Диссертация (1149198), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Последний член в (6.27) отвечает гауссову усреднению (4.2) по v с коррелятором (1.12).Модели (6.27) соответствует стандартная фейнмановская диаграммная техника с тремя затравочными пропагаторами: hvvi0 , описываемым ввыражениях (1.12), (1.13), и пропагаторами скалярных полей:hhh0 i0 = hh0 hi∗0 = {−iω + ε(k)}−1 ,−1hhhi0 = 2 ω 2 + ε2 (k),(6.28)2где ε(k) = νk2 kk2 + ν⊥2 k⊥. В модели имеется набор вершин, отвечающих вкла-дам взаимодействия −h0 ∂k V (h) и −h0 (v∂k )h. Соответствующие константывзаимодействия gn0 (n = 2, 3, . . .

) и w0 определяются соотношениями:(n+3)/4λn0 = gn0 νk0(n−1)/4ν⊥0B0 = w0 νk0 ,(6.29)так, что по размерности gn0 ∼ Λε(n−1)/2 и w0 ∼ Λξ , где Λ – характерныйУФ импульсный масштаб задачи.6.2.2.УФ расходимости и ренормировкаКанонические размерности полей и параметров в модели (6.27) приведены в таблицах 6.1 и 6.2; модель логарифмична, когда все константывзаимодействия gn0 и w0 одновременно безразмерны, т.е. при d = 2 и ξ = 0.Стоит отметить, что при d = 2 полная каноническая размерность поля hобращается в нуль.

УФ расходимости предстают в виде полюсов по ε, ξ и,в общем случае, по всем их линейным комбинациям.99Таблица 6.2. Канонические размерности новых параметров в модели (6.27).FvB, B0 w0 wdωF1100d⊥F0ξξ0dFk−1−200dF1ξξ0Интегрированием по частям можно перенести производную в вершине h0 ∂k2 V (h) на h0 . Производную в вершине −h0 (v∂k )h можно перенестилибо на h, либо на h0 . Это означает, что реальный индекс расходимостиδΓ0 оказывается равен δΓ − Nh0 (см.

Раздел 2.3). Более того, h0 возникает всоответствующем контрчлене только под знаком производной ∂k h0 .Из таблиц 6.1, 6.2 и выражения (2.18) можно получить:δΓ0 = δΓ − Nh0 = 4 − 3Nh0 − Nv .(6.30)Простой анализ выражения (6.30) показывает (см. Раздел 3.2), чтоповерхностные УФ расходимости могут присутствовать только в 1-неприводимых функциях вида hh0 h . .

. hi1−непр с контрчленами (∂k2 h0 )hn , n ≥ 1.Так как все члены вида (∂k2 h0 )hn присутствуют в действии (6.27), модель (1.7) с включением поля скорости мультипликативно ренормируема(в обобщенном смысле, см. Раздел 6.1.2). Ренормированное действие выглядит следующим образом:(SR (Φ) = h0 h0 +h0−∂t h − v∂k h + ν⊥ ∂⊥2 h + Zk νk ∂k2 h + ∂k2∞XZn λn hnn=2n!)+Sv .(6.31)Здесь νk и λn – ренормированные аналоги затравочных параметров (с ниж-100ним индексом “o”). Последний член действия Sv не нужно ренормировать– так как отсутсвует соответствующий контрчлен – и то же самое вернодля ν⊥ , т.е. ν⊥ = ν⊥0 .Ренормировочные константы Zk , Zw , и Zn зависят только от полностью безразмерных параметров gn и w и поглощают все полюса по ε и ξ.Для затравочных зарядов w0 , g0 = {gn0 }, затравочных параметров λn0 , полностью безразмерных ренормированных зарядов w, g = {gn } (n = 2, 3, .

