Диссертация (1138372), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Индексы i и t обозначают фонд и моментвремени соответственно. Переменная b i ,t означает информацию,которая доступна i-ому управляющему в момент времени t. Rmдоходность бенчмарка, соответствующего фонду. В простейшемслучае, мы можем описать задачу, стоящую перед управляющим,следующим образом: В момент времени t i-й таймер определяетзначение переменной b i ,t , после чего инвестируетb i,tпроцентовимеющегося капитала в рыночный портфель, а оставшуюся частьвкладывает в безрисковый актив, после получения результата вмомент t+1 он повторяет данную процедуру.В том случае, если задача сформулирована именно такимобразом, мы можем утверждать, что для любого набора доходностейрынка {rm ,t 1 , rm ,t 2 , rm ,t 3 } ,такихчтоrm ,t 1 £ rm ,t 2 £ rm ,t 3 ,управляющий,располагающий качественной информацией в среднем будет выбирать45большее значение b i ,t на временном интервале rm ,t 2 , rm ,t 3 , нежели наrm ,t 1 , rm ,t 2 .
При этом b i ,t на данных интервалах можно оценитьследующим образом:b i ,t 1-t 2 =b i ,t 2 -t 3 =ri ,t 2 - ri ,t 1rm ,t 2 - rm ,t 1ri ,t 3 - ri ,t 2rm ,t 3 - rm ,t 2В то же время в качестве статистики, описывающейспособности управляющего к таймингу, предлагается использованиевероятности:q = 2 Pr(ri ,t 3 - ri ,t 2r -r> i ,t 2 i ,t 1 ) - 1rm ,t 3 - rm ,t 2 rm ,t 2 - rm ,t 1Учитывая тот факт, что способность к таймингу определяетсяуместностью и точностью информации менеджера, можем записатьпрогноз рыночной доходности в терминах условного математическогоожидания:Lrm ,t + 1[= E rm ,t +1 I t]где I t - располагаемая информация в момент времени t.
Такимобразом, если I t менеджера неинформативна, а это сигнализирует оботсутствии способностей к таймингу, то прогноз будет стремиться кбезусловномураспределениеf ( r m ,t +1LматематическомуегоLоценокr m ,t +1 )= f ( r m ,t +1 ) .Приожиданию,будетэтомтосовпадатьпрогнозыестьсусловноебезусловнымменеджерамогутоказаться правдивыми или нет с одинаковой вероятностью. Так какмножество возможных исходов в данном случае состоит всего из двухэлементов, характеризующих правильное или неправильное решение46соответственно, то ситуация, когда менеджер не располагаетспособностями к таймингу, может быть описана следующим образом:LLu = Pr( r m ,t +1 > r m ,t + 2LL= 2 Pr( r m ,t +1 > r m ,t + 2rrLLm ,t + 1> r m ,t + 2 ) - Pr( r m ,t +1 > r m ,t + 2m ,t +1> r m ,t + 2 ) - 1 = 2 * 0.5 - 1 = 0rm ,t +1< r m ,t +2 ) =С другой же стороны, если управляющий является хорошимтаймером, то вероятность точного прогноза будет стремиться кединице, равно как и значение u .
Нижняя граница данного показателядостигается при минус единице, что возможно только лишь приусловии, что прогнозы менеджера всегда неверны. Таким образом, uбудет находиться в интервале [- 1;1] , и ее большее значение будетсвидетельствовать о большем уровне способностей к таймингу.Однако мы можем говорить о том, что θ является подходящейаппроксимацией для u , только лишь, если существует связь междупрогнозом rLm ,t + 1и действием b i,t , которое он должен вызывать своимпоявлением в информационном множестве таймера.Рассмотрим ситуацию, когда менеджер получает информациюI t , которая должна привести его к некоторому прогнозу относительнодоходности рынка r , то количество средств, инвестированных вLm ,t + 1рисковых актив, будет зависеть от двух основных составляющих:качества прогноза и степени агрессивности реакции управляющего нанего.
Несложно догадаться, что первая определяется умениемобращатьсяспоступившейинформацией,автораязависитисключительно от степени склонности к риску самого управляющего.Гринблатт и Титман показали, что менеджер, информацияотносительно тайминга для которого независима от пикинговойинформации и абсолютная несклонность к риску которого не47возрастает, будет реагировать на благоприятную информацию,повышая значение bi ,t [Grinblatt, Titman, 1989].
То есть:¶b i ,t>0L¶ r m ,t +1Что в результате ведет к следующему выводу:u = 2 Pr( b i ,t 1 > b i ,t 2Впредыдущемrm ,t 1+1выражении> r m ,t 2+1 ) - 1uдлямыполагали,чтоуправляющий является хорошим таймером, если он выдает хорошиепрогнозы. Сейчас же он еще должен соответствующим образом наних отреагировать. В том случае, если действует нулевая гипотеза оботсутствииспособностейктаймингу,небудетнаблюдатьсякорреляции между bi ,t и rm, соответственно, статистика будет близка кнулю, так как вероятность занять неправильную позицию будет равнавероятности противоположного исхода.
