Диссертация (1149198), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Она отражает детали статистикиполя скорости, потерянные в пределе белого шума; см. обсуждение в [23].В рассматриваемом случае δ-функцию в (1.9) следует понимать как предел некоторой «узкой» функции, которая обязательно симметрична поt, t0 , так как обсуждается парный коррелятор. Таким образом, неопределенность в (3.26) должна быть недвусмысленно разрешена как полусуммапределов: θ(0) = 1/2.
Подынтегральная функция возникающего в итогеинтеграла по k в (3.25) имеет нечетную часть, которую можно отбросить,и четную, которая дает:hh0 hi1−непр µ ξ (d − 1 + α) ŵ.= −κp2 Z2 +ξ m2d(3.27)Тем самым, в однопетлевом приближении получается Z2 = Z3 .Нет необходимости детально обсуждать вычисление Z1 : первая диаграмма сводится к скалярному интегралу (3.19) с y = ε сразу после интегрирования по частоте. Аналитическое выражение для второй диаграммыаналогично (3.21) с точностью до замены pi pj → ki kj , так что остаетсятолько вклад от продольного проектора. Это приводит к замене (d − 1 +α)/2d → α. Собрав все вклады вместе и учтя симметрийный коэффициент1/2 для первой диаграммы, можно получить:1 ĝ µ εŵ µ ξ0 0hh h i1−непр = D Z1 ++α,8ε m2ξ m(3.28)где ĝ = gSd /(2π)d . В результате для всех трех констант получаем:Z1 = 1 −1αĝ − ŵ,8ε2ξZ2 = Z3 = 1 −ŵ d − 1 + α.ξ2d(3.29)Обсудим возможные УФ расходимости в функции hh0 vi1−непр с контрчленом h0 ∂i vi .
Единственная однопетлевая диаграмма для этой функ-58Рис. 3.2. Однопетлевой вклад в функцию hh0 vi1−непр .ции показана на Рис. 3.2. Несложно убедиться в том, что соответствующееаналитическое выражение почти идентично тому, которое получилось дляпервой диаграммы в функции (3.15): последняя отличается только дополнительным множителем pj . Тем самым, обсуждаемая диаграмма также УФконечна и не вызывает появления соответствующего контрчлена.3.3.РГ уравнения и РГ функцииПо общим правилам (см. Раздел 2.4) из явных выражений (3.29) по-лучаем с возможными поправками порядка ĝ 2 , ŵ2 , ŵĝ и выше:γ1 = ĝ/8 + αŵ/2,γ2 = γ3 = ŵd−1+α,2d(3.30)где ĝ и ŵ были определены ранее.При использовании MS схемы в однопетлевом приближении нужноделать замену d = 2.
Однако здесь и везде далее d будет удерживаться ввиде d = 2 − ε (см. конец Раздела 2.3).Из соотношений (5.17) мы находим,: γg = γ1 − γ2 , γw = −γκ = γ2 , такчтоβg = g (−ε − γg ) = g (−ε − γ1 + γ2 ),βw = w (−ξ − γw ) = w (−ξ − γ2 ).(3.31)Подставляя явные выражения (3.30), мы приходим к явным однопетлевым59выражениям для β-функций:ĝ(d − 1)(α − 1)βg = g −ε − + ŵ,82d(d − 1 + α)βw = w −ξ + ŵ,2d(3.32)где возможны поправки порядка ŵ2 и так далее. Стоит отметить, что однопетлевой результат (3.32) для βw становится точным при g = 0 (см.,например, [100]), тогда как результат для βg становится точным при w = 0(как следует из анализа в [60]).3.4.Неподвижные точки и скейлинговые режимыИз уравнений (3.32) следует (см. Раздел 2.5), что в рассматривае-мой модели четыре неподвижных точки. Так как ∂g βw = 0, матрица Ωтреугольная в каждом случае, и ее собственные числа просто даются диагональными элементами Ωg = ∂βg /∂g и Ωw = ∂βw /∂w.Неподвижные точки следующие:1.
Гауссова (свободная) неподвижная точка:g∗ = w∗ = 0;Ωg = −ε,Ωw = −ξ(все эти выражения точные).2. Неподвижная точка чистой КПЗ модели:w∗ = 0 (точный результат во всех порядках),ĝ∗ = −8ε;Ωg = ε,Ωw = −ξ.Точка соответствует режиму, в котором, хотя и есть взаимодействие с полем скорости, оно не влияет на ведущий порядок ИК асимптотического60поведения (оно несущественно в смысле Вильсона).3.
Неподвижная точка чистой модели Крейчнана с мелкомасштабным перемешиванием:g∗ = 0 (точно),Ωg = −ε + ξ −ŵ∗ =dα ξ,(d − 1 + α)2d ξ;(d − 1 + α)Ωw = ξ (точно)Точка соответствует режиму, в котором нелинейность КПЗ несущественнав смысле Вильсона.4. Неподвижная точка, соответствующая новому нетривиальному ИК скейлинговому режиму (классу универсальности), в котором нелинейность модели (3.3) и турбулентное перемешивание важны одновременно. :)(2dξdα ξ, ŵ∗ =;ĝ∗ = 8 −ε + ξ −(d − 1 + α)(d − 1 + α)Ωg = ε − ξ +dα ξ,(d − 1 + α)Ωw = ξ (точно).На рис.
3.3 показаны области ИК устойчивости для всех неподвижных точек на плоскости ε–ξ: темная область для гауссовой точки, горизонтальные полосы для точки КПЗ, вертикальные полосы для точки Крейчнана и светло-серая область для нового режима. В этих областях оба собственных числа матрицы (2.36) для данных неподвижных точек положительны.В однопетлевом приближении (3.31) все границы областей устойчивости – прямые линии.
Между разными областями нет ни пустот, ни пересечений. Такая картина – характерная особенность приближения главного61Рис. 3.3. Области устойчивости неподвижных точек модели (3.3).порядка. Границы ε < 0, ξ < 0 для точки 1, ε > 0 для точки 2 и ξ > 0 дляточки 3 – точные, тогда как на остальные могут повлиять поправки старших порядков, т.е.
границы могут искривляться, а пустоты и пересечения– появляться между разными областями ИК устойчивости.Главное качественное заключение, которое можно сделать из этой схемы, – это то, что для малых α и наиболее реалистичных значений d = 1или 2 и ξ = 4/3 или 2, ИК асимптотическое поведение управляется Крейчнановской неподвижной точкой. Однако, по мере того, как степень сжимаемости α возрастает, область устойчивости новой точки становится шире и,наконец, поглощает реалистичные значения ε и ξ. Действительно, границамежду областями 3 и 4 зависит от α. Когда α растет, граница вращаетсяпротив часовой стрелки и при α → ∞ приближается к лучу ε = (1 − d)ξ.Таким образом, для d = 1 она стремится к вертикальному лучу ε = 0,ξ > 0, а для d = 2 – к лучу ε = −ξ, ξ > 0; см.
рис. 3.4 (заметим, что для62d = 2 граница становится вертикальной при α = 1).Рис. 3.4. Граница между областями 3 и 4 движется против часовой стрелкис ростом сжимаемости α, пока не достигает луча ε = −ξ (для d = 2).Следует помнить, однако, что результаты, связанные с границей между областями 3 и 4, могут быть подвержены влиянию вкладов старших порядков. Стоит также отметить, что интерпретация неподвижной точки 4приводит к той же проблеме, что и интерпретация точки КПЗ: когда онаИК притягивающая, координата g∗ лежит в нефизической области g∗ < 0.3.5.Критические размерностиИз таблицы 3.1 для размерностей полей мы находим (см. Раздел 2.6):∆h = −2 + ∆ω + γh∗ ,∆h0 = (d + 2) − ∆ω + γh∗ .Тогда соотношения (5.17) дают∆ω = 2 − γ2∗ ,∆h = −γ2∗ + γ3∗ ,∆h0 = d + γ2∗ − γ3∗ .Наконец, подставляя явные однопетлевые выражения (3.30), находим, что∆h = 0,∆h0 = d,∆ω = 2(3.33)63для неподвижных точек 1 и 2 и∆h = 0,∆h0 = d,∆ω = 2 − ξ(3.34)для неподвижных точек 3 и 4.
Для точек 1–3 эти выражения точные; см.замечание под уравнением (3.32). Для точки 4 размерности полей могутизмениться при учете вкладов старших порядков при сохранении точногоусловия ∆h + ∆h0 = d, а выражение для ∆ω – точное благодаря второмусоотношению в (3.31).В традиционных обозначениях (1.1) ∆h = −χ и ∆ω = z. Однако,n-ый порядок структурной функции Sn в (1.1) – это не просто обычнаяn-хвостая функция Грина базовых полей h(x): это сумма функций парных корреляторов hhs (x)hq (0)i составных полей (“составных операторов” вквантовополевой терминологии) hn (x). Ренормировка таких величин требует отдельного анализа, однако, он довольно прост в настоящем случае.Полная каноническая размерность 1-неприводимой функции ГринаΓ = hF Φ . .
. Φi1−непр с одним составным оператором F и произвольнымчислом базовых полей Φ = {h, h0 , v} в нашей модели – это [2]:dΓ = dF − dh Nh − dh0 Nh0 − dv Nv ,где Nh , Nh0 , Nv – числа соответствующих полей, входящих в функцию Γ,dh,h0 ,v – их канонические размерности, и dF – каноническая размерность F .Формальный индекс расходимости: δΓ = dΓ |ε=ξ=0 ; поверхностные расходимости могут присутствовать в Γ, если δΓ – неотрицательное целое число.Из таблицы 3.1 для F = hn находим, что dF = 0 и δΓ = −2Nh0 − Nv .Таким образом, расходимости, на первый взгляд, могут быть во всех функциях Γ = hhn h .
. . hi1−непр с Nh0 = Nv = 0, произвольным Nh и δΓ = 0.64Однако, любая нетривиальная диаграмма такой функции содержит хотябы одну внешнюю вершину h0 (∂h)2 или h0 (v∂)h, где поле h входит под знаком производной. Таким образом, по крайней мере один внешний импульсвозникает в диаграмме как общий множитель, реальный индекс δΓ0 отрицателен, и поверхностные расходимости на самом деле отсутствуют.Это означает, что все операторы F = hn не ренормируются и их критические размерности просто даются выражением ∆F = n∆h . Это обосновывает соотношение (1.1) с размерностями (3.33), (3.34).654. Модель Хуа-Кардара под воздействием ансамбляАвельянеды-Майда4.1.Квантовополевая переформулировкаСтохастическая задача (1.3), (1.4) с учетом турбулентного перемеши-вания, описываемого ансамблем Авельянеды-Майда (1.12)-(1.13), эквивалентна квантовоплевой модели набора полей Φ = {h0 , h, v} с функционалом действия (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
