Диссертация (1138352), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Таким образом, имеетместо следующее выражение:P( St , )  E {( St  K ) | St } * (s  K ) fsKЧастные( s, )dsP( St , )производныеPf * (s  K )dsS KS*ST |St2 P2 f * (s  K ) 2 dsS 2 KS(3.31)имеютвид:Pf * (s  K )ds KПодставляя данные частные производные в выражение (3.30), ипроизводя алгебраические преобразования, получим:1 2  2 f *f * f *K (s  K ){2  St S 2  rSt S   }ds  0100(3.32)В выражении (3.32) риск-нейтральная функция плотности*распределения переходов f дифференцируема относительно S и t.Обратное равенство Колмогорова говорит о том, что плотностьраспределения переходов для процесса CEV удовлетворяет СДУ –выражению (3.9):1 2  2 ff f sts0t2st2st tТаким образом, плотность распределения переходов для процессас μ=r удовлетворяет обратному равенству Колмогорова с заменой μ наr, и для этого процесса справедливо выражение:Ñ (St , t )  e rt E *{( ST  K )  | St }(3.33)которое является решением СДУ – выражения (3.28).Нам известна функция плотности распределения перехода дляCEV процесса (3.19), в котором μ можно заменить на r, и вид риск*нейтральной функции плотности распределения для ST при данной St*где: ST - случайная величина, являющаяся решением СДУ:*dS  rS dt   ST 2 dBt*T*T(3.34)с первоначальными условиямиST* = St .

Это означает, функцияплотности распределения для переменной ST , условной на St имеет*вид: f ST |St ( s, ) .Выражением (3.33) может быть представлено в виде:101Ñ ( St , t )  e  rt E *{( ST  K )  | St } e r*(sK)f( s, )ds ST | StKe rsf*ST |St( s, )ds  Ke rtKf*ST |St( s, )ds K e  r E * ( ST | St , ST  K ) P* ( ST  K | St )  Ke  r P* ( ST  K | St )(3.36)где: P*(.) – риск-нейтральная вероятность, и следовательно, при St>K,риск-нейтральнаяфункцияплотностираспределениядляST ,условной на St имеет вид:f*ST | St , ST  K( s,  ) f S*T |St ( s, )(3.35)P* ( ST  K | St )z  ks 2 то можно показать:1z 2 1s( )ds  k 1/(2  )z 11/(2  ) dz2kУчитывая, чо(3.36)Делая замену ds на выражение (3.36), и используя функциюплотности распределения (3.24), получим выражение:f ST |St (s, )ds  (2   )kn e x  z  n 0x12   x  zenn 0x11 n2 2 zn ! ( n  1 1)2(k 1/(2  )1 11/(2  )zdz ) 212  nz1n ! ( n  1 )22 Учитывая, что x  kStdz(3.37)e (2 ) ,и используя выражения (3.35) и(3.37), получим итоговую формулу для оценки опциона колл:102C ( St , t )  ee rz  kKe rez  kKz(( 2  k )z  kK x z2  re x z2 xe x St n!n 0nn K )e x z12 nx (x / k)nrzn 0znnzn1n ! ( n  1 )212 12 12 12 zndz dz 12  Kxzndz 1n ! ( n  1 )2ne zz  kK 2nx St e zn 0x Kx1n ! ( n  1 )2nn 012 12 1(n  1 )2dz  Ke rn 0(3.38)xne x( n  1 12 1) z  kK 22e z z ndzn!Заменив в модели Мертона подход Блека-Шоулса к оценкеопциона колл на активы компании на модель CEV, и реализуя модельМертона с учетом нового подхода к оценке опциона, получимстоимость CDS, в которой будет учтен эффект улыбки волатильности.Результаты применения модели будут продемонстрированы далее.x ne xC ( St , t )  St n 0 n !zn12  rxn12 e z z ndz  Ke dz 2 11n 0z  kK (n  1 )( n  1 ) z kK 2 n!22e ze x3.2.

