Диссертация (1149198), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Однопетлевой76расчет проводится аналогично расчету из Раздела 3.2. Отметим несколько его интересных особенностей. Во-первых, теперь есть два типа вершинс разными вершинными множителями. Во-вторых, для вычисления инте1/21/2гралов удобно воспользоваться заменой qk = νk kk , q⊥ = ν⊥ k⊥ . К интегралам вида (3.18) нужно добавить еще один:ZZki ks kl kpδis δlp + δil δsp + δip δsldkf (k) =dk f (k).k4d(d + 2)(5.9)Также, интересен прием для сведения интегралов к виду (3.18) и (5.9):ZZqk3 q⊥qs ql qp ns nl np qip⊥ dq 6 = p⊥i dq= 0.(5.10)qq6Для удобства введем переобозначение:ssSdSdg⊥ := g⊥,g:=g,kk64(2π)d64(2π)dw :=Sd−1w,2(2π)d−1(5.11)где Sd взято из (3.20). Тогда вычисление в ведущем порядке по gk и g⊥(однопетлевое приближение) даст:8Z1 = 1 −ε5.1.3.Zk = 1 +16d−1gk (g⊥ − gk ),εd(d + 2)(5.12)Z⊥ = 1 −161g⊥ (g⊥ − gk ),εd(d + 2)(5.13)2d−13d−122g⊥ gk+ gk2+ g⊥.d(d + 2)d(d + 2)d(d + 2)(5.14)РГ уравнения и РГ функцииДля двух безразмерных констант взаимодействия gk и g⊥ модели (5.1)β-функции выглядят следующим образом:βg⊥ = g⊥ (−γg⊥ − ε/2),βgk = gk (−γgk − ε/2).(5.15)77Уравнения (5.8) приводят к соотношениям между аномальными размерностями:γg⊥ = γ1 /2 − 5γ⊥ /4 − γk /4,(5.16)γgk = γ1 /2 − γ⊥ /4 − 5γk /4.(5.17)Аномальные размерности могут быть найдены из соотношенийγg⊥ = −ε(Dg⊥ ln Zg⊥ + Dgk ln Zg⊥ )/2,γgk = −ε(Dg⊥ ln Zgk + Dgk ln Zgk )/2,(5.18)получаемых из определения аномальной размерности (см.
Раздел 2.4), выe µ в ренормированных переменных – в расражения (2.22) для оператора Dсматриваемой задаче точным выражением для DRG будетDRG ≡ Dµ + βgk ∂gk + βg⊥ ∂g⊥ − γk Dk − γ⊥ D⊥– и того факта, что константы ренормировки зависят только от двух полностью безразмерных констант взаимодействия gk и g⊥ . В соотношениях(5.18) мы оставили лишь члены ведущего порядка в β-функциях (5.15),так как этого достаточно для однопетлевого приближения.Используя MS схему в однопетлевом приближении, получаем:2γg⊥ = gk2 + 4gk g⊥ − g⊥,2γgk = g⊥+ 4gk g⊥ − gk2 ,3с точностью до поправок порядка gk3 , g⊥и т.д.(5.19)785.1.4.Неподвижные точки и скейлинговые режимыИз соотношений (5.19) мы находим:23βg⊥ = −ε/2g⊥ − 4gk g⊥− g⊥ gk2 + g⊥,2βgk = −ε/2gk − 4gk2 g⊥ − g⊥gk + gk3 ,(5.20)где возможны поправки порядка gk4 и т.п.Из уравнений (5.20) следует, что в модели (5.1) имеется девять неподвижных точек.
Пусть Ω1 и Ω2 – собственные числа матрицы Ω. Тогданеподвижные точки таковы:Рис. 5.1. Неподвижные точки модели (5.1) и ее характеристические кривые(РГ траектории – решения системы (2.29) – см. Раздел 2.5) на плоскостизарядов (g1 ≡ g⊥ , g2 ≡ gk ) для ε = 0.5. На рисунке не отмечены точки скомплексными координатами: точки (6) и (7).791. Гауссова (свободная) неподвижная точка:∗g⊥= 0, gk∗ = 0;Ω1 = −ε/2,Ω2 = −ε/2,(все эти выражения точные).2 и 3. Неподвижные точки, соответствующие режиму, в котором частьнелинейного вклада модели – 12 λ⊥0 (∂⊥ h)2 – несущественна в смысле Вильсона.∗g⊥= 0 (точно),pgk∗ = ± ε/2;Ω1 = −ε,Ω2 = ε.4 и 5. Неподвижные точки, соответствующие режиму, в котором частьнелинейного вклада модели – 12 λk0 (∂k h)2 – несущественна в смысле Вильсона.∗g⊥p= ± ε/2,gk∗ = 0, (точно);Ω1 = ε,Ω2 = −ε.6 и 7. Неподвижные точки изотропной КПЗ модели (см.
