Диссертация (1138062), страница 34

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 34)

через точку скоординатами(ϕ; ϕ).2.3. Доказательства утверждений из раздела 3.2Доказательство формулы (3.18)В агрегированный доход, стоящий вправой части формулы (3.16), вносят вклад наёмные работники и пред­приниматели. Суммарный доход наёмных работников, очевидно, равенL(1 − Γ̂)w. Суммарный доход предпринимателей находится сложением ихприбылей.

Следовательно, выражение (3.16) преобразуется в⎛⎞Z⎜⎜⎜⎟⎟⎟(︂)︂1−σσσP⎜⎜⎜⎟⎟⎟)(cdθπ (cθ ) =(1−Γ̂)Lw+π⎜⎟⎟⎟ .θ⎜⎜⎝(wcθ )σ−1 σ − 1⎠σ−1(B.11)ΩEВыражение (B.11) для прибыли не является окончательным, а пред­ставляет собой уравнение относительно прибылиπ (cθ ), поскольку в агре­гированную прибыль, стоящую в правой части, входит и прибыль фирмыθ.Более точно, формула (B.11) задаёт систему уравнений относительноиндивидуальных прибылейπ (cθ ), θ ∈ ΩE .ZЧерезΠ=π (cθ ) dθ(B.12)ΩEобозначается агрегированная прибыль. Тогда интегрируя (B.11) относи­тельно переменнойj,мы получим уравнение относительно)︁σPσ−1 (︂ σ )︂1−σ (︁(1 − Γ̂)Lw + Π ,Π=(wC)σ−1 σ − 1ZгдеC1−σ=c1−σθ dθ.ΩEΠ:(B.13)202Решая уравнение (B.13) относительно агрегированной прибылиΠи под­ставляя результат в формулу (B.11), получаем доказываемую форму­лу (3.18).

Детали вычислений здесь опущены.Доказательство утверждения 3.2.2Уравнение (3.19) переписывается дляновой плотности⎧⎪⎪L⎪⎪⎨ L+∆L γ(c) +γnew (c) = ⎪⎪⎪L⎪⎩ L+∆Lγ(c)∆LL+∆L γm (c)ifc ∈ [c1 , c2 ]ifc < [c1 , c2 ],путем добавления индекса new в соответствующих местах:σ−1ĉnew=Пусть∆c = ĉnew − ĉ.1 − Γnew (ĉnew ).Rĉ(c)dc(σ − 1) 0new γnewcσ−1(B.14)Раскладывая левую и правую части полученногоравенства в ряд в точкахc = ĉи∆L = 0,отбрасывая слагаемые вто­рого порядка малости, разбивая интервалы интегрирования точкойиспользуя определениеĉγnew , преобразуем числитель формулы (B.14) сле­дующим образом:Zc̄1 − Γnew (ĉnew ) =Zĉγnew (c)dc =ĉnewZc2+c1ĉnewLγ(c)dc +L + ∆LZc̄ĉLγ(c)dcL + ∆L)︀∆LL (︀∆Lγm (c)dc = −γ̂∆c +1 − Γ̂ +.L + ∆LL + ∆LL + ∆LАналогично, знаменательĉnewZc⎛ ĉ⎞ĉnewZ⎜⎜⎜Z⎟γnew (c)L ⎜⎜⎜ γ(c)γ(c) ⎟⎟⎟⎟⎟dc =dc +dc⎟⎜L + ∆L ⎜⎜⎝ cσ−1cσ−1cσ−1 ⎟⎟⎠cĉПродолжая разложение, мы получим из уравнения (B.14):σ−1ĉи+ (σ − 1)ĉσ−2∆c =)︀L (︀∆LL+∆L 1 − Γ̂ + L+∆L(︁Rĉ γ)︁.γ̂L1) L+∆Ldc+∆cc cσ−1ĉσ−1−γ̂∆c +(σ −203ЗаменяяL/(L + ∆L)1 − ∆L/L,наобозначаяZĉI=γ(c)dc,cσ−1(B.15)cи игнорируя слагаемые, которые младше, чемĉσ−1 ((σ − 1)I) − ĉσ−1 (σ − 1)I∆cи∆L,получаем∆L+ (σ − 1)γ̂∆c+L∆L ∆L(σ − 1)ĉσ−2 ((σ − 1)I) ∆c = −γ̂∆c + 1 − Γ̂ − (1 − Γ̂)+.LL⏟⏞Γ̂ ∆LLС помощью уравнения (3.19) выраженияна(1 − Γ̂)/ĉσ−1 .слагаемые с(σ − 1)Iдважды заменяютсяТогда подчёркнутые слагаемые уничтожаются.