Модель стохастической Альфы, Беты, Ро.Модель стохастической Альфы, Беты, Ро (c англ. StochasticAlpha, Beta, Rho -SABR) была получена Хеганом, Кумаром,Лешниевски и Вудманом в 2002 году [Hegan и др. 2002].Модель SABR предполагает то, что волатильность цены активаявляется стохастической величиной. В данной модели будущая ценаактива и его волатильность изменяются согласно СДУ:103dFdF dW1v dW2F (0)f(3.39)0(3.40)поскольку процессы коррелированны, то:dW1dW2dt(3.41)где: F – форвардная цена активаW1 è W2 - коррелированные винеровские процессыρ – коэффициент корреляцииα – волатильность актива – параметр volvol – волатильность волатильности αβ – параметр «наклона» волатильностиРасчет стоимости опциона по модели SABRПредположим, что общая волатильность α и волатильностьволатильности (“volvol”) ν – величины небольшие.

Поэтому можнопредставить модель SABR в следующем виде:dFdF dW1(3.42)v dW2dW1dW2(3.43)dt(3.44)где: ε≪1.Рассмотрим общий случай для С(F), и затем применимполученные результаты для степенной функциичтои. Предположим,в момент времени t, тогда плотностьвероятности распределения будет иметь вид:p(t, f , , T , F , A)P( FF (T ) F dF | F (t )f , (t )) (3.45)Функция плотности вероятности распределения как функциявеличин T, F и A удовлетворяет прямому равенству Колмогорова:104pT21 2 2A2p2A2C F p2F2Fгде:C2 F pf1 2 2v2F A2A2 pA2,T t (3.46)A(3.47)– символ Кронекера.ПуV (t , f , ) – стоимость европейского опциона колл вмомент времени t, тогда справедливо равенство:V (t , f , )EFFt expKKF tf,t(3.48)p t , f , ; texp , F , A dFdAKИз прямого равенства Колмогорова (3.46) и (3.47) следует:p t , f , a; texp , F , AF- ftexpA- atpt , f , a; texp , F , A dTTТаким образом, мы можем представить(3.49)как:texpV t, f ,f KF K p t , f , ; texp , F , A dFdAdTtПодставимвыражениепроинтегрируем(3.50)Kотносительна(3.47)А.ввыражениеПоскольку(3.50)иинтегрированиевыражений:1222A22C2 F pF2и2vA2C F pF Aпо А дает в результате ноль, стоимость опциона выражаетсяформулой:105texpV t, f ,f21 2 2A2KtF KFF2K2ИнтегрируяC2 F pKC2 F pF2KdFdF dAdT (3.51)по частям дважды,получаем:V t, f ,f1 2 2C K2KtexpA2 p t , f , ; T , K , A dAdT (3.52)tДля упрощения представим:texpA2 p t , f , ; T , K , A dAdTP t, f , ,T , K(3.53)tПоскольку P удовлетворяет обратному равенству Колмогорова,имеем:Pt212222C f2Pff2P222v C fK ,T2P2f2 2vP0,T2t (3.54)t(3.55)Заметим, что P зависит не только от T, но и от Т-t поотдельности.

Предположим,tT - t , texptexp - t(3.56)Тогда цена опциона будет выражаться равенством:V t, f ,fгде: PP12K2P, f , ,K d(3.57)0, f , , K удовлетворяет выражению:22exp1 2 2C K22C fPf2222v C f106fP222 2vP2,0 (3.58)2PfK ,0(3.59)Раскладывая в ряд функцию возмущений, получим:fP22e222 22K1C2 f(3.60)C KДалее введем новую переменную:1zKdgC gf(3.61)f KТогда член выражении )3.60)ex2z2e22 2 2Cf1упрощается до.Также выразим:BzC f(3.62)Тогда будут иметь место следующие выражения:2PfPzPPPf222PP2BPz2z2BzzP2z22(3.64)212(3.63)zP zz12 2Bf21zPPB'zBzPz21 Pz2zz221072Pz2Pz2z P2z(3.65)(3.66)(3.67)f1C KKz(3.68)Подставляя новые переменные в выражения (3.57), (3.58) и (3.59),получим:V t, f ,PfKv z2 2v zPzzz ,C KP, z,d(3.69)0Pz22 2 22PP211 2 vz2vexp1 2 2C K212122C' PC z2P2 2v,200(3.70)(3.71)Соответственно, вполне логично предположить, что можноупростить задачу, выразив:Pˆ , z,ДляC KfPˆ , z,P12KdC KP, z,d(3.73)022 2 2vz22 2vzexpявляется решением выражения:11 2 vz2v(3.72)P̂ получим:V t, f ,где:P , z,zPC' PC zP 1z2 21 2 2v222P21082P,0(3.74)Pˆz ,0(3.75)ПерепишемчленыпоследовательностиPˆ1 2 Pˆ2 z22согласно(3.74)( ) , ( 2 ) и получим выражение:,2vвыраженияPˆPˆvz 2zz1 2 2 2 Pˆ2vzvz2z221 C ' Pˆ2 C z2Pˆ21 2v2zPˆ2Pˆ2z ,Pˆv2(3.76),00Заметим, что переменная α не вводится в задачу дляP̂до( ), таким образом, имеем:Pˆ , z,Pˆ0Pˆ1,z2Следовательно, производныеz, z,P...