Главу 3) в переменных текущего раздела:∗g⊥= gk∗ = ±iΩ1 = ε,pε/8;Ω2 = −ε/2.В соответствующем этой точке режиме анизотропия не влияет на ИК асимптотическое поведение модели.808 и 9. Неподвижные точки:p∗g⊥= −gk∗ = ± ε/8;Ω1 = ε,Ω2 = ε/2.Чтобы нагляднее показать характер этих точек, наложим ограниче2ние g⊥ 6= 0 и сделаем замену переменных для зарядов: g1 = g⊥, g2 = gk /g⊥ .Тогда вместо девяти у нас будет три неподвижных точки:Рис.
5.2. Неподвижные точки модели (5.1) и ее характеристические кривыена плоскости зарядов (g1, g2) для ε = 0.5.1. Неподвижная точка:g1∗ = ε/2,Ω1 = ε,g2∗ = 0;Ω2 = −ε.812. Неподвижная точка изотропной КПЗ модели:g1∗ = −ε/8,Ω1 = ε,g2∗ = 1;Ω2 = −ε/2.3.
Неподвижная точка – ИК притягивающая при ε > 0:g1∗ = ε/8,g2∗ = −1;Ω1 = ε,Ω2 = ε/2.Эти результаты согласуются с полученными в [58] для случая d = 2и в [73] для случая d 6 2 (в [73] используется функциональная или “непертурбативная” РГ, поэтому при сравнении результатов нужно учитывать,что часть полученных этим методом точек может не возникать в анализе,основанном на теории возмущений).5.2.Модель Вольфа под воздействием ансамбля АвельянедыМайда5.2.1.Квантовополевая переформулировкаПолная стохастическая задача (1.3), (1.5) с учетом турбулентного перемешивания, описываемого ансамблем Авельянеды-Майда (1.12)-(1.13),эквивалентна квантовополевой модели трех полей Φ = {h, h0 , v} с функционалом действия1 0 0 011S(Φ) = h h +h −∇t h + ν⊥0 ∂⊥2 h + νk0 ∂k2 h + λ⊥0 (∂⊥ h)2 + λk0 (∂k h)2 +222+ Sv (5.21)82(D0 в (1.3) был положен равным 1.) Поле скорости вводится заменой (1.8).Последний член отвечает гауссову усреднению (4.2) по полю v с коррелятором (1.12).Диаграммы Фейнмана для полной модели (5.21) включают, в дополнение к (5.2), новый пропагатор (1.12) и новую вершину: −h0 (v∂k )h.Роль констант взаимодействия в обычной теории возмущений играюттри параметра: g⊥ и gk и w:5/51/41/45.2.2.5/4λ⊥0 = g⊥0 νk0 ν⊥0 ,λk0 = gk0 νk0 ν⊥0 ,B0 = νk0 w0 .(5.22)УФ расходимости и ренормировкаКанонические размерности полей и параметров в модели (5.21) приведены в таблицах 5.1 и 5.2; модель логарифмична при d = 2 и ξ = 0.
УФрасходимости предстают в виде полюсов по ε, ξ.Таблица 5.2. Канонические размерности новых параметров в модели (5.21).FvB, B0 w0 wdωF1100d⊥F0ξξ0dFk−1−200dF1ξξ0В вершины λk h0 (∂k h)2 /2, λ⊥ h0 (∂⊥ h)2 /2 и −h0 (v∂k )h поле h входиттолько в форме пространственной производной, из-за чего внешний импульс появляется как общий множитель. Поэтому появление h в какой-либофункции Γ приводит к понижению индекса расходимости: δΓ0 = δΓ − Nh .83Из таблиц 5.1, 5.2 и (2.18) находим для индекса расходимости (см.Раздел 2.3):δΓ0 = δΓ − Nh = 4 − Nh − 2Nh0 − Nv .(5.23)При включении поля скорости реализация галилеевой инвариантности исходной модели исчезает (см. Раздел 5.1.2), но возникает новая:h(t, x) → h(t, xk + ut),h0 (t, x) → h0 (t, xk + ut),v(t, x) → v(t, xk + ut) − un,(5.24)с произвольным постоянным параметром u.Аналогично модели без скорости (см.
Раздел 5.1.2) модель (5.21) мультипликативно ренормируема, а ее ренормированное действие выглядит следующим образом:11SR (Φ) = Z1 h0 h0 + h0 −∇t h + Z⊥ ν⊥ ∂⊥2 h + Zk νk ∂k2 h + λ⊥ (∂⊥ h)2 +2212+ λk (∂k h) + Sv . (5.25)2Ренормировка описывается соотношениями (5.7) и новым соотношением: B = νk wµξ . В дополнение к связям ренормировочных констант (5.8)возникает еще одна: Zw Zk = 1.Вычисление диаграмм дает значение для Zk , отличное от (5.12):Zk = 1 +5.2.3.d−1116gk (g⊥ − gk )−w .εd(d + 2)ξ(5.26)РГ уравнения и РГ функцииНабор РГ функций для модели (5.21) отличается от набора функций(5.15) модели без скорости (5.1) наличием еще одной β-функции:βw = w(−ξ + γk ).(5.27)84Аномальные размерности имеют следующий вид в однопетлевом приближении:2γg⊥ = gk2 + 4gk g⊥ − g⊥,2γgk = g⊥+ 4gk g⊥ − gk2 + wg⊥,gkγk = gk (g⊥ − gk ) + w.5.2.4.(5.28)Неподвижные точки и скейлинговые режимыРассмотрим неподвижные точки модели (5.21).
Из соотношений (5.28)можно найти, что23βg⊥ = −ε/2g⊥ − 4gk g⊥− g⊥ gk2 + g⊥,2βgk = −ε/2gk − 4gk2 g⊥ − g⊥gk + gk3 − wg⊥ ,βw = −ξw − wgk (g⊥ − gk ) + w2 ,(5.29)с точностью до поправок порядка gk4 и т.п. Продолжим использовать переобозначение (5.11). Под Ω3 будет пониматься третье собственное числоматрицы Ω.Неподвижные точки модели (5.21) с w∗ = 0 совпадают с точкамимодели (5.21):1.
Гауссова (свободная) неподвижная точка:∗g⊥= 0, gk∗ = 0;Ω1 = −ε/2,Ω2 = −ε/2,Ω3 = −ξ,852 и 3. Неподвижные точки:∗g⊥Ω1 = −ε,gk∗= 0,Ω2 = ε,p= ± ε/2;Ω3 = −ξ + ε/2.4 и 5. Неподвижные точки:p∗g⊥= ± ε/2,Ω1 = ε,gk∗ = 0, (точно);Ω2 = −ε,Ω3 = −ξ.Для этих точек в выражениях (5.28) возникает неопределенность w/gk . Дляее разрешения нужно аккуратно рассматривать асимптотику решения РГуравнений: в зависимости от начальных данных значение отношения w∗ /gk∗будет разным. Таким образом, критические размерности будут неуниверсальными.6 и 7.
Неподвижные точки изотропной КПЗ модели:∗g⊥= gk∗ = ±iΩ2 = −ε/2,Ω1 = ε,pε/8;Ω3 = −ξ.8 и 9. Неподвижные точки:p∗g⊥= −gk∗ = ± ε/8;Ω1 = ε,Ω2 = ε/2,Ω3 = −ξ + 16ε.При d = 2 и ξ > 0, все указанные выше точки теряют устойчивость.Таким образом, хотя эти точки соответствуют режимам, в которых поле86скорости не влияет на ведущий порядок ИК асимптотического поведения(оно несущественно в смысле Вильсона), включение скорости разрушаетих устойчивость.При w∗ 6= 0 есть три новых точки, которые также неустойчивы приd = 2 и ξ > 0:10.
Неподвижная точка:∗g⊥= −gk∗ = 0,Ω2 = −ε/2,Ω1 = ξ,w∗ = ξ;Ω3 = −ε/2.Эта точка соответствует режиму, в котором нелинейность модели (1.5)несущественна в смысле Вильсона. Для этой точки в выражениях (5.28)возникает неопределенность g⊥ /gk . Для ее разрешения нужно аккуратнорассматривать асимптотику решения РГ уравнений: в зависимости от на∗чальных данных значение отношения g⊥/gk∗ будет разным. Таким образом,критические размерности будут неуниверсальными.11 и 12. Неподвижные точки:∗g⊥= 0,pε/2,w∗ = ξ − ε/2;Ω2 = −ε,Ω3 = ξ − ε/2.gk∗ = ±Ω1 = ε,Эта точка соответствует режиму, в котором нелинейный вклад модели (1.5)– 21 λk0 (∂k h)2 – и турбулентное перемешивание одновременно существенныв смысле Вильсона.∗При w∗ , g⊥, gk∗ 6= 0 и d = 2 есть еще четыре неподвижных точки:8713-14.
Неподвижные точки:√√ξ(−2+5)gk∗ = ± i p,√−27 5 + 6115 и 16. Неподвижные точки:√√ξ(−2−5),gk∗ = ± i p √27 5 + 61√ξ,√−27 5 + 61√−72+325w∗ = ξ √;27 5 − 61∗g⊥= ±i p√ξ∗g⊥= ±i p √,27 5 + 61√72+325w∗ = ξ √;27 5 + 61Точки 13-16 не являются ИК устойчивыми.
Действительно, диагональный элемент Ω22 матрицы Ω положителен только в том случае, когда∗2∗2g⊥> 0. Однако, при 0 6 ξ 6 2 всегда верно, что g⊥6 0. Таким образом,матрица Ω не может быть положительно определенной.886. Модель эрозии ландшафтов под воздействиемансамбля Авельянеды-МайдаРассмотрим сначала модифицированную модель эрозии ландшафтов(1.7), чтобы убедиться в том, что модель (1.6) не является ренормируемой,а потом изучим (1.7) под влиянием турбулентного перемешивания.6.1.Модель эрозии ландшафтов6.1.1.Квантовополевая переформулировкаСтохастическая задача (1.3), (1.7) эквивалентна квантовополевой модели двух полей Φ = {h, h0 } с функционалом действия (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
