Диссертация (1149198), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Раздел 2.2):S(Φ) = h0 D0 h0 + h0 {−∂t h − v∂k h + ν⊥0 ∂⊥2 h + νk0 ∂k2 h − ∂k h2 /2} + Sv (4.1)(Для удобства записи D0 в (1.3) был заменен на 2D0 .) Здесь v – скалярный коэффициент из (1.11), а поле скорости было введено заменой (1.8).Последний член в (4.1) соответствует гауссову усреднению по полю v скоррелятором (1.12) и имеет формуZZ1e v−1 (x⊥ − x0 )v(t, x0 ),Sv =dt dx⊥ dx0⊥ v(t, x⊥ )D⊥⊥2(4.2)гдеe v−1 (r⊥ ) ∝ B −1 r2(1−d)−ξD0⊥(4.3)e v−1 из (1.13).– ядро обратной линейной операции DМодели (4.1) соответствует стандартная фейнмановская диаграммная техника с тремя затравочными пропагаторами (линиями в диаграммах): hvvi0 , описываемым в выражениях (1.12), (1.13), и пропагаторами66скалярных полей:hhh0 i0 = hh0 hi∗0 = {−iω + ε(k)}−1 ,−1hhhi0 = 2D0 ω 2 + ε2 (k),(4.4)2где ε(k) = νk2 kk2 + ν⊥2 k⊥. В модели имеются две вершины, отвечающие вкла-дам взаимодействия −h0 ∂k h2 /2 и −h0 (v∂k )h.

Соответствующие константывзаимодействия g0 и w0 определяются соотношениями3/23/2D0 = νk0 ν⊥0 g0 ,B0 = w0 νk0 ,(4.5)так что по размерности g0 ∼ Λε и w0 ∼ Λξ , где Λ – характерный УФимпульсный масштаб задачи.4.2.УФ расходимости и ренормировкаКанонические размерности полей и параметров в модели (4.1) приве-дены в таблице 4.1; модель логарифмична при ε = 4 − d = 0 и ξ = 0.Таблица 4.1. Канонические размерности полей и параметров в модели (4.1).Fhh0vdωF1−11110000d⊥F03−ε0−20εξ01dFk−12−10−20000dF13−ε100εξ01ν⊥0 , ν⊥ νk0 , νk g0 w0 g, w m, µ, ΛИз таблицы 4.1 и (2.18) находим для индекса расходимости (см.

Раздел 2.3):δΓ = 6 − 3Nh0 − Nh − Nv .(4.6)67Действие (4.1) инвариантно относительно отражения h0 → −h0 , h →−h, v → −v, xk → −xk . Есть также две независимых реализации галилеевой симметрии: первая относится к исходному стохастическому уравнению(1.4) и не нарушается при включении поля скоростиx → x0 ,h0 → h0 ,v → v,h → h − u,u = const,(4.7)а вторая появляется после включенияx → x0 ,h0 → h0 ,v → v − nu,u = const,h → h.(4.8)Эти наблюдения (см. сноску в Разделе 3.2) и анализ выражения (4.6)(см. Раздел 3.2) показывают, что нужно ввести только один контрчлен видаh0 ∂k2 h, который появляется из 1-неприводимой функции hh0 hi1−непр . Такимобразом, рассматриваемая модель оказывается мультипликативно ренормируемой с одной единственной независимой ренормировочной константой:в ренормированном функционале действияS(h, h0 , v) = Z1 h0 Dh0 + h0 −Z2 ∂t h − Z3 v∂k h + Z4 ν⊥ ∂⊥2 h − Z5 ∂k h2 /2 +o2+ Z6 νk ∂k h + Z7 Sv (4.9)все ренормировочные константы Zi , кроме Z6 , равны единице (константу Z6 естественно рассматривать как ренормировочную константу коэффициента νk ).

