Диссертация (1149274), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Для построенной таким образом гиперболической задачи выводится и обосновывается асимптотика решений. Затемиз сведений, полученных для гиперболической задачи, извлекается информация об асимптотикерешений исходной (нерасширенной) системы Максвелла.Целью диссертационной работы является развитие методики исследования нестационарных(гиперболических) краевых задач в сингулярно возмущенных областях. В соответствии с этойцелью были поставлены следующие задачи:1. Вывод асимптотики решений задачи Дирихле для волнового уравнения в ограниченнойобласти с малой полостью.
Обобщение результатов на случай СВО, вырождающейся при → 0 в область с конической точкой на границе;2. Вывод асимптотики решений стационарной системы Максвелла в области с конечным числом малых полостей;63. Вывод асимптотики решений нестационарной системы Максвелла в области с конечнымчислом малых полостей.Научная новизна. Гиперболические задачи в СВО ранее не исследовались (вероятно, из-затого, что теория гиперболических задач в предельных областях с сингулярностями на границебыла развита сравнительно недавно).
В диссертации впервые расматриваются две динамическиезадачи в СВО: задача Дирихле для волнового уравнения и нестационарная система уравненийМаксвелла (с условиями идеальной проводимости или импедансными условиями на границе).По-видимому, система Максвелла в СВО не исследовалась даже в стационарном варианте; вдиссертации такое исследование проводится при подготовке к рассмотрению нестационарнойсистемы Максвелла.
Основные результаты работы, выносимые на защиту, являются новыми:1. В ограниченной области с малой полостью (диаметра ) рассмотрена задача Дирихле дляволнового уравнения; выведены и обоснованы полные асимптотические разложения решенийпри → 0. Время в задаче пробегает всю вещественную ось.
Результаты (на уровне главного члена асимптотики) обобщены на случай СВО, вырождающейся при → 0 в область сконической точкой на границе.2. Исследована стационарная система Максвелла в ограниченной области с конечным числом малых полостей; диаметры полостей пропорциональны малому параметру . Выведены иобоснованы полные асимптотические разложения решений при → 0.
На границе области заданы условия идеальной проводимости либо импедансные граничные условия. Спектральныйпараметр в задаче может принимать любые значения, при которых окрестность при всех свободна от собственных значений системы Максвелла.3. Исследована нестационарная система Максвелла в ограниченной области с конечным числом малых полостей; диаметры полостей пропорциональны малому параметру . Выведены иобоснованы полные асимптотические разложения решений при → 0. На границе области заданы условия идеальной проводимости либо импедансные граничные условия; время в задачепробегает всю вещественную ось.Научная и практическая значимость. Работа имеет теоретический характер. Полученныерезультаты демонстрируют ключевые приемы исследования нестационарных задач в СВО, которые могут быть использованы для дальнейшего развития метода описания асимптотики решенийгиперболических задач в СВО.Предлагаемая во второй задаче (система Максвелла) математическая модель может иметьприложение в диагностике плазмы: она описывает поведение электромагнитного поля плазмы,заключенной в проводящий резонатор и загрязненной частицами металла.
Модель является корректной, если диаметры частиц металла много больше толщины скин-слоя в металле. Для упрощения выкладок электрическая и магнитная проницаемости в работе выбраны равными единице;однако методика естественно обобщается и на случай переменных комплексных электрическихи магнитных проницаемостей.7Апробация работы.
Основные результаты работы докладывались и обсуждались на научномсеминаре кафедры Высшей математики и математической физики, а также на конференциях:1. International Conference DAYS on DIFFRACTION 2014, Russia, St. Petersburg, 2014 (устныйдоклад).2. Конференция «Встреча поколений» фонда Дмитрия Зимина «Династия», Москва, 2015 (устный доклад).3. 8th St.Petersburg Conference in Spectral Theory dedicated to the memory of M.Sh.Birman, Russia,St. Petersburg, 2016 (устный доклад).Личный вклад. Результаты первой главы диссертации опубликованы в работе диссертанта [1]. Основные результаты второй, третьей и четвертой глав опубликованы в совместной работе диссертанта и Б.А. Пламеневского [2]; определяющий вклад в эту работу принадлежитдиссертанту.Публикации.
Основные результаты по теме диссертации изложены в двух печатных изданиях ( [1], ), рекомендованных ВАК для опубликования результатов кандидатских и докторскихдиссертаций. Обе публикации индексируются международной системой цитирования Web ofScience.[1] Кориков Д.В. Асимптотика решений волнового уравнения в области с малым отверстием //Алгебра и анализ 26 (2014), №5, 164-200.[2] Кориков Д.В., Пламеневский Б.А. Асимптотика решений стационарной и нестационарнойсистем Максвелла в области с малыми отверстиями // Алгебра и анализ 28 (2016), №4, 102-170.Объем и структура работы.
Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения.Полный объем диссертации 121 страница текста. Список литературы содержит 20 наименований.Формулировка основных результатовВ первой главе рассматривается задача(2 − △ ) (,,) = (,), (,) ∈ Ω() × R; (,,) = 0,(,) ∈ Ω() × R.(1)Здесь область Ω() с малой полостью () = { ∈ R3 : −1 ∈ } задана формулой Ω() =Ω∖(), где > 0 - малый параметр, а Ω, ⊂ R3 - ограниченные области с гладкими границами,содержащие начало координат. Функция определена в цилиндре {(,) : ∈ Ω, ∈ R}. Послекомплексного преобразования Фурье F→ , где = − ( ∈ R, = const > 0), задача (1)переходит в семейство задач−(△ + 2 )(,,) = (, ), ∈ Ω();(,,) = 0, ∈ Ω(),(2)8зависящих от параметра ; здесь = F→ и = F→ . Асимптотика функции (·,,) при → 0 находится методом составных разложений, главный член асимптотики имеет вид0 (,,) = 0 (, ) + ()0 (−1 , ),(3)где ∈ ∞ (Ω), = 1 вблизи нуля, 0 (·, ) - решение первой предельной задачи−(△ + 2 )0 (, ) = (, ), ∈ Ω;0 (, ) = 0, ∈ Ω,(4)а → 0 (, ) - решение второй предельной задачи−△ 0 (, ) = 0, ∈ R3 ∖;0 (, ) = −0 (0, ), ∈ ,убывающее при || → ∞.
