Диссертация (1138352), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

geometrical Brownian motion) или иначе модели Самуэльсона:dAt   At dt   A At dz(2.2)где: μ – дрифт цены или ожидаемая доходность; A – волатильность активов компании;dz – винеровский процесс.Кроме того в модели Мертона структура капитала значительноупрощена: пассивы состоят их акционерного капитала и дисконтнойоблигации номинала K, равному совокупным долговым обязательствамкомпании.Как было сказано выше, акционерный капитал можно представитьв виде опциона колл на активы компании, таким образом, справедливоследующее равенство:St  max[ AT  K ,0] èëè( At  K ) (2.3)Из стохастического дифференциального уравнения (далее - СДУ)2.2 и граничных условий для опциона колл 2.3 на основании леммыИто можно вывести следующее дифференциальное уравнение частныхпроизводных (далее ДУЧП):St 1  2 St 2 2StrSt ArAttt 2 At 2At(2.4)Решением этого ДУЧП относительно St является стоимостьопциона колл на активы компании с ценой исполнения K илистоимость акционерного капитала компании:60S0где: d1A0 N (d1 )ln( A0eAd2d1rT/ K)TKe0.5ArTN (d 2 )(2.5)TTAN – кумулятивное стандартное нормальное распределение; A - волатильность стоимости активов;r – безрисковая процентная ставка.Формула (2.5) является знаменитой формулой Блека-Шоулса дляоценкиопционов.Еевыводразличнымиспособамиширокопредставлен в финансовой литературе.В формуле (2.5) волатильность стоимости активов  A являетсяэмпирически не наблюдаемой, поскольку активы компании неявляются торгуемым инструментом, в отличие от акционерного илидолгового капитала.На основании того, что стоимость акционерного капитала являетсяпроизводной от стоимости фирмы Джонс, Мэсон и Розенфельд [JonesP., Mason S.

and Rosenfeld E., 1984], используя лемму Ито, вывелиследующеесоотношение,связывающееволатильностьакцийистоимости компании: A  SN (d1 )  L f N (d 2 )N (d1 )(2.6)где: ζS – волатильность акционерного капитала компанииLf – финансовый рычаг компании, равный:Ke rtLf A0Из корпоративных финансов известно соотношение:61(2.7)AtStBtèëèBtAtSt(2.8)Подставляя выражение (2.5) в выражение (2.8), получим:B0A0S0A0A0 (1 N (d1 )S0KeA0rTA0 N (d1 )KerTN (d 2 )(2.9)N (d 2 ))Функция нормального распределения является симметричнойфункцией, поэтому для нее справедливо соотношения 1-F(t)=F(-t),таким образом, выражение 2.9 перепишем в виде:B0A0 ( N ( d1 )KerTN (d2 ))(2.10)Таким образом, выражение 2.10 связывает стоимость активовкомпании и стоимость его долговых обязательств.С другой стороны, текущая стоимость дисконтной облигацииравна:B0Kerrisk TKe( ry )T(2.11)где: rrisk – доходность рисковой облигации;r – безрисковая доходность;y – кредитный спред облигации.Приравнивая равенства 2.10 и 2.11, получим:Ke( r y )Te( r y )TeyTA0 ( N ( d1 )KerTN (d 2 ))A0N ( d1 ) e rT N (d 2 )KA0e rTN ( d1 )N (d 2 )rTrTKeeyTln(ln(y1N ( d1 )Lf1N ( d1 )LfT62N (d 2 ))N (d 2 ))(2.12)Значение y по модели Мертона обусловлено только кредитнымриском компании относительно безрисковой облигации, поэтомуэквивалентно стоимости кредитного дефолтного свопа для долговогообязательства данного срока.Далее будет представлена реализация модели Мертона дляоценки кредитного риска крупнейших российских компаний.Развитие модели Мертона.

Другие виды структурных моделей.Модель Мертона не предполагает, что дефолт компании можетслучиться до наступления срока платежа по обязательствам, также онане рассматривает возможности выплаты дивидендов по акциям, иструктура долга считается однородной, то есть, нет субординациимежду обязательствами. В дополнение, опционы в модели БлекаШоулса оцениваются на основе предпосылки о том, что реализацияопциона ни каким образом не сказывается на стоимости активов. Напрактике реализация опциона может значительно влиять на стоимостьбазового актива.Далее мы продемонстрируем структурные модели, в которыхпреодолеваютсянекоторыепредпосылкиклассическоймоделиМертона.Блек и Кокс [Black, Cox, 1976] сделали модель Мертона болеереалистичной,представивпороговоезначениедефолтакакпеременную величину, а также рассмотрели возможность наступлениядефолта до срока погашения долга.

В данной модели пороговоезначение долга было представлено как функция от времени, при этомдефолт компании мог произойти в результате неисполнения ковенантпо облигациям или кредитам, в результате чего у кредитора могловозникнуть право предъявить долг компании досрочно.Таким образом, принципиальное отличие при расчете стоимостиCDS или любого другого актива состоит в том, что Мертон оценивает63простой опцион, а Блек Кокс - барьерный опцион, то есть опцион,который исполняется, как только цена базового актива достигаетопределенного уровня – барьера.

