Диссертация (1149198), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Раздел 2.2):()∞nXλn0 hS(Φ) = h0 h0 + h0 −∂t h + ν⊥0 ∂⊥2 h + νk0 ∂k2 h + ∂k2.(6.1)n!n=2(D0 в (1.3) был положен равным 2.) В модели имеется набор вершин видаh0 ∂k2 V (h).Модели (6.1) соответствует стандартная фейнмановская диаграммнаятехника с двумя затравочными пропагаторами:hhh0 i0 = hh0 hi∗0 = {−iω + ε(k)}−1 ,−1hhhi0 = 2 ω 2 + ε2 (k),(6.2)2где ε(k) = νk2 kk2 + ν⊥2 k⊥.Роль констант взаимодействия играет набор параметров(n+3)/4gn0 = λn0 / νk0(n−1)/4ν⊥0(6.3)89так, что по размерности gn0 ∼ Λε(n−1)/2 , где Λ – характерный УФ импульсный масштаб задачи.6.1.2.УФ расходимости и ренормировкаКанонические размерности полей и параметров в модели (6.1) представлены в таблице 6.1.Таблица 6.1. Канонические размерности полей и параметров в модели (6.1)Fh0hdωF1/2−1/21dFk1/21/2d⊥Fd−12d−12dFd/2 + 1 −ε/2ν⊥0 , ν⊥ νk0 , νkλn0gn0gn m, µ1n+120000−2− n+32000−20(d−1)(1−n)2ε(n − 1)/20100ε(n − 1)/2 ε(n − 1)/201По таблице 6.1 видно, что все константы взаимодействия gn0 одновременно становятся безразмерными при ε ≡ 2 − d = 0.

Это значит, что d = 2– верхнее критическое значение пространственной размерности в модели(1.7). При этом значении d полная каноническая размерность поля h равнанулю. Как будет показано ниже, это приводит к значительным изменениям в процедуре ренормировки. Это также значит, что УФ расходимости вфункциях Грина полномасштабной модели предстают в виде полюсов поε, играющему роль формального малого параметра в РГ разложениях.С помощью интегрирования по частям производная в вершине h0 ∂k2 V (h)переносится на h0 . Это означает, что любое появление h0 в какой-либо функции Γ приводит к появлению соответствующих внешних импульсов, и реальный индекс расходимости оказывается равен δΓ0 = δΓ − 2Nh0 (см. Раздел902.3).

Более того, h0 появляется в соответствующем контрчлене только подзнаком производной ∂k2 h0 .Из таблицы 6.1 и выражения (2.17) получаем:δΓ0 = δΓ − 2Nh0 = 4 − 4Nh0 .(6.4)Простой анализ выражения (6.4) показывает (см. Раздел 3.2), что поверхностные УФ расходимости могут присутствовать только в 1-неприводимых функциях вида hh0 h .

. . hi1−непр с контрчленами (∂k2 h0 )hn (для любого n ≥ 1). Действительно, все прочие контрчлены (например, h0 h0 , h0 ∂t h,h0 ∂⊥2 h) не нужны, т.к. соответствующие вклады в 1-неприводимые функцииконечны.Так как все члены вида (∂k2 h0 )hn присутствуют в действии (6.1), модель (1.7) формально мультипликативно ренормируема и к ней можно применять аппарат РГ. Более того, в том же смысле модель (1.6) не может бытьмультипликативно ренормируемой, так как контрчлены (∂k2 h0 )hn (n ≥ 1)появляются независимо от того, на каком члене обрывается ряд V (h) в(1.7).Стоит отметить, что хотя модель (1.7) ренормируема лишь формально (бесконечный набор контрчленов (∂k2 h0 )hn , n ≥ 1, требует при ренормировке возникновения бесконечного набора констант ренормировки), она нелишена предсказательной силы. Изучение модели может позволить получить универсальные величины или соотношения, не зависящие от нормировочных условий, накладываемых на константы ренормировки.Ренормированное действие может быть записано в форме:)(∞nXZn λn h, (6.5)SR (Φ) = h0 h0 + h0 −∂t h + Z⊥ ν⊥ ∂⊥2 h + Zk νk ∂k2 h + ∂k2n!n=291где ν⊥ , νk и λn – ренормированные аналоги затравочных параметров (снижним индексом “o”).