Функция ()0 (−1 , ) компенсирует главный член 0 (0, ) невязки,вносимой решением 0 (·, ) в граничное условие на (). Заменяя (·,,) на (·,,)−0 (·,,) иповторяя процедуру, мы строим второй член асимптотики и т.д. В результате получается асимптотическое разложение (·,,) при → 0 в форме∞∑︁(︀)︀ (, ) + (−1 , ) .(5)=0Это разложение является двухмасштабным: оно составлено из функций, которые зависят либо от"медленной"переменной , либо от "быстрой"переменной = −1 .
Функции (·, ) являютсярешениями первых предельных, а функции (·, ) - вторых предельных задач.Формально асимптотика решения (·, · ,) задачи (1) получается обратным преобразованиемФурье из формул (3), (5). Однако для обоснования асимптотики необходимы равномерные по оценки остатка в асимптотике решения (·,,) задачи (2). Для этого требуется, чтобы асимптотики решений → (, ), → (, ) предельных задач при || → 0 и → ∞ были равномерными по . Оператор второй предельной задачи не зависит от и является эллиптическим.В отличие от второй предельной задачи, оператор первой предельной задачи существенно зависит от : он не является эллиптическим с учетом параметра (в смысле Аграновича-Вишика,см. [17]). Другими словами, не существует глобальной оценки ее решений вместе с первымипроизводными, равномерной по параметру , то есть оценки вида∑︁| |2(2−||) ‖ 0 (·, ) ‖22 (Ω) ≤ () ‖ (·, ) ‖22 (Ω) .||≤2Метод, пригодный для описания асимптотики решения 0 (·, ) первой предельной задачи,развит в работах [10–14] при исследовании гиперболических задач в областях с ребрами.
В этомметоде оценка решения 0 (·, ) и его вторых производных получается только в окрестности начала координат, имеющей диаметр порядка | |−1 . Эта окрестность называется эллиптическойзоной. В оставшейся части области Ω используется глобальная оценка решения и его первых9производных. При достаточно большом = |Im | ≥ 0 эти две оценки склеиваются в промежуточной зоне и приводят к глобальной "комбинированной" оценке, равномерной по параметру .Для ее описания потребуются специальные функциональные пространства. Определим нормы‖ · ‖ (Ω) и ‖ · ‖ (Ω, ) формулами⎞1/2⎛‖ ‖ (Ω) = ⎝∑︁ ∫︁(||+||− | ()|)2 ⎠⎞1/2⎛, ‖ ‖ (Ω, ) = ⎝∑︁||≤ Ω| |2(−) ‖ ‖2 (Ω) ⎠.≤Обозначим через ( ) пополнение ∞ (Ω∖{0}) по норме)︁1/2(︁,‖ ‖ ( ) = ‖ ‖2 2 (Ω, ) + 2 ‖ ‖2 1 (Ω, )(6)где () = (| |). Если носитель функции ∈ ( ) лежит во внутренности supp , тонорма (3.12) эквивалентна ‖ ‖2 (Ω) .
Однако если носитель лежит в Ω∖supp , то норма (3.12)эквивалентна ‖ ‖ 1 (Ω) . В этом смысле ( ) представляет собой пространство функцийпеременной гладкости. Введем еще пространство ℛ ( ) с нормой‖ ‖ℛ ( ) =(︁‖ ‖2 0 (Ω) + −2 | |2(1−) ‖ ‖22 (Ω))︁1/2.(7)В пространстве ℛ ( ) рассматривается замкнутый оператор ℒ ( ), ассоциированный с задачей(4). Область определения этого оператора является подмножеством ( ).
Комбинированныеоценки доказаны при всех ≤ 1, ̸= 1/2 − ( = 0,1,2, . . . ) и имеют вид‖ ‖ ( ) ≤ ‖ ℒ ( ) ‖ℛ ( ) .Постоянная в этих оценках не зависит ни от , ни от . При ∈ (1/2,1] оператор ℒ ( )является изоморфизмом. При убывании размерность коядра этого оператора увеличивается(при переходе через точки 1/2 − ), но остается конечной. Элементы базиса коядра однозначноопределяются своей (растущей) асимптотикой вблизи начала координат.
При = 1/2 − ( =0,1,2, . . . ) образ оператора ℒ ( ) незамкнут в ℛ ( ). Все это позволяет вывести асимптотикурешения 0 (·, ) при || → 0. Эта асимптотика, по существу, получена в работе [10] и имеет вид0 (, ) = ()∑︁()(+1)0 (̂︀, )|| + ˜0(, ),(8)=0()̂︀ на единичгде ̂︀ = ||−1 , коэффициенты 0 (·, ) являются гладкими функциями переменной (+1)ной сфере 2 и однозначно определяются правой частью (·, ). Остаток ˜0(·, ) удовлетворяетоценке(+1)‖ ˜0(·, ) ‖ ( ) ≤ () ‖ (·, ) ‖ℛ ( ) −1 | |(9)10(0)в которой ∈ (−1/2 − ,1/2 − ), постоянная () не зависит от и .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
