Диссертация (1138352), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Автор в данной модели разрешал предпосылку моделиМертона о постоянной волатильности базового актива на протяжениивсей жизни дериватива.Модель CEV предполагает изменение цены актива согласноследующему стохастическому дифференциальному уравнению (далееСДУ):dSt   St dt   St /2 dBt(3.1)где: β – параметр, регулирующий взаимосвязь цены актива иволатильности. Например, на рынке акций если цена резко падает, товолатильность растет, в модели CEV β<2.Заметим, что если β=2, то уравнение (3.1) будет аналогичноуравнению (2.2), то есть, модель Блека-Шоулса является частнымслучаем модели CEV. Существуют модели, где β>2, но онирассматривают в основном динамику цен на товарных рынках.92Получение конечной формулы для оценки опциона по моделиCEV по своей сути сходно с подходом Блека-Шоулса в том, что обемодели используют риск-нейтральный подход, и что в обоих случаяхСДУ цены опциона трансформируется в общеизвестное уравнениетеплопроводностиирешаетсястандартнымиматематическимиметодами.

Единственное принципиальное различие между расчетомопциона по модели Блека-Шоулса и CEV – закон, по которомуизменяется цена актива с течением времени.Предпосылки модели CEV следующие:мгновенная процентная ставка известна и постоянна;цена акции - это решение СДУ 3.1, которое подразумевает, чтопараметры δ и β постоянны и известны, и дивиденды не платятсяв течение жизни опциона;отсутствуют транзакционные издержки, налоги, существуетзапрет на короткие продажи, и возможно продать любуювозможную долю акции или опциона.Вывод уравнения плотности распределенияПоскольку модель CEV является риск - нейтральной согласноКоксу и Россу (Cox, Ross, 1976), то цена актива выражаетсяследующим образом:St  e rt E* ( Pt | Ft )(3.2)где: E* - риск нейтральное ожиданиеЦену опциона колл выражается равенством:ÑT  max(ST  K ;0) или ( St  K )(3.3)где: St – стохастический процесс описываемый уравнением (3.2)K – цена страйк опционаТаким образом, необходимо найти функцию распределения,описывающую развитие цены актива от первоначального момента до93моментаТ.ДляэтогомогутбытьиспользованыравенстваКолмогорова, которые мы приведем ниже.

Данные равенства – двадифференциальных уравнения, описывающих вероятность перехода вдиффузионном процессе Маркова.Предположим, что непрерывный процесс X(t) является решениемСДУ с первоначальным условием X (t0  x0 ) :dX (t )   ( x, t )dt   ( x, t )dB(t )(3.4)При этом, X(t) имеет мгновенную среднюю  ( x, t ) и мгновеннуювариацию  ( x, t ) , кроме того X(t) имеет функцию распределенияp( x0 , t0 ; x, t ) , котораяудовлетворяетравенствамКолмогороваиобъясняется следующим выражением:bP(a  X (t )  b | X (t0 )  x0 )   p( x0 , t0 ; x, t )dx(3.5)aТогда равенства Колмогорова – это прямое равенство:1 2p{a(x,t)p}{(x,t)p}2 x 2xt(3.6)в котором прошлые обратные переменные x0 и t0 могутрассматриваться как постоянные и вводятся с целью заданияграничных условий.

И обратное равенство:12 ppp ( x0 , t0 ) 2   ( x0 , t0 )2x0x0t0(3.7)в котором прямые переменные x и t вводятся только черезграничные условия.Функция плотности распределения может быть решением какфорвардного, так и обратного равенства Колмогорова.Действительно,процессизмененияSt–непрерывныйснепрерывными переменными, удовлетворяющий выражению (3.2) c94первоначальными условиями B0=0.

Этот процесс имеет мгновеннуюсреднюю E (dSt | St )   St идисперсиюVar (dSt | St )   2 St2 ,спомощью которых можно найти функцию плотности вероятностейперехода:f ST |St (s, )  p(st , t; s, T )(3.8)Здесь также следует учесть, что процесс St имеет абсорбирующийбарьер, равный нулю, то есть то, что цена актива не может бытьменьше нуля.Чтобы найти функцию распределения, необходимо решитьпрямое и обратное равенства Колмогорова:1 2f2 {sf}{sf}0tt2 2s2sT(3.9)1 2  2 ff f sts0t22stst t(3.10)при граничных условиях:f ST |St (s, )  0 если s<0f ST |St (s,0 | St  st )   ( s  st )где: δ (x) – дельта-функция Дирака.Первое граничное условие следует из абсорбирующего барьера,второе – для случаев, когда f – обычная функция распределения.Решение частичных дифференциальных уравнений следующеготипа было предложено Феллером (Feller, 1951):ut  (axu) xx  ((bx  c)u) x (3.11),где: u=u(t,x)a, b, c – константы, при этом a>095Это равенство аналогично форвардному равенству Колмогорова,с α(x,t)=2ax и β(x,t)=bx+c .