В этом можно убедиться проведением явных вычислений.Рассмотрим, например, двухпетлевые диаграммы 1-неприводимой функции hh0 hhi1−непр с δΓ = 1 и δΓ0 = 0 (она соответствует константе Z5 ).Диаграмма на Рис. 4.1b не дает вклада, так как в ней есть цикл замкнутых запаздывающих пропагаторов (здесь важно, что коррелятор скоростисодержит δ функцию по времени). Другая причина сокращения вкладов68заключается в том, что в вершине −h0 ∂k h2 /2 производную ∂k можно переместить интегрированием по частям на поле h0 , тогда как в вершине−h0 (v∂k )h производную можно перенести на h или h0 .

Таким образом, вдиаграмме на Рис. 4.1a три внешних импульса появляются как общий множитель, что делает оставшийся интеграл УФ конечным. При этом полныйвклад от диаграмм без скорости равен нулю, так как они сокращают другдруга; это следствие наличия исходной реализации галилеевой симметрии(4.8).a.b.Рис. 4.1. a. Внешний импульс возникает как общий множитель из верхнейвершины ∼ h2 ∂k h0 и из двух нижних −h0 (v∂k )h. Так как индекс расходимости для hh0 hhi1−непр равен 1, диаграмма оказывается УФ конечной. b.Диаграмма имеет два замкнутых цикла запаздывающих пропагаторов ипоэтому вклад от нее равен нулю.

Здесь важно, что у пропагатора hvviнулевое время корреляции.Единственная отличная от единицы ренормировочная константа в ведущем (однопетлевом) приближении имеет видZ6 = Zνk = 1 − ag/ε − bw/ξ(используется схема MS). Здесь g и w – ренормированные константы взаимодействия, безразмерные параметры разложения в ренормированной тео-69рии возмущений, в то время как a, b – некоторые числовые коэффициенты.Их точное значение не важно (их всегда можно убрать переопределениемg и w), но важно, что они положительны: a, b > 0.4.3.РГ уравнения и РГ функцииПринимая во внимание соотношение между константами взаимодей-ствия (4.5) и явную форму констант Zi , можно получить для ренормгрупповых функций:βg = g[−ε + 3γνk /2],βw = w[ξ + γνk ],(4.10)гдеγ2 = γνk = ag + bw + .

. .(4.11)Здесь многоточие обозначает поправки старших порядков по g и w.Так как β-функции (4.10) выражаются через одну и ту же аномальную размерность (4.11), они удовлетворяют точному соотношениюwβg − 3gβw /2 = gw(−ε + 3ξ/2).4.4.(4.12)Неподвижные точки и скейлинговые режимыТак как β-функции (4.10) удовлетворяют точному соотношению (4.12)для произвольных ε и ξ, то они обращаются в нуль (см.

Раздел 2.5), толькоесли одна из координат g∗ , w∗ равна нулю. Поэтому неподвижных точектри:1. Гауссова (свободная) неподвижная точка:g∗ = w∗ = 0 (точно);γν∗k ≡ γνk |g∗ ,w∗ =0 = 0,Ωg = −ε,Ωw = −ξ.70Эта точка становится ИК притягивающей, если ε, ξ < 0.2. Неподвижная точка:g∗ = 0 (точно),ŵ∗ = ξ/b;γν∗k = ξ (точно в силу (4.10))Ωg = −ε + 3ξ/2 (точно),Ωw = ξ.Эта точка становится ИК притягивающей, если ξ > 2ε/3, ξ > 0. Она соответствует режиму, в котором нелинейный член в уравнении (1.4) не влияет на ведущий член ИК асимптотики (нелинейный член несущественен всмысле Вильсона).3.

Неподвижная точка:w∗ = 0 (точно),g∗ = ε/a;γν∗k = 2ε/3 (точно в силу (4.10)),Ωw = −ξ + 2ε/3 (точно),Ωg = εЭта точка становится ИК притягивающей, если ξ < 2ε/3, ε > 0. Она соответствует режиму, в котором перемешивание средой несущественно в смысле Вильсона и поведение совпадает с поведением исходной модели ХуаКардара (см.

