть (1.25) величиной12∫︁+∞∫︁+∞1−22‖ (·, ) ‖2 (Ω()) +−2 ‖ (·, ) ‖22 (Ω()) .4−∞−∞Теперь из (1.25) следует, что∫︁+∞∫︁+∞4−22‖ ∇(,) (·,) ‖2 (Ω()) ≤ 2−2 ‖ (·, ) ‖22 (Ω()) .3−∞(1.26)−∞Неравенство (1.26) остается справедливым и для функций вида (,) = ()(), где ∈∞ (R).
Поэтому∫︁Ω()∫︁∫︁+∞∫︁+∞42222|^ ( )| (| | |()| + |∇ ()| ) ≤|^ ( )|2 |(△ + 2 )()|2 .3−∞Ω()−∞29Поскольку функция произвольна, отсюда вытекает оценка| |2 ‖ ‖22 (Ω()) + ‖ ∇ ‖22 (Ω()) ≤4‖ ‖22 (Ω()) .3 2(1.27)Неравенство∫︁|()|2 ≤ 4||2Ω()∫︁|∇ ()|2 (1.28)Ω()известно (оно доказывается при помощи перехода к сферическим координатам и формулы∫︁∫︁2|()| ≤ 4(| ′ ()|)2 (см. [18], теорема 330), справедливой при 0 ≤ ≤ ≤ +∞ для всякой функции ∈ 1 ([,]),такой что () = () = 0). Из (1.27) и (1.28) получается искомая оценка (1.21).II. Пусть (·,) ∈ 12 (R3 ∖) - решение задачи−△ (,) = 0, ∈ R3 ∖; (,) = ()(), ∈ .Существование и единственность решения (·,) вытекают из следующей леммы.Лемма 1.2.2.
(см. [6], 1.6.3, [7], теорема 2.3.1) Пусть ∈ 3/2 (). Тогда существует и единственно решение ∈ 12 (R3 ∖) задачи−△ = 0 в R3 ∖; = на .При всех ∈ (1/2, 3/2) справедлива оценка‖ ‖2 (R3 ∖) ≤ () ‖ ‖ 3/2 () .(1.29)‖ (·,) ‖12 (R3 ∖) ≤ ‖ () ‖ 3/2 () .(1.30)Согласно лемме имеемВведем функции˜1 (,) = (−1 ,), 1 (,, ) = () ()˜1 (,),здесь - срезка из Предложения 1.1.1.
На носителе supp справедливо неравенство | | ≤ ,поэтому‖ 1 (·,, )‖2 1 (Ω(), ) ≤0∫︁R3 ∖()(||−2 |˜1 (,)|2 + |∇ ˜1 (,)|2 ).30Теперь в силу∫︁2(||−)||| ˜1 (,)|2 =3−2∫︁||2(||−) | (,)|2 (1.31)R3 ∖R3 ∖()получаем‖ 1 (·,, )‖2 1 (Ω(), ) ≤0∫︁(||−2 |(,)|2 + |∇ (,)|2 ).R3 ∖Вместе с (1.30) это приводит к неравенству‖ 1 (·,, ) ‖01 (Ω(), ) ≤ 1/2 ‖ () ‖ 3/2 () .(1.32)Аналогично, из соотношений (1.30)-(1.31) и формулы(△ + 2 )1 (·,, ) = [△ , ]˜1 (,) + 2 1 (·,, )получается оценка‖ (△ + 2 )1 (·,, ) ‖2 (Ω()) ≤ 1/2 ‖ () ‖ 3/2 () (1 + | |).(1.33)Функция 2 (,, ) = () − 1 (,, ) при | | ≤ 0 является решением задачи−(△ + 2 )2 = + (△ + 2 )1 на Ω(), 2 = 0, на Ω().Отсюда и из формул (1.21) и (1.33) следует, что(︀)︀‖ 2 (·,, ) ‖01 (Ω(), ) ≤ () ‖ ‖2 (Ω()) +1/2 (1 + | |) ‖ () ‖ 3/2 () .(1.34)Формулы (1.32) и (1.34) с учетом неравенства | | ≥ приводят к оценке (1.22).1.2.2Главный член асимптотики решения задачи (1.4)Целью раздела является доказательство следующего утвержденияПредложение 1.2.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