Ренормировочные константы Z⊥ , Zk и Zn зависяттолько от полностью безразмерных параметров gn и поглощают все полюсапо ε. Затравочные заряды g0 = {gn0 } и полностью безразмерные ренормированные заряды g = {gn } (n = 2, 3, . . . ) выражаются через затравочныепараметры λn0 и ренормированные параметры λn следующим образом:(n+3)/4 (n−1)/4 ε(n−1)/2µ,ν⊥(n+3)/4 (n−1)/4,ν⊥0λn = gn νkλn0 = gn0 νk0(6.6)где µ – ренормировочная масса.Ренормированное действие (6.5) получается из исходного (6.1) ренормировкой параметров (ренормировки полей h, h0 не требуется):νk0 = νk Zk ,ν⊥0 = ν⊥ Z⊥ ,gn0 = µε(n−1)/2 gn Zgn ,λn0 = λn Zn .(6.7)Ренормировочные константы в уравнениях (6.5) и (6.7) связаны следующим образом:−(n+3)/4Zgn = Zn Zk−(n−1)/4Z⊥.(6.8)Несмотря на то, что модель (1.7) содержит бесконечно много константвзаимодействия, однопетлевое выражение для контрчлена можно получитьв явном виде, выразив его формально через функцию V (h).

Рассмотримразложение производящего функционала ΓR (Φ) 1-неприводимой функцииГрина модели (1.7) по числу петель p:ΓR (Φ) =∞XΓ(p) (Φ), Γ(0) (Φ) = SR (Φ).(6.9)p=0Как известно, беспетлевой (древесный) вклад – это само действие, тогдакак однопетлевой вклад дается следующим соотношением (см., например,92[107]):Γ(1) (Φ) = −(1/2)Tr ln(W/W0 ),(6.10)где W – линейный оператор с ядромW (x, y) = −δ 2 SR (Φ)/δΦ(x)δΦ(y),(6.11)и W0 – подобное выражение для свободной части действия.

Как W , так иW0 – матрицы 2 × 2 для пары полей Φ = {h, h0 }.Требование, чтобы в (6.9) не было УФ расходимостей, вместе со схемой минимальных вычитаний приводит к однозначно определенным значениям для констант Z. Положим Z = 1 в (6.10) в однопетлевом приближении, одновременно удерживая вклады ведущего порядка в константахвзаимодействия gn в беспетлевом вкладе в константы Z; для внутреннейсогласованности считаем gn ' g2n−1 .Рассмотрим ряд Тейлора для функции V (h):V (h) =∞Xnλn0 h (x)/n!,n=2VR (h) =∞XZn λn hn (x)/n!,(6.12)n=2В дальнейшем подобные объекты будут интерпретироваться как функцииединственной переменной h(x), а V 0 , V 00 , и т.д.

– как соответствующие производные по этой переменной. В этих обозначениях матрицу W (при условии, что Z = 1) можно формально записать как2 000T−∂k h · V L W =,L−2(6.13)где L ≡ ∂t − νk ∂k2 − ν⊥ ∂⊥2 − ∂k2 V 0 и LT ≡ −∂t − νk ∂k2 − ν⊥ ∂⊥2 − V 0 ∂k2 –транспонированный оператор.93Для того, чтобы найти константы Z, нужна только расходящаясячасть выражения (6.9), которая, как было установлено ранее, имеет формуZdx∂ 2 h0 (x)R(h(x)),где функция R(h) подобна V (h). Это значит, что Tr ln в (6.10) с матрицей (6.13) нужно вычислить только в главном порядке по ее hh-элементу:−∂k2 h0 · V 00 . Это можно сделать с помощью хорошо известной формулы,справедливой для любой вариации δK: δ(Tr lnK) = Tr(K −1 δK).