Раздел 1.1.2).Стоит отметить, что координаты неподвижных точек (1)–(3) в их области ИК устойчивости лежат в области физических значений g∗ > 0,w∗ > 0.Для особого случая ξ = 2ε/3 функции (4.10) становятся пропорциональными, и равенство β-функций нулю накладывает единственное ограничение ag∗ +bw∗ = ξ; то есть возникает прямая линия неподвижных точек71Рис. 4.2. Области устойчивости неподвижных точек модели (4.1).в плоскости g–w.

Тем не менее, точное значение γν∗k = ξ = 2ε/3 одно и тоже для всех точек на этой прямой. Вычисление собственных чисел матрицы Ω показывает, что одно из них равно нулю (этот точный результат –следствие вырождения неподвижных точек), а второе, равное 3ag∗ /2+bw∗ ,положительно в области физических значений g∗ , w∗ > 0 вместе с показателем ξ.На Рис. 4.2 показаны области ИК для всех неподвижных точек устойчивости на плоскости ε–ξ, т.е. области, где оба собственных числа матрицыΩ положительны. Все границы этих областей – прямые линии; нет ни пустот, ни пересечений между разными областями. Это точный результат, т.е.границы останутся прямыми линиями и при учете старших вкладов.4.5.Критические размерностиТак как поля в рассматриваемой модели не ренормируются (т.е. дляних γF∗ = 0), как и параметр ν⊥ (т.е.

γν∗⊥ = 0), то вычисление критическихразмерностей упрощается. Более того, γν∗k известна точно для всех непо-72движных точек. Это приводит к следующим точным соотношениям (см.Раздел 2.6):∆h = 1,∆h0 = d = 4 − ε,∆ω = 2,∆k = 1(4.13)для гауссовой точки 1,∆h = 1 − ξ/2,∆h0 = d + ξ = 4 − ε + ξ,∆ω = 2,∆k = 1 + ξ/2 (4.14)для неподвижной точки 2 и прямой неподвижных точек ag∗ + bw∗ = ξ, и∆h = 1 − ε/3,∆h0 = d + 2ε/3 = 4 − ε/3,∆ω = 2,∆k = 1 + ε/3 (4.15)для неподвижной точки 3.В частности, для парной корреляционной функции основного поляэто дает:hh(t, x) h(0, 0)i '−2∆hr⊥F∆∆ωt/r⊥, rk /r⊥ k,(4.16)где r⊥ = |x⊥ |, rk = xk , и F – некоторая скейлинговая функция безразмерных аргументов.Остается отметить, что для неподвижной точки 3 полученные результаты согласуются (с точностью до переобозначения) с представленнымив [35] (нужно положить z = ∆ω /∆k , ζ = 1/∆k , χ = −∆h /∆k ).735.

Модель Вольфа под воздействием ансамбляАвельянеды-Майда5.1.Модель Вольфа5.1.1.Квантовополевая переформулировкаСтохастическая задача (1.3), (1.5) эквивалентна квантовополевой модели двух полей Φ = {h, h0 } с функционалом действия (см. Раздел 2.2):1 0 01102222S(Φ) = h h + h −∂t h + ν⊥0 ∂⊥ h + νk0 ∂k h + λ⊥0 (∂⊥ h) + λk0 (∂k h) .222(5.1)(D0 в (1.3) был положен равным 1.) Стандартная фейнмановская диаграммная техника содержит два затравочных пропагатора; в частотноимпульсном (ω–k) представлении они имеют вид:hhh0 i0 = hh0 hi∗0 = {−iω + ε(k)}−1 ,hhhi0 =−1ω 2 + ε2 (k),(5.2)2где ε(k) = νk2 kk2 + ν⊥2 k⊥.В этой модели имеются две вершины взаимодействия: λk h0 (∂k h)2 /2 иλ⊥ h0 (∂⊥ h)2 /2.Соответствующие константы взаимодействия g⊥0 и gk0 определяютсясоотношениями5/41/4λk0 = gk0 νk0 ν⊥0 ,1/45/4λ⊥0 = g⊥0 νk0 ν⊥0(5.3)так, что по размерности gk0 , g⊥0 ∼ Λε , где Λ – характерный УФ импульсныймасштаб задачи.745.1.2.УФ расходимости и ренормировкаКанонические размерности полей и параметров в модели (5.1) приведены в таблице 5.1; модель логарифмична при d = 2, когда константывзаимодействия g⊥0 , gk0 одновременно становятся безразмерными.Таблица 5.1.