Поскольку с помощью моделиоценки опционов Блека-Шоулса также можно оценивать барьерныеопционы, то методы оценки инструментов при подходе Мертона иБлека-Кокса в целом аналогичны. Но так как оценка барьерныхопционов сложнее в принципе, то модели, использующие подходБлека-Кокса заметно сложнее математически. Значительно сложнее икалибровкаданныхмоделей,посколькустоимостьбарьерныхопционов не монотонна относительно волатильности базового актива,поэтому задача калибровки имеет несколько решений.Модель Блека-Кокса предполагает, что акционерам начисляютсядивиденды по непрерывной ставке δ, пропорциональной стоимостикомпании. Таким образом, уравнение динамики стоимости компанииможно представить в виде:dVt  Vt (r   )dt  Vt v dWt(2.13)Риск процентных ставок не был учтен в модели Блека-Кокса, тоесть процентные ставки принимаются постоянными.Модель Блека-Кокса также позволяет учитывать субординациюдолга компании, стоимость более низших траншей выводится изстоимости более высоких траншей, учитывая, что держатели низшегодолга получат средства только после того, как весь объем долгаполучат держатели старших траншей.

Если долг представить, каксумму младшего и старшего транша, то стоимость старшего траншадолжна рассчитываться из такой структуры капитала, как будтомладшего транша и нет. А стоимость младшего страшна, будетрассматриватьсякакразностьмеждустоимостьюоблигации,номиналом на весь размер долга компании за минусом стоимости64старшего транша. Возможность учета субординации между траншамипозволила применять модель для оценки таких инструментовсекъюритизации, как CDO (с англ. collateralized debt obligation).В модели Мертона и модели Блэк и Кокса подразумеваласьнеизменность процентных ставок. Васичек [Vasicek,1977] в своейработе представил модель динамики процентных ставок, то естьставки не рассматривались как статичные.Гески[Geske,1977]смоделировалрисковыекупонныеоблигации как опционы на стоимость фирмы, где дефолты моглипроизойти в даты выплаты купона, если компания неспособна по немурассчитаться.

Он дал разрешение модели в аналитическом виде дляодноразовой выплаты купона.Лонгстаф и Шварц [Longstaff, Schwartz, 1995] смогли реализоватьв модели Мертона условие стохастических процентных ставок,предложенное Васичеком. При этом рассматривается взаимосвязьмежду изменением стоимости компании и безрисковой ставкой вмодели Васичека. Более того, в модели Лонгстафа и Шварца ставкапокрытия представлена как экзогенная величина, которая варьируетсяв зависимости от старшинства транша.Халл, Нелькен и Уайт [Hull, Nelken and White, 1993] первыепредставилимодель,связывающуюнаклонволатильностискредитными спредами. Наклон волатильности – наблюдаемое напрактике явление, когда подразумеваемая волатильность опционовзависит от страйк цены.

Иначе говоря, это разница междуволатильностью опционов, которые в данный момент «вне денег»(out-of-money)икоторыевнаклон«деньгах»(in-the-money):.Наиболее интересны с точки зрения практического применения 2структурные модели: KMV и CreditGrades.65Merton/KMV модельМодель KMV, один из вариантов модели Мертона, используетчетырехшаговуюпроцедурудлянаблюдениязаизменениямикредитного риска фирм.1.

Определяется точка дефолта D, которая далее используется ввычислениях.Первый шаг основан на теоретических рассуждениях, из которыхследует, что тенденция к наступлению дефолта имеет место, еслирыночная цена активов фирмы падает ниже некоторой критическойточки, которая обычно находится ниже бухгалтерской стоимости (сангл. book value) всего долга компании, но выше бухгалтерскойстоимости краткосрочного долга.Основываясьнаэтихинтуитивныхрассуждениях,KMVустанавливает эквивалент долга с нулевым купоном на уровне D,значение которого являетсясуммойноминальных стоимостейкраткосрочных долгов и части (например, 50%) номинальныхстоимостей долгосрочных долгов.2.

На следующем этапе, используется подход Блека-Шоулса дляпостроения взаимосвязи стоимости фирмы, ее волатильности и точкидефолта.3. На основе полученных значений, определяется количествостандартных отклонений до точки дефолта или расстояние до дефолтаDDT (с англ. distance to default), то есть до той точки, в которойстоимость активов фирмы падает ниже D. V  2  ln       D2 DDT  (2.14) где V – текущая стоимость фирмыζ - ее волатильность66η – срок до погашения долгаμ – ожидаемый процент ее роста.4.

Далее стоится функция зависимости ожидаемой частотыдефолта от расстояния до дефолта, при этом используется базаданных для определения доли фирм, которые действительно объявилидефолт в течение одного года при данном уровне расстояния додефолта.

Имея ожидаемую частоту дефолта для конкретногокредитного риска, используют риск-нейтральную модель оценки дляполучения ожидаемых дисконтируемых потоков платежей продавца ипокупателя CDS, из которых и рассчитывают стоимость инструмента.Методология модели KMV описана в работах Кросби и Бона[Crosbie, P., Bohn, J., 2003] и Келховера [Kealhofer. S, 2003], а такжеВасичека [Vasicek, 1984]. Модель KMV имеет существенные отличияот классической модели Мертона. Во-первых, предполагается, чтокомпания непрерывно занимает и погашает долг, во-вторых, модельпредполагает возможность учета субординации долга, что может бытьприменимо в таких структурных продуктах, как CDO.Модель CreditGradesМодель CreditGrades разработана группой аналитиков ДойчеБанка, инвестбанков Goldman Sachs, JP Morgan и консалтинговойкомпанией RiskMetrics Group.У CreditGrades 2 принципиальных отличия от классическоймодели Мертона, во-первых, в уравнении динамики стоимости фирмы(dV =μVdt +σVdW) скорость сноса (дрифта) μ= 0, что предполагаетпостоянное значение финансового рычага.

Характеристики

Список файлов диссертации