Для того чтобы применить решениеФеллера для модели CEV, необходимо трансформировать процесс St имгновенную среднюю, и мгновенную дисперсию, чтобы получитьдифференциальноеуравнениечастныхпроизводныхтребуемойформы.Трансформация, предложенная Коксом (Cox, 1996): Y=S2-β, длявсех β≠2. Используя лемму Ито, можно получить мгновеннуюсреднюю и дисперсию нового процесса Yt. /2Поскольку dSt   St dt   St dBt и Y=S2-β, то согласно леммеИто имеем следующее:f1 2  2 fdYt dSt   Stdt 2S2S1 (2   ) St1  (  St dt   St /2 dBt )   2 St (2   )(1   ) St  dt21 (  (2   )Yt   2 (2   )(1   )) dt   (2   ) Yt dBt2(3.12)Таким образом, процесс Yt имеет мгновенную среднюю:12 (Yt )   (2   )Yt   2 (2   )(1   )(3.13)и дисперсию (Yt )   2 (2   )2 Yt(3.14)Таким образом, функция плотности переходаf  fYT |Yt ( y, )будет удовлетворять прямому равенству Колмогорова:12 fff (Yt ) 2   (Yt )2YtYtt(3.15)которое сходно с формой, определенной Феллером для β<2 при:961a   2 (2   )2 b   (2   )21ñ   2 (2   )(1   )2Прямое равенство Колмогорова в данном виде может бытьиспользовано для получения функции плотности вероятностейперехода Yt.Данная функция представлена в 9-й лемме Феллера как:b( y  Yt eb ) yeb c2aa2b(eb yYt )1/2fYT |Yt ( y, )  bexp()() I c() (3.16) b1a(e  1)a(eb  1)Yta(1e)abгде: a,b,c – даны вышеI ( z ) - модифицированная функция Бесселя.Для того, чтобы получить плотность вероятностей перехода дляST, условную на St, необходимо снова сделать замену переменных:f ST |St (s, )  P(ST  s | St )  P(ST2  st2 | St2 )  P(YT  s 2 | Yt ) (3.17)Дифференцируя относительно s, можно получить функциюплотности распределения:f ST |St (s, ) FST |St (s, )  (2   )s1  fYT |Yt (s 2  , )s(3.18)Заменяя в выражении 3.19 константы a, b и c, и делая заменыy  s 2  и Yt  St2  , получает функцию плотности распределения STпри данной St:f ST |St ( s, )  (2   )kгде: k 12 ( xz1 2 )1 12 2 e x  z I12 22   (2   ), x  kSt eи (2   ) (2   )(e 1)2(2( xz )1/2 ) (3.19)z  ks 2  , и s>0.Абрамович и Стеган (Abramowitz, Stegun, 1968) представилиразложение в ряд модифицированную функцию Бесселя:971( z 2 )n14I ( z )  ( z )  n 02n !(  n  1)(3.20)Используя выражение (3.20), можно переписать функцию Бесселяв плотности распределения в выражении (3.19):11 1( (2( xz )1/2 )2 )n1( xz )n1/22 2 4I 1 (2( xz ) )  ( 2( xz ) )  n0 ( xz )(3.21) n 01122 n ! ( n  1 )n ! ( n  1 )22Тогда выражение для плотности распределения переходов будет11/2 2  иметь следующий вид:f ST |St ( s, )  (2   )k (2   )k12 12 ( xz1 ne x  z  n 0x)12 12 e x znz( xz ) nn 01n ! ( n  1 )21 2 1n ! ( n  1 )2(3.22)Вывод стоимости опциона для модели CEVДля вывода СДУ для оценки опциона по модели CEVиспользуется лемма Ито.Пусть Сt – цена дериватива, которая зависит от цены базовогоинструмента S времени t.

Из леммы Ито, подстановкой параметровуравнения 3.2, получается следующая зависимость:2dÑÑ 1  2Ñ 2 2dÑ  /2Ñt  (S S)t S dz (3.23)dst 2 S 2dsМожно сконструировать портфель, состоящий из актива вразмереfSSи короткого (проданного) одного дериватива.Стоимость такого портфеля будет равна:98Ï  Ñt ÑSS(3.24)А приращение стоимости на коротком интервале Δt в дискретномвиде будет выражаться формулой:Ï  Ñt ÑSS(3.25)Подставляя формулы (3.2) и (3.23) в выражение (3.25), получимследующее:dÑÑ 1  2Ñ 2 dÑ dÑ /2Ï  (  S  S)tSdz(StSz ) dst 2 S 2dsdSdÑÑ1  2Ñ 2 dÑ  /2dÑdÑ  /2   S t  t StSdzSt S zdst2 S 2dsdSdSПроводя арифметические действия, получаем выражение:Ñ1  2Ñ 2 Ï  t  S t2t2 S(3.26)Так как в уравнении (3.26) стохастическая величина Δz быласокращена, то портфель является безрисковым, а значит, имеющимбезрисковую доходность, иначе возникнет условие для совершенияарбитража.

Таким образом, справедливо выражение:Ï  rÏ t(3.27)Подставляя уравнения (3.24) и (3.26) в уравнение (3.27), получим:Ñ1  2Ñ 2 Ñt Str(ÑS )ttt2 S 2SОткуда следует,Ñ 1  2Ñ 2 ÑrÑt SrSt 2 S 2S99(3.28)Уравнениеявляется(3.7)дифференциальнымуравнением,имеющим множество решений для производных инструментов. Еслизадатькраевыеусловиядляопционаколл,представленныевыражением 3.4: ÑT  max( ST  K ;0)то, разрешая уравнение (3.28), получим решение, которое позволитрассчитать стоимость опциона колл на акцию.Представим стоимость опциона колл, в виде функции:Ñ (St , )  e r P(St , )(3.29)Ее частные производные имеют вид:ÑP e rSS2 2C r  PeS 2S 2ÑP re r P  e rПодставляя данные частные производные в уравнение (3.28),получим СДУ для функции P:1 2  2 PP P StrS0t2S 2S (3.30)Граничные условия для Pt аналогичны.

Характеристики

Список файлов диссертации