Варьируятолько hh-элемент матрицы W , получаемZdx∂ 2 h0 (x)R(h(x)) ' −Tr [Dhh V 00 ∂k2 h0 ] =Z= − dx D(hh) (x, x)V 00 (h(x))∂k2 h0 (x),(6.14)где Dhh = (W −1 )hh при h0 = 0. По определению, D(hh) - обыкновенныйпропагатор hhhi модели (6.5) с Z = 1 и с выражением νk ∂k2 + ν⊥ ∂⊥2 + ∂k2 V 0 ,стоящим вместо νk ∂k2 + ν⊥ ∂⊥2 .Есть еще одно соображение, которое нужно учесть. После того, как ∂k2превращается во внешний множитель для h0 , в контрчлене остается толькологарифмически расходящаяся часть. Это значит, что при подсчете расходящейся части какой-либо диаграммы все внешние импульсы можно положить равными нулю (ИК регуляризация обеспечивается обрезанием).

Всвою очередь, это приводит к тому, что можно игнорировать неоднородность ∂k2 h0 (x) и h(x) (обе величины можно считать константами) в (6.14),когда отбираются полюса по ε.Тогда легко вычислить D(hh) (x, x) переходом к частотно-импульсномупредставлению:94D(hh)Z Z(x, x) =dωdk22 + k 2 V 0 ]2 =(2π)d+1 ω 2 + [νk kk2 + ν⊥ k⊥kSd µ−ε1p=+ ...,d(2π) εν⊥ (νk + V 0 )(6.15)где многоточие означает УФ конечную часть, Sd из (3.20), а m−ε был заменен на µ−ε , так как (m/µ)ε ∼ 1. Подставляя (6.14) и (6.15) в (6.10), получаем с необходимой точностью следующее выражение для расходящейсячасти Γ1 (Φ):Sd µ−εΓ1 (Φ) ∼2(2π)d εZV 00 (h(x))2 0dx p∂h (x)ν⊥ (νk + V 0 (h(x)))(6.16)Найти однопетлевые вклады порядка 1/ε во всех константах Z можноиз требования, чтобы сумма (6.16) и беспетлевых вкладов в (6.10) не имелаполюса по ε (они сокращают друг друга).

Введем представление∞nXV 00 (h(x))ε(n+1)/2 (n−1)/4 (n+3)/4 rn hp=µν⊥νkn!ν⊥ (νk + V 0 (h(x))) n=0(6.17)для ряда Тейлора подынтегральной части (6.16). Тогда полностью безразмерные коэффициенты rn будут полиномами по зарядам gn . Объединяяописанное выше условие взаимного сокращения полюсов по ε и (6.6)-(6.8),получаемZ⊥ = 1,Zk = 1 −r1 Sd+ ...,2(2π)d εZn = 1 −rn Sd+ ... .gn 2(2π)d ε(6.18)Выражение Z⊥ = 1 точное, так как соответствующий вклад в действие(6.1) не требует ренормировки.6.1.3.РГ уравнения и РГ функцииВыпишем β-функции для безразмерных констант взаимодействия gn :e µ gn = gn [−ε(n − 1)/2 − γg ].βn ≡ Dn(6.19)95e µ в (6.19) принимает видОператор DXXe µ gn ∂g =eµ =Dβn ∂gn .DnnnПоэтому для того, чтобы получить необходимую точность, достаточно использовать только первые вклады в β-функциях (6.19).

Это даетe µ ' − ε Dg ,D2Dg =∞X(n − 1)gn ∂gn .(6.20)n=2Вместе с (6.8), (6.18), и (6.19) это соображение приводит к следующему выражению для однопетлевых РГ функций:γk = aDg r1 /2,βn = −εa≡Sd;2(2π)dn+3an−1gn +gn γk − (Dg − n + 1)rn .242(6.21)(6.22)Явные выражения для первых четырех коэффициентов rn (нулевойчлен r0 в (6.17) не дает вклада в (6.16)) находятся из определений (6.6),(6.12), (6.17):33r2 = g4 − g2 g3 + g23 ,243915r3 = g5 − 2g2 g4 − g32 + g22 g3 − g24 ,228515 245 2 75 3105 5r4 = g6 − g2 g5 + g2 g4 − 5g3 g4 + g2 g3 − g2 g3 +g ,224416 21r1 = g3 − g22 ,2при подстановке в (6.21) они дают:a(2g3 − g22 ),2ε111= − g2 + a(−g4 + g2 g3 − g23 ),2482115= −εg3 + a(−g5 + 2g2 g4 + 3g32 − g22 g3 + g24 )48γk =β2β3(6.23)(6.24)и т.д.