(3.77)2,P2,Pпредставимы, какфункция O( ) .Таким образом, можно переписать задачу как:PPˆ2112vzz ,02 2 2vzPz2121Далее нам необходимо сократить2C' PC z2vPz(3.78)C' P. ОпределимC zH ( , z, ) как:PC fC KH(3.79)Тогда имеют место следующие выражения:109C fC KPz2z21 C' H 1z2 C z 2Hz(3.80)C' HC zHz22C fC KPC'HC122C fC KPz22Hz2C ''2CC '2H24CC' H 1 C'H OC2 C(3.81)2(3.82)И цена опциона становится равной:V t, f ,fKexp12C f C KH, z,d (3.83)0где:H211 2 vz22C ''4C2Hz22 2 2v z3C '2H8C 22v0 H12Hzz ,212C'HvzCzC'HCH(3.84)0Перепишем выражение (3.82) в виде:2H 1 2HH(vvz22 zz2H 1C' H2 1 2 2z 2v z2z 2C z2H)(3.85)2z1 C'C ' 2 3C '2 2 1 2 C ' Hv HHHv, 02 C4C8C 22CПоскольку первый член выражения 3.2.44 независим от α, тотакже можно сделать вывод, что производныеH2иzHвфункции O(ε) не зависят от α. Таким образом, выражение (3.83)можно переписать в виде:1101 2H2 z2H22212zv1C' Hv z2C zHz22 22H,zHz2vz1C'vH2CC ''4C2H3C '28C 2(3.86)02По этой же причине, H независима от21 2H2 z2zесть2( z),ВHz2vz1 2 2 2Hz2z2HH( 2 ) , следовательно:функцияH, поэтому1C' Hv z2C z1C'vH2CC ''4C23C '2H,8C 20 (3.87)0(3.87)выражениинетбольшепроизводныхпоα,следовательно, α уже можно считать параметром, а не независимойпеременной.

То есть удалось свести задачу к одной размерности.Далее необходимо сократитьH2().z , выразив черезC ' C ''Члены уравнения 3.2.46 C и C являются константами, можнозаменить их через подстановку:b1B '(z0 ) / B(z0 )(3.88)b2B "(z0 ) / B(z0 )(3.89)ЕслиĤ выразить следующим образом:2Hev b1z 24Hˆ(3.90)то цена опциона будет равна:111V t, f ,212f KB(0) B( z0 ) ev b1z 24expHˆ , z d(3.91)0где:Ĥ есть решение выражения:Hˆ11 2 vz2Hˆ( z ),Hˆz222 2 2vz2213( b2 b12 ) Hˆ48342v b1Hˆ (3.92)0Введем переменную х, равную:1xdz0121 22 2 21 2 vzln(vzvz1) (3.93)С учетом x, цена опциона колл будет равна:V t, f ,f212KB(0) B(z) ev b1z 24expHˆ , z d (3.94)0при этом:1 2 Hˆ2 x2Hˆгде: I ( )12I '( z )ЗаключительнымHˆI (221( b243 2 ˆb1 ) H8342v b1Hˆ (3.95)21 212Hˆxz ( x))Qшагомбудет(1 2определение12 2 2 4zv z ) QQчерез:(3.96)тогда имеют место следующие выражения:HˆxHˆx2212I (12I (z )[Qx12I '(2z )[Qx2I'z )Q]QxСледовательно,1122(3.97)21( I "I21I ' I ')Q] (3.98)4V t, f ,f K21212B(0) B( z0 ) I ( z)ev b1z 24expQ , z d (3.99)0где: Q – решение выражения:Q1 2Q2 x2Hˆ( z ),Как2 222 21 33( b2 b12 )Q4 842v bQ1 (3.100)0ипрежде,константами I (k11( I " I I ' I ')Q48можноz0 ), I '(заменитьI(z), I '(z), I "(z)z0 ) .