Таким образом, набор{ri ,t1 , ri ,t 2 , ri ,t 3 } будет выпуклым по отношению к рыночным доходностямтолько лишь при выполнении условия:ri ,t 3 - ri ,t 2rm ,t 3 - rm ,t 2>ri ,t 2 - ri ,t 1rm ,t 2 - rm ,t 1Поэтому можно утверждать, что статистика θ измеряетвероятность того, что выпуклая связь между доходностью фонда идоходностью рынка окажется сильней, нежели чем вогнутая.В качестве выборочного аналога θ при практическом анализеможет использоваться u-статистика с ядром три:æ nöq n = çç ÷÷è3øL-1æ ri ,t 3 - ri ,t 2ri ,t 2 - ri ,t 1 öç÷>åç÷rrrrrm ,t 1 < rm ,t 2 < rm ,t 3 è m ,t 3m ,t 2m ,t 2m ,t 1 øОтличительной чертой непараметрического теста Джиангаявляется то, что он допускает использование более гибкой реакции48менеджера на информацию, нежели тесты Трейнора и Мазуи, а такжеХенрикссона - Мертона.
Единственным необходимым ограничениемявляется требование о положительной зависимости между бетой ирыночной доходностью. Стоит отметить, что Гринблаттом иТитманом было доказано, что данное условие выполняется, еслислучайный шум в рыночной доходности распределен независимо иоднородно, информация, касающаяся тайминга, независима отинформации, используемой для пикинга, а также мера абсолютнойнесклонности к риску является невозрастающей. Однородностьраспределения случайного шума в рыночной доходности приводит ктому, что из нее исключается гетероскедастичность. Таким образом,функция реакции менеджеров будет зависеть от их степенисклонности к риску, при этом будет отсутствовать необходимость в ееточной спецификации, которая является достаточно сложной, если невключать случайные члены.При условии корректности линейной спецификации функцииреакции менеджера, предложенной Адамати, непараметрический тестДжианга приведет к тем же результатам, что и тест Трейнора и Мазуи.Если шумовой сигнал hявляется нормально распределеннойслучайной величиной, то мерой качества будет выступать величинаобратнаястандартномуотклонениюшумовойкомпоненты.Врезультате, можно получить следующий результат для любых двухподобных величин и несовпадающих моментов времени:æ rm ,t 1+1 - rm ,t 1+1q = 2 Pr( h t 2 - h t 1 < rm ,t 1+1 - rm ,t 1+1 rm ,t 1+1 > rm ,t 1+1 ) - 1 = 2Fçç2s hè,где F (.) - функция кумулятивной вероятности стандартногонормального распределения, которая монотонно убывает при ростестандартного отклонения h t , то есть при снижении точности49ö÷-1÷øожиданий управляющего.
Иными словами, если точность прогнозастремится к нулю, то же произойдет и с мерой, и наоборот. Такимобразом, в том случае, если спецификация Трейнора и Мазуиоказывается справедливой, непараметрический тест также позволитопределить хорошего таймера, однако этот вывод не имеет силы дляспецификации, предложенной Хенрикссоном и Мертоном.Способности менеджера к таймингу зависят от качестваинформации, которой он располагает и от того, насколько агрессивноон на эту информацию реагирует. В большинстве ситуацийразделение данных эффектов не представляется возможным.
В идеале,инвесторы на рынке должны выбирать менеджера с большейстепенью осведомленности, так как это гарантирует им получениеизбыточной доходности. Однако меры, предложенные Трейнором иМазуи,атакжеХенрикссономиМертоном,непозволяютидентифицировать подобного менеджера, так как во многом зависятот степени его агрессивности, но их совместное с непараметрическоймерой использование позволяет получить более полную картину.Отдельно стоит отметить, что в том случае, когда функцияреакции является линейной при использовании непараметрическоготеста,лямбды,характеризующиеагрессивностьреакцииуправляющего, будут сокращаться, что доказывает способность мерыопределитьменеджера,располагающегонаиболееполнойинформацией:))rm ,t 2 rm ,t 2 - rm ,t 1 rm ,t 1öæ r)m ,t 3 rm ,t 3 - r)m ,t 2 rm ,t 2q = 2 Pr ç l| rm ,t 1 < rm ,t 2 < rm ,t 3 ÷ - 1 =>l÷çrm ,t 3 - rm ,t 2rm ,t 2 - rm ,t 1øè))öæ r)m ,t 3 rm ,t 3 - r)m ,t 2 rm ,t 2 rm ,t 2 rm ,t 2 - rm ,t 1 rm ,t 1| rm ,t 1 < rm ,t 2 < rm ,t 3 ÷ - 1= 2 Pr ç>÷çrm ,t 3 - rm ,t 2rm ,t 2 - rm ,t 1øè50Тем не менее, открытым остается вопрос о статистическойустойчивости меры Джианга.
Так, например, Брин заметил, чтоналичиегетероскедастичностипримоделированииможетвзначительной степени влиять на результаты теста ХенрикссонаМертона [Breen et al., 1989]. Более того, в то же время Джаганатан иКоражцзик показали, что подобная мера является смещенной в силуасимметрии распределения, а также будет давать ложные результаты,если портфель менеджера содержит производные ценные бумаги[Jagannathan,Korajczyk,1986].Позже,данныйвыводбылподтвержден Гоетзманном [Goetzmann, 2000]. Если же обратитьвнимание на оценку статистики Джианга, то ее асимптотическоераспределение не подвержено влиянию гетероскедастичности иасимметрии. Исследования Абревайа и Джианга с использованиемсимуляционныхпроцедурпозволилидоказать,чтонепараметрический тест имеет точный размер для малых размероввыборок и, устойчив к включению аутлайеров, ненормальностираспределения и гетероскедастичности, которые часто имеют место врядах финансовых данных [Abrevaya, Jiang, 2001].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