Напомним, что для внутренней согласованности приближения было(n−1)положено gn ∼ g2. Эти два примера – β2 и β3 – дают общее представле-ние о структуре функций (6.44) произвольного порядка.966.1.4.Неподвижные точки и скейлинговые режимыЯвная форма β-функций (6.24) показывает, что координаты g2∗ и g3∗можно выбрать произвольно, тогда как все gn∗ с n > 4 будут однозначно определяться через них с помощью уравнений βk (g∗ ) = 0, k > 3. Этозначит, что в бесконечномерном пространстве констант взаимодействияg ≡ {gn } РГ уравнения (то есть уравнения типа (2.22)) имеют двумерную поверхность неподвижных точек, параметризованную значениями g2∗и g3∗ .В общем случае изучение этих точек – непростая задача. Напомним,что согласно общему правилу (см. Раздел 2.5), точка g∗ ИК устойчива, есливсе действительные части собственных чисел матрицы ωnm = ∂βn /∂gm |g∗строго положительны.

Необходимым условием для этого является требование, чтобы все диагональные элементы ωnn были положительны. Из уравнения (6.22) можно получить эти элементы для всех значений n:113 221 2εg3∗ − g2∗ , ω33 = −ε + a 6g3∗ − g2∗ ,ω22 = − + a2484а для всех n > 4 имеем:ωnnn−1(n + 1)2 + 2a2= −ε+ag3∗ − (n(3n + 4) + 3)g2∗.2482В области g3∗ > 7g2∗/8 + ε/6 все эти величины положительны. Конеч-но, это только необходимое условие; тем не менее, можно предположить,что поверхность неподвижных точек g∗ содержит область ИК устойчивости. Если это действительно так, модель будет проявлять ИК скейлинг снекоторыми неуниверсальными (т.е. зависящими от параметров g2∗ и g3∗ )критическими размерностями.976.1.5.Критические размерностиВ динамических моделях типа (6.1) критическая размерность ∆F произвольной величины F (поля или параметра) дается следующим выражением (см.

Раздел 2.6):kω∗∆F = d⊥F + dF ∆k + dF ∆ω + γF ,∆ω = 2 − γ⊥∗ ,∆k = 1 + γk∗ /2 (6.25)(т.к. параметр ν⊥ не ренормируется, γ⊥∗ = 0). В рассматриваемом случаедля F = h справедливо γh∗ = 0, в силу того что поле h не ренормируется.Соотношения (6.25) вместе с таблицей 6.1 дают точный результат2∆h = d − 1 + ∆k − ∆ω .(6.26)Из (6.23) можно найти в однопетлевом приближении:2∆k = 1 + a(2g3∗ − g2∗)/4,2∆h = a(2g3∗ − g2∗)/8.В отличие от критических размерностей ∆h и ∆k , соотношение (6.26) универсально и может проверяться на эксперименте (например, зная одну изкритических размерностей, можно вычислить вторую и т.п.).6.2.Модель эрозии ландшафтов под воздействием ансамбляАвельянеды-Майда6.2.1.Квантовополевая переформулировкаСтохастическая задача (1.3), (1.7) с включением поля скорости v(x) ≡{vi (x)} (которое выполняется заменой (1.8) в (1.7)) эквивалентна квантовополевой модели трех полей Φ = {h, h0 , v} с функционалом действия (см.98Раздел 2.2):(S(Φ) = h0 h0 + h0−∇t h + ν⊥0 ∂⊥2 h + νk0 ∂k2 h + ∂k2∞Xλn0 hnn=2)n!+ Sv (6.27)(D0 в (1.3) был положен равным 2).

Характеристики

Список файлов диссертации