Собирая∆c и ∆L по разные стороны от знака равенства, мы получаемформулу(︁из которой следуетσγ̂ĉ + (σ − 1)(1 − Γ̂)∆c∆L> 0,)︁ ∆cc=∆L,L(B.16)а значит и сформулированное утверждение.Заметим, что переходя к пределу, получаем следующее выражение эла­стичности порого значения по размеру рынкаℰL [ĉ] =1σγ̂ĉ + (σ − 1)(1 − Γ̂)Доказательство утверждения 3.2.3(B.17)Сначала установим две техническиелеммы:Лемма 1.

Пусть∆ΓΓ̂=Iопределено формулой (B.15). ТогдаΓnew (ĉnew ) − Γ̂Γ̂Доказательство. Вычислиммание, чтоγm = 0)︃∆c=(1 − σΓ̂) − (σ − 1)(1 − Γ̂).ĉΓ̂(︃γ̂cΓnew (ĉnew )на интервале[c, ĉ]:ĉnewZΓnew (ĉnew ) =γ(c)dccпо определению, принимая во вни­LL= Γ(ĉnew ).L + ∆LL + ∆L204РаскладываяΓв ряд, получаемΓnew (ĉnew ) − Γ̂ = −Γ̂∆L+ γ̂∆c.LПодстановка формулы (B.16) в последнее уравнение заканчивает доказа­тельство леммы.Заметим, что перейдя к пределу и объединив утверждение леммы сформулой(B.16) мы получаем выражение эластичности доли предпри­нимателей по размеру рынка за счет миграцииℰL [Γ̂] =γ̂c(1Γ̂− σΓ̂) − (σ − 1)(1 − Γ̂))(B.18)σγ̂ĉ + (σ − 1)(1 − Γ̂)Лемма 2. ПустьΓ(c) ⃒γ̂ĉσ−1 σ−1 ⃒⃒c=cc⃒=0(B.19)Γnew (ĉnew ) − Γ̂ ≷ 0(B.20)Тогда неравенствоэквивалентно неравенству(σ − 1)γ̂ĉσZĉΓ(c)dc ≷ Γ̂(1 − Γ̂),cσ(B.21)cтак что знаки в неравенствах (B.20) и (B.21) совпадают.Доказательство.

Неравенствоγ̂ĉΓ̂(1 − σΓ̂) ≷ (σ − 1)(1 − Γ̂)эквивалентно неравенству−Γ̂γ̂ĉ + γ̂c1−Γ≷ Γ̂(1 − Γ̂)σ−1Воспользовавшись (3.19) и заменив в левой части последнего нера­венства дробь на интеграл(B.15), после интегрированияIпо частям205неравенство преобразуется в⃒σ γ(c) ⃒⃒−γ̂ĉ σ−1 ⃒ + (σ − 1)γ̂ĉσc=ccZĉΓ(c)dc ≷ Γ̂(1 − Γ̂)cσcТак как подстановкаc предполагается нулевой и первые слагаемые левойи правой частей совпадают, неравенство∆Γ̂ ≷ 0эквивалентно (B.21).Доказательство утверждения 3.2.3. Левая часть (B.21) преобразуется квиду(σ − 1)γ̂ĉσZĉcZĉΓ(c)ℰΓ (ĉ) γ(c)σ−1dc=(σ−1)ĉΓ̂dc.cσℰΓ (c) cσ−1(B.22)cСначала рассмотрим случай невозрастающей эластичности.

Тогда отно­шение эластичностей в (B.22) не превосходит единицу. Поэтому леваячасть (B.21) оценивается сверху как(σ − 1)γ̂ĉσZĉΓ(c)dc ≤ Γ̂(σ − 1)ĉσ−1 I.σc(B.23)cТеперь из уравнений (B.23) и (3.19), следует (B.21) со знаком<.Тогда,по лемме 2, первая часть утверждения доказана.Чтобы доказать вторую часть утверждения, мы вернемся к нера­венству (B.21), на этот раз со знаком>, и оценим его левую часть снизу.При невозрастающей эластичности имеем(σ − 1)γ̂ĉσZĉΓ(c)dc ≥ Γ̂(σ − 1)ĉσ−1