. . )и ренормированных параметров νk , B, λn справедливы следующие соотношения:(n+3)/4λn0 = gn0 νk0(n−1)/4ν⊥0,(n+3)/4λn = gn νkB0 = νk0 w0 ,(n−1)/4 ε(n−1)/2ν⊥µ,B = νk wµξ .(6.32)(6.33)Как обычно, µ здесь – ренормировочная масса.Ренормированное действие (6.31) получается из исходного (6.27) ренормировкой параметров (ренормировки полей h, h0 , v и параметра ν⊥ нетребуется):νk0 = νk Zk ,gn0 = µε(n−1)/2 gn Zgn ,λn0 = λn Zn ,w0 = wZw µξ .(6.34)Ренормировочные константы в выражениях (6.31) и (6.34) связаныследующим образом:−(n+3)/4Zgn = Zn Zk,Zw Zk = 1.(6.35)Как и в ранее рассмотренном случае (см. Раздел 6.1.2) можно получить явное однопетлевое выражение для контрчлена, несмотря на то,что модель (1.7) с включением поля скорости содержит бесконечно многоконстант взаимодействия.101Матрицы W и W0 из (6.10)-(6.11) теперь будут матрицами 3 × 3, отвечая набору полей Φ = {h, h0 , v}. Используя разложение для функции V (h)(6.12) и обозначения из Раздела 6.1.2, можно получить для матрицы W(при условии, что Z = 1, v = 0) следующее формальное выражение:2 000T0−∂k h · V L −∂k h (6.36)W =L−2 ∂k h 0h ∂k∂k h Dv−d+1−ξиз (1.13); L ≡ ∂t − νk ∂k2 − ν⊥ ∂⊥2 − ∂k2 V 0 , игде Dv (k) = 2πδ(kk )B0 k⊥LT ≡ −∂t − νk ∂k2 − ν⊥ ∂⊥2 − V 0 ∂k2 – транспонированный оператор.Варьируя матрицу W по h0 , получаем с точностью до УФ конечнойчастиZ1dx ∂k2 h0 (x) R(h(x)) ' − (−D(hh) V 00 ∂k2 h0 + D(hv) ∂k h0 + D(vh) ∂k h0 ) ≡2Z1≡−dx (−D(hh) V 00 (h(x)) ∂k2 h0 (x) + D(hv) ∂k h0 (x) + D(vh) ∂k h0 (x)), (6.37)2где Dij = (W −1 )ij при h0 , v = 0 (эти поля принимаются равными нулю вW −1 , так как содержащие их вклады не входят в расходящуюся часть).

Попостроению D(hh) – обыкновенный пропагатор hhhi модели (6.31) с Z = 1и с выражением νk ∂k2 + ν⊥ ∂⊥2 + ∂k2 V 0 , подставленным вместо νk ∂k2 + ν⊥ ∂⊥2 .Проведя вычисления, аналогичные выполненным в Разделе 6.1.2, можно получить для элементов D(hh) (x, x), D(hv) (x, x) и D(vh) (x, x) следующиевыражения:D(hh)Z Z(x, x) =dωdk22 + k 2 V 0 ]2 =(2π)d+1 ω 2 + [νk kk2 + ν⊥ k⊥kSd µ−ε1p=+ ...,d(2π) εν⊥ (νk + V 0 )102D(hv) (x, x) = ∂k hD(vh) (x, x) = ∂k hDZ ZZ Z(hv)B0 δ(kk )dωdk,d−1+ξ2 + k2V 0)(2π)d k⊥(iω + νk kk2 + ν⊥ k⊥kB0 δ(kk )dωdk,d−1+ξ2 + k2V 0)(2π)d k⊥(−iω + νk kk2 + ν⊥ k⊥k(x, x) + D(vh)Sd−1 µ−ξ(x, x) = ∂k hB0 + . .

. , (6.38)(2π)d−1 ξгде многоточие означает УФ конечную часть, Sd из (3.20), а m−ε был заменен на µ−ε , так как (m/µ)ε ∼ 1. Подставляя (6.37) и (6.38) в (6.10), длярасходящейся части Γ1 (Φ) можно получить:ZSd µ−εV 00 (h(x))Γ1 (Φ) '∂k2 h0 (x) −dx pd02(2π) εν⊥ (νk + V (h(x)))ZSd−1µ−ξ−B0dx ∂k2 h0 (x)h.d−12(2π)ξ(6.39)Найти однопетлевые вклады вида 1/ε и 1/ξ во всех константах Z можноиз требования, что сумма (6.39) и беспетлевых вкладов в (6.10) не имеетполюсов по ε, ξ (они сокращают друг друга).Введем представление (6.17) для тейлоровского разложения подынтегрального выражения в (6.39).

Объединяя описанное выше условие взаимного поглощения полюсов по ε и ξ и (6.32)-(6.35), получаемZk = 1 −r1 SdwSd−1rn Sd++...,Z=1−+ ... ,n2(2π)d ε 2(2π)d−1 ξgn 2(2π)d ε(6.40)где rn – те же коэффициенты, что были определены в формуле (6.17).6.2.3.РГ уравнения и РГ функцииВыпишем β-функции для безразмерных констант взаимодействия gnи w:e µ gn = gn [−ε(n − 1)/2 − γg ],βn ≡ Dne µ w = w [−ξ − γw ].βw ≡ D(6.41)103e µ в (6.41) принимает видОператор Deµ =DXXeDµ gn ∂gn + βw ∂w =βn ∂gn + βw ∂w ,nnПоэтому для того, чтобы получить необходимую точность, достаточно учестьтолько первые вклады β-функций (6.41).

Это значит, чтоe µ ' − ε Dg − ξDw ,D2Dg =∞X(n − 1)Dgn .(6.42)n=2Применяя это к (2.20), (6.40) и (6.41), можно получить следующееоднопетлевое приближение для РГ функций:γk = aDg r1 /2 − bw,a≡Sd,2(2π)db≡Sd−1;2(2π)d−1βw = −ξw + wγk ;βn = −εn+3an−1gn +gn γk − (Dg − n + 1)rn .242(6.43)(6.44)Явные выражения для первых четырех коэффициентов rn находятся из определений (6.6), (6.12), (6.17) (в согласии с результатами Раздела6.1.3):1r1 = g3 − g22 ,233r2 = g4 − g2 g3 + g23 ,243915r3 = g5 − 2g2 g4 − g32 + g22 g3 − g24 ,2285154575105 5r4 = g6 − g2 g5 + g22 g4 − 5g3 g4 + g2 g32 − g23 g3 +g ,224416 2при подстановке в (6.44) они дают:a(2g3 − g22 ) − bw,(6.45)2a= −ξw + w (2g3 − g22 ) − bw2 ,(6.46)2ε 51111 3= − − bw g2 + a −g4 + g2 g3 − g2 ,(6.47)2 44832115= −ε − bw g3 + a −g5 + 2g2 g4 + 3g32 − g22 g3 + g24 (6.48)248γk =βwβ2β3104и т.д.

Напомним, что для внутренней согласованности приближения было(n−1)положено gn ∼ g2. Эти два примера – β2 и β3 – дают общее представле-ние о структуре функций (6.44) произвольного порядка.6.2.4.Неподвижные точки и скейлинговые режимыНеподвижные точки РГ уравнений можно найти (см.

Раздел 2.5) изусловий, что βw (w∗ , g∗ ) = 0, βn (w∗ , g∗ ) = 0, n = 2, 3, . . . . Первое уравнение(1)(2)2)/2)/b.βw (w∗ , g∗ ) = 0 имеет два решения: w∗ = 0 и w∗ = (−ξ +a(2g3∗ −g2∗Явная форма β-функций (6.46)-(6.48) показывает, что координаты g2∗ иg3∗ можно выбрать произвольно, тогда как оставшиеся координаты gn∗ сn > 4 будут однозначно определятся уравнениями βk (g∗ ) = 0, k > 3. Тоесть РГ уравнения (2.22) вместо набора неподвижных точек в бесконечномерном пространстве констант взаимодействия w, g ≡ {w, gn } имеют дведвумерные поверхности неподвижных точек, параметризованных значени(1)(2)2)/2)/b. Первая из этихями g2∗ и g3∗ , с w∗ = 0 или w∗ = (−ξ + a(2g3∗ − g2∗поверхностей соответствует ИК асимптотическому поведению, для которого турбулентное перемешивание оказалось несущественным, и совпадает споверхностью, полученной в Разделе 6.1.4 для модели без включения поляскорости.Согласно общему правилу [1], точка w∗ , g ∗ ≡ {w∗ , gn∗ } ИК устойчива, если все действительные части собственных чисел матрицы ωkl =∂βk /∂gl |w∗ ,g∗ (где ω11 = ∂βw /∂w|w∗ ,g∗ ) строго положительны.

Из уравнений(6.43), (6.44) можно получить эти элементы для всех значений k:ω11 = −ξ +a22g3∗ − g2∗− 2bw∗ ,2105ε11533 2ω22 = − + ag3∗ − g2∗ − bw∗ ,248421 23ω33 = −ε + a 6g3∗ − g2∗− bw∗ ,42а для всех n > 4 имеемωnn = −εn−1(n + 1)2 + 2n(3n + 4) + 3 2n+3+ag3∗ − ag2∗ −bw∗ .2484Для наиболее реалистичных значений ε и ξ (0 и 2), существуют области, где все эти величины одновременно положительны. Это только необходимое условие; тем не менее, можно предположить, что эти поверхностинеподвижных точек w∗ , g∗ содержат области ИК устойчивости. Если этодействительно так, модель может проявлять ИК скейлинг с неуниверсальными (т.е.

зависящими от параметров g2∗ и g3∗ ) критическими размерностями.6.2.5.Критические размерностиКритическая размерность ∆F произвольной величины F дается следующим выражением (см. Раздел 2.6):kω∗∆F = d⊥F + dF ∆k + dF ∆ω + γF ,∆ω = 2 − γ⊥∗ ,∆k = 1 + γk∗ /2. (6.49)(т.к. параметр ν⊥ не ренормируется, γ⊥∗ = 0). В рассматриваемом случаедля F = h справедливо γh∗ = 0, в силу того что поле h не ренормируется.Соотношения (6.49) вместе с таблицами 6.1, 6.2 дают точный результат:2∆h = d − 1 + ∆k − ∆ω .(6.50)Из (6.45) можно найти в однопетлевом приближении:2∆k = 1 + a(2g3∗ − g2∗)/4 − bw∗ /2,2∆h = a(2g3∗ − g2∗)/8 − bw∗ /4.

Характеристики

Список файлов диссертации