Автореферат (1149231), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Пусть имеется стратификация Уитни {Sl }Ll=1 множества S. Для каждой страты Sl , l = 1, 2, ..., L назовем входящими в неестратами те страты, замыкания которых пересекаются с Sl .Термин «входящие» здесь используется в смысле английского«incoming», а не в теоретико-множественном смысле. Далее приведем вспомогательное утверждение.Утверждение 5. Пусть S ⊂ R2 , S = V(P ), где P — некий полином. Пусть{Sl }Ll=1 , L ∈ N — CAD множества S. Если S∗ ∈ {Sl }Ll=1 — регулярная точка,то у нее ноль или две входящих страт.Алгоритм построения максимальной стратификации Уитнив R .
Пусть {Sl }Ll=1 , L ∈ N — CAD алгебраического множества S. Будем собирать стратификацию пошагово. Заведем множества D0 , D1 , D2 , ..., DL , гдеD0 = ∅. Для l = 1, 2, ..., L последовательно выполняется следующая процедура: если множество Sl имеет входящие множества, то это обязательноточка. Если данная точка сингулярна, то Dl := Dl−1 ∪ {Sl } (она добавляется в результирующую стратификацию как отдельная страта), если же эторегулярная точка, то входящих страт будет ноль или две.
Если их две (обозначим их Sl1 , Sl2 ), то если в Dl−1 есть множество Sl∗ , которое включает всебя одно из входящих множеств (пусть, не умаляя общности это Sl1 ), тоDl := Dl−1 \ {Sl∗ } ∪ {Sl∗ ∪ Sl2 ∪ Sl } (второе множество добавляется к этому множеству вместе с точкой), иначе Dl := Dl−1 ∪ {Sl1 ∪ Sl2 ∪ Sl } (в результирующейстратификации заводится новое множество, которое является объединениемдвух входящих множеств и точки). Если же входящих множеств у Sl нет, тоDl := Dl−1 ∪ {Sl }. Множество DL является итоговой стратификацией.2Утверждение 6. Множество DL , описанное выше, является максимальной стратификацией Уитни множества S.13Перейдем теперь к примеру, непосредственно относящемуся к динамическим системам.
Рассмотрим множество, полученное при аппроксимацииглобального B-аттрактора Хенона при значении параметра N = 3 в выражении (2) и параметрах L и M равным 10:Пример 1. Пусть10u2 10 10u2 140 140(u2 )2 2 S = V2 − 2u1 +−−1++− 1 + u1 +. (7)33399Рис. 2: Стратификация множества (7).Аппроксимационное множество, изображенное на рисунке 2, состоитиз двух страт S1 , S2 , которые являются параболами, повернутыми на π2 .В заключении перечислены основные результаты диссертации. В диссертационной работе решена задача построения алгебраической аппроксимации глобальных B-аттракторов динамических систем с дискретным временемна евклидовом пространстве, заданных уравнением с полиномиальной правой частью.
Для этого получена модификация аппроксимационной теоремыФояша-Темама, применимая к этому классу систем.Проведен численный эксперимент по аппроксимации глобального Bаттрактора системы Хенона, использующий модификацию аппроксимацион14ной теоремы Фояша-Темама для систем с дискретным временем, заданныхна евклидовом пространстве.В аналитическом виде найдено интегральное представление точки, лежащей на аттракторе динамической системы с непрерывным временем, заданной на проективном многообразии.Предложен алгоритм построения стратификации Уитни для алгебраических множеств, содержащихся в R2 .Цитированная литература1. Леонов Г.А.
Функции Ляпунова в теории размерности аттракторов //Прикладная математика и механика. — 2012. — no. 76(2). — Pp. 180–196.2. Leonov G.A., Reitmann V. Attraktoreingrenzung fur Nichtlineare Systeme. —Wiesbaden: Vieweg+Teubner Verlag, 1987. — 196 p.3. Leonov G.A., Reitmann V., Smirnova V.B. Non-local Methods for Pendulumlike Feedback Systems. — Wiesbaden: Vieweg+Teubner Verlag, 1992. — 242 p.4. Райтманн Ф. Динамические системы, аттракторы и оценки их размерности. — СПб.: Издательство СПбГУ, 2013.
— 224 с.5. Foias C., Sell G.R., Temam R. Inertial manifolds for nonlinear evolutionaryequations // Journal of Differential Equations. — 2004. — Vol. 73, no. 2. —Pp. 309–353.6. Foias C., Temam R. The algebraic approximation of attractors: the finitedimensional case // Physica D Nonlinear Phenomena. — 1988. — Vol. 25,no. 5. — Pp. 163–182.7.
Levine G., Tabor M. Integrating the nonintegrable: analytic structure ofthe Lorenz system revisited // Physica D: Nonlinear Phenomena. — 1989. —Vol. 33, no. 1. — Pp. 189–210.8. Leonov G.A., Reitmann V. Extensions of Lyapunov’s ideas in the algebraicapproximation of attractors // Международный конгресс «Нелинейный динамический анализ - 2007», Санкт-Петербург, Россия. — 2007. — Pp. 486–486.9.
Henon M.A. A two-dimensional mapping with a strange attractor //Commun. Math. Phys. — 1976. — Vol. 50, no. 2. — Pp. 69–77.10. Whitney H. Analytic extensions of differentiable functions defined in closedsets // Transactions of the American Mathematical Society. — 1992. —Vol. 36. — Pp. 228–254.1511. Arnon D., Collins G., McCallum S. // SIAM J. Comput. — 1984.
— Vol. 13,no. 4. — Pp. 865–877.Публикации по теме диссертации12. Malykh A.E., Reitmann V., Rozhkov G.S. Algebraic approximation ofattractors of dynamical systems on manifolds // Differential Equations. —2013. — Vol. 49, no. 13. — Pp. 1704–1728.13. Leonov G.A., Malykh A.E., Reitmann V. Stratification of approximatingsurfaces for the Lorenz attractor // Proc. of 4th International ScientificConference on Physics and Control «PHYSCON 2009». — 2009. — Vol. 1,no. 1.
— Pp. 1–4.14. Malykh A.E. Algebraic approximation of global attractors of discretedynamical systems // Proc. of International Student Conference «Science andProgress». — 2011. — Pp. 24–27.15. Kruk A.V., Malykh A.E., Reitmann V. Upper bounds for the HausdorffDimension and the Stratification of an Invariant Set of Evolution Systemon a Hilbert Manifold // Differential Equations.
— 2017. — Vol. 53, no. 13. —Pp. 1715–1733.16.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