Пусть константа к равна:z0 ), I "(11( I "( z0 ) I ( z0 ) [ I '( z0 )]2 )482133( b2 b12 )Qv b1 (3.101)484Таким образом, выражение 2.3.59 можно упростить:1 2Q2 x2QQ( x),2kQ,0(3.102)0(3.103)Решение дифференциального уравнения (3.102) имеет вид:12Qex22e2k(3.104)Подставляя выражение (3.104) в (3.99), получим стоимость опциона:V t, f ,12fK12B(0) B( z0 ) I ( z )e2v b1 z 24exp0Выражение (3.105) можно переписать в виде:1132x21e2e kd2(3.105)V t, f ,fexp1 f K2 xK120x22e2ek2ee d (3.106)где:2ln(12zB(0) B(Kfz ) ln(xI ( z ) 1)z42v b1 z 2 (3.107)Кроме того, справедливо равенство:e21k23(121k )3/2( 4)2(1 2x(2.108))3/22Следовательно, цену опциона можно переписать в виде:V t, f ,fK1 f K2 xexp120x22eeed2(1 22x)3/22(3.109)Пусть q равно:qx22(3.110)Подставляя в выражение (3.109), получим:V t, f ,fгде:2K| f K|4e2q3/2q q dqx22 ex(3.111)аналогично выражению (3.107).Выражение (3.111) является ценой европейского опциона коллдля модели SABR.

Чтобы использовать эту формулу на практике,необходимо получить формулы для подразумеваемой нормальнойволатильности и подразумеваемой волатильности Блека.Рассмотрим процесс:dFNгде:dW , F (0)Nf(3.112)- нормальная волатильность, постоянная величина;dW - винеровский процесс114То есть (3.112) – процесс броуновского изменения цены, бездрифта.Пусть в общей модели SABR, в выражениях (3.40) – (3.43),С(F)=1, εα=ζN и =0, тогда повторив все предыдущие действия, можноувидеть, что справедливо равенство:V t, f ,f| f K|4(fK2K )2e qdqq 3/2(3.113)N 2 exПриравнивая (3.113) его к выражению для оценки стоимостиопциона (3.109) получим:K )2(fN2x2(3.114)22exВзяв корень квадратный из выражения (3.114), и разложив этовыражениевсуммубесконечноубывающейгеометрическойпрогрессии, получим:fNKx2{1Поскольку xxz[1...}ex2(3.115)( )] , выражение можно переписать ввиде:(NfKx)(z){1x( z )2(123)ex...}(3.116)где:221zln(C ( f )C ( K ))2z f K2421221 xln( [1 2z2 zz21 2 2 2C ( fav ) ...12 2 2 4z ] )115(3.117)2 32422 2...

(3.118)1423B '( z0 )B( z0 )2C '( f av ),C ( f av )1142C ( f av )1...C "( f av )C ( f av )1(3.119)(3.120)Первый фактор выражения (3.116) равен:fK(ffzKK)f1(fdf 'C ( f ')KKdf ')C ( f ')1(3.121)Второй равен:zx( z )ln((3.122)21 2)1где:fzKВыражениеdf 'C ( f ')(3.123)f K{1C ( f av )представляет( 2 )}эффект(3.123)стохастическойволатильности.Далее рассмотрим модель Блека:dFBFdW , F (0)f(3.124)В модели Блека стоимость европейского опциона колл и пут сострайк ценой К и датой экспирации ηex равна:VcallD(tset ) { fN (d1 ) KN (d2 )}(3.125)VputVcall(3.126)D(tset )[ Kf]где:1161d1,2{ln(BexfK1222Bex)}(3.127)Повторяя анализ для модели SABR, как с моделью (3.112),можно показать, что справедливо равенство:BN (K )(fK)fln( )K{112422Bex...}(3.128)Подразумеваемую волатильность Блека для модели SABRможно найти, приравняв выражение (3.128) к подразумеваемойволатильности для модели SABR.

Характеристики

Список файлов диссертации