Диссертация (1149198), страница 13
Текст из файла (страница 13)
(6.51)106В отличие от критических размерностей ∆h и ∆k , соотношение (6.50) универсально и может проверяться на эксперименте (например, зная одну изкритических размерностей, можно вычислить вторую и т.п.).107ЗаключениеВ данной работе был рассмотрен ряд моделей неравновесного критического поведения: модель Кардара-Паризи-Занга (1.2), описывающая ростграницы раздела фаз/сред, и ее анизотропное обобщение – модель Вольфа(1.5); стохастическая модель Хуа-Кардара физической системы с самоорганизованной критичностью (1.4); модель эрозии ландшафтов (1.6) и еемодификация (1.7). При рассмотрении моделей учитывалось турбулентноедвижение среды, описываемое ансамблем Казанцева-Крейчнана (1.9) илиего анизотропным обобщением – ансамблем Авельянеды-Майда (1.12).Исследование модели Кардара-Паризи-Занга при описании турбулентного перемешивания ансамблем Казанцева-Крейчнана показало, что задача о росте границы раздела фаз может быть переформулирована какмультипликативно ренормируемая модель с функционалом действия (3.1).Квантовополевой РГ анализ позволил обнаружить, что, в зависимости ототношения между критическими показателями ξ и пространственной размерностью d, система демонстрирует различные типы ИК поведения, связанного с четырьмя возможными неподвижными точками РГ уравнений.
Вдополнение к известным режимам (обыкновенная диффузия, обыкновенный процесс роста и пассивное адвективное скалярное поле), было установлено существование нового неравновесного класса универсальности. Практические вычисления координат неподвижных точек, их областей устойчивости и критических размерностей были выполнены в ведущем порядке108двойного разложения по ξ и ε = 2 − d (однопетлевое приближение).
Былопоказано, что для несжимаемой жидкости наиболее реалистичные значения ξ и d относятся к классу универсальности пассивного скалярного поля,в котором нелинейность модели Кардара-Паризи-Занга несущественна. Если степень сжимаемости α становится достаточно большой, то происходитсмена типа ИК поведения, и значения d и ξ попадают в область устойчивости нового режима. Тем не менее, в новом классе универсальности(как и для модели Кардара-Паризи-Занга) координаты неподвижной точки лежат в нефизичной области g∗ < 0, которая отвечает “неправильному”отрицательному знаку амплитуды парного коррелятора (1.3).
Таким образом, он требует аккуратной физической интерпретации. В этой связиможно вспомнить, что в формализме Дои–Пелити [108–112], где исходнаямикроскопическая задача формулируется в терминах операторов рождения и уничтожения, члены, квадратичные по полям отклика, могут появляться в функционалах действия с отрицательными знаками; см., например [111, 112].Стохастическая задача о физической системе с самоорганизованнойкритичностью, описываемой моделью Хуа-Кардара, также может быть переформулирована как мультипликативно ренормируемая модель с функционалом действия (4.1). Для этой задачи поле скорости моделировалось ансамблем Авельянеды-Майда. У возникших РГ уравнений оказалось несколько ИК притягивающих неподвижных точек, соответствующих обыкновенной диффузии, пассивному адвективному скалярному полю и классу универсальности модели Хуа-Кардара без включения поля скорости.
Областиустойчивости этих точек в плоскости параметров модели d и ξ, а также109критические размерности основных полей и параметров были вычисленыточно. В частном случае, когда ξ = 2(4 − d)/3, возникает еще один тип ИКповедения, в котором нелинейность задачи и перемешивание существенныодновременно.Были рассмотрены две модели случайного анизотропного роста границы раздела фаз – модель Вольфа и ее обобщение при включении поляскорости, описываемого ансамблем Авельянеды-Майда. Оказалось, что обемодели могут быть переформулированы как мультипликативно ренормируемые модели с функционалами действия (5.1) и (5.21).
КвантовополевойРГ анализ показал наличие ряда неподвижных точек РГ уравнений в обеихмоделях.В модели без включения поля скорости в дополнение к неподвижнойустойчивой точке изотропной модели Кардара-Паризи-Занга появилась новая ИК устойчивая точка. Найденные неподвижные точки оказались в качественном согласии с результатами Вольфа [58] (при d = 2 ) и работы [73](при d 6 2).В отличие от модели Кардара-Паризи-Занга, включение поля скорости привело к нарушению устойчивости неподвижных точек модели Вольфа в отсутствии адвекции. Новые неподвижные точки для d = 2 оказалисьИК неустойчивыми. Таким образом, по крайней мере, в рамках главногоприближения и пертурбативного подхода скейлинговое поведение оказалось невозможным.Исследование модели эрозии ландшафтов квантовополевой РГ показало, что она не ренормируема.
На основе этой модели была построенановая (1.7), которую можно было переформулировать как ренормируемую110квантовополевую модель с бесконечным числом независимых ренормировочных констант (и, таким образом, бесконечным числом констант взаимодействия). Однопетлевой контрчлен был получен в явном виде. Была найдена поверхность неподвижных точек РГ уравнений, которая, вероятно, содержит область или области ИК устойчивости. Действительно,результаты экспериментов (см.
Раздел 1.1.4) свидетельствуют о наличиидвух широких диапазонов значений критического показателя огрубления(жесткости), что может объясняться наличием двух разных областей ИКустойчивости.На модель (1.7) можно наложить условие, что функция V (h) в (1.7)нечетна, тогда двумерная поверхность неподвижных точек перейдет в кривую. Из соображений симметрии и из явного выражения для контрчлена (6.39) видно, что эта модель ренормируема.
Нужно просто положитьвсе нечетные константы взаимодействия и соответствующие β-функции в(6.44) равными нулю.Если поверхность неподвижных точек действительно содержит области ИК устойчивости, тогда модель проявляет скейлинговое поведение.Соответствующие критические показатели оказываются неуниверсальными, так как они зависят от координат неподвижной точки на поверхности(кривой).
Тем не менее, они удовлетворяют определенному точному соотношению.При включении поля скорости, описываемого ансамблем АвельянедыМайда, также можно получить однопетлевой контрчлен в явном виде. Вместо одной поверхности неподвижных точек РГ уравнений, в этом случаевозникает две двумерные поверхности (одна из которых совпадает с поверх-111ностью, полученной для модели без включения скорости, и соответствуеттипу поведения, при котором перемешивание несущественно), вероятно,содержащие области ИК устойчивости. При их наличии модель проявляет скейлинг с неуниверсальными критическими показателями, подчиняющимися точному и универсальному соотношению. Это соотношение можетпроверяться экспериментально.112БлагодарностиАвтор выражает признательность Николаю Викторовичу Антоновуза научное руководство, плодотворную совместную работу и непрекращающуюся поддержку.Автор также хочет поблагодарить Владимира Дмитриевича Ляховского за научное руководство во время обучения автора в магистратуреи привитие любви к теоретической физике, а также Антона АндреевичаНазарова за неоценимую помощь при написании магистерского диплома.Автор выражает благодарность Лорану Цолаковичу Аджемяну, Михалу Гнатичу, Ирине Ивановне Ляховской, Александру Манашову, Максиму Александровичу Матвееву, Михаилу Юрьевичу Налимову, МаксимуВладимировичу Полякову, Ольге Викторовне Постновой, Алле НиколаевнеСеменовой, сотрудникам кафедры Физики высоких энергий и элементарных частиц Санкт–Петербургского Государственного Университета за годыпреподавания и наставлений, в особенности Михаилу Вульфовичу Иоффе, Михаилу Владимировичу Компанийцу, Юрию Михайловичу Письмаку, Сергею Александровичу Пастону, Николаю Михайловичу Гулицкому иАнтону Андреевичу Шейкину.Автор также хочет поблагодарить Эллу Валерьевну Иванову, Александра Сергеевича Капустина, Марию Михайловну Костенко, Никиту Михайловича Лебедева, Илью Валерьевича Пусенкова, Елизавету НиколаевнуСеменову.113Автор выражает благодарность Борису Федоровичу Борисову, Валентине Владимировне Боженюк, Татьяне Николаевне Ведерниковой, Тамаре Михайловне Грибовой, Константину Михайловичу Калманову, ЕленеЛьвовне Лебедевой, Владимиру Владимировичу Суханову за привитие любви к математике и физике.Автор выражает признательность организаторам конференций“Mathematical Modeling and Computational Physics 2015”, “Мodels in quantumfield theory 2015”, “Science and Progress”, “9th International Seminar on HighEnergy Physics 2016”, “The 8th European Postgraduate Fluid Dynamics Conference”и организаторам Международных школ по субатомной физике в Эриче иЗимних школ Петербургского института ядерной физики, а также фондамDAAD, РФФИ и СПбГУ за финансовую поддержку.Автор также благодарна друзьям, членам семьи и всем тем, кто помогал и морально поддерживал.114Литература1.Zinn-Justin, J.
Quantum Field Theory and Critical Phenomena / J. ZinnJustin. — Oxford: Clarendon, 1989.2.Васильев, A. Н. Квантовополевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике / A. Н. Васильев. — СПб:ПИЯФ, 1998.3.Amit, D. J. Field Theory, the Renormalization Group, and Critical Phenomena: Graphs to Computers / D.
J. Amit, Martin-Mayor V. — 3rdedition. — Singapore: World scientific, 2005.4.Kleinert, H. Critical Properties of Phi4-Theories / H. Kleinert, V. SchulteFrohlinde. — Singapore: World scientific, 2001.5.Halpin-Healy, T. Kinetic roughening phenomena, stochastic growth, directed polymers and all that. Aspects of multidisciplinary statistical mechanics / T. Halpin-Healy, Y.-C. Zhang // Physics Reports.
— 1995. —Vol. 254, no. 4-6. — Pp. 215–414.6.Bak, P. How Nature Works: The Science of Self-Organised Criticality /P. Bak. — NY: Copernicus Press, 1996.7.Ivanov, D.Y. Critical Behavior of Non-Ideal Systems / D.Y. Ivanov. —Weinheim: WILEY-VCH Verlag GmbH and Co. KGaA, 2009. — Pp. 1–257.1158.Прудников, В.В. Теоретические методы описания неравновесного критического поведения структурно неупорядоченных систем /В.В. Прудников, П.В. Прудников, А.Н. Вакилов. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2013.9.Satten, G. Critical phenomena in randomly stirred fluids: Correlationfunctions, equation of motion, and crossover behavior / G. Satten, D. Ronis // Physical Review A.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