Канонические размерности полей и параметров в модели (5.1).Fhh0dωF− 1212113232000d⊥Fd−12d−12−20−3−d21−d2ε201dFk12120−2− 12− 52000dF− 2ε2+d200ε2ε2ε201ν⊥0 , ν⊥ νk0 , νk λ⊥0 , λ⊥ λk0 , λk gk0 , g⊥0 gk , g⊥ m, µ, ΛПоле h входит в вершины λk h0 (∂k h)2 /2 и λ⊥ h0 (∂⊥ h)2 /2 только в форме пространственной производной. Поэтому любое появление h в какойлибо функции Γ приводит к возникновению внешнего импульса как общегомножителя (см. Раздел 2.3), и реальный индекс расходимости дается выражением δΓ0 = δΓ − Nh .

Более того, h может возникнуть в соответствующемконтрчлене только под знаком производной.Из таблицы 5.1 и (2.17) находим для индекса расходимости (см. Раздел 2.3):δΓ0 = δΓ − Nh = 4 − Nh − 2Nh0 .(5.4)Кроме того, стохастическая задача (1.5) инвариантна относительногалилеева преобразования вида [58]:h(t, x) → h(t, xk + ut) + uxk + u2 t/2,h0 (t, x) → h0 (t, xk + ut).(5.5)Здесь u – некоторая произвольная константа. Эта симметрия накладыва-75ет ограничения на форму контрчленов.

В совокупности с тем фактом, чтополе h может входить в контрчлен только под знаком пространственнойпроизводной, они значительно сокращают число возможных контрчленов(см. Раздел 3.2). В результате, поверхностные УФ расходимости в модели (3.1) могут возникать только в следующих 1-неприводимых функциях:hh0 h0 i1−непр , hh0 hhi1−непр , hh0 hi1−непр . Все такие члены присутствуют в действии (5.1), что делает модель мультипликативно ренормируемой. Ренормированное действие можно записать в форме:11SR (Φ) = Z1 h0 h0 + h0 −∂t h + Z⊥ ν⊥ ∂⊥2 h + Zk νk ∂k2 h + λ⊥ (∂⊥ h)2 +2212+ λk (∂k h) , (5.6)2где νk , ν⊥ , λk и λ⊥ – ренормированные аналоги затравочных параметров.Ренормировочные константы Z зависят только от полностью безразмерныхпараметров gk и g⊥ и поглощают все полюса по ε.Ренормировка полей h → Zh h и h0 → Zh0 h0 и параметров описываетсяследующими выражениями:5/4 1/4λk = gk νk ν⊥ µε/2 ,1/4 5/4λ⊥ = g⊥ νk ν⊥ µε/2 .(5.7)Ренормировочные константы в уравнениях (5.6) и (5.7) связаны между собой рядом соотношений:Z1 = Zh20Zh Zh0 = 1,−5/4Zg⊥ = Zh−1 Z⊥−1/4ZkZ⊥ = Zν⊥ ,Zk = Zνk ,−1/4, Zgk = Zh−1 Z⊥−5/4Zk.(5.8)После вычисления ренормировочных констант Z1 , Zk и Z⊥ из диаграмм, константы в (5.7) находятся из соотношений (5.8).

Характеристики

Список файлов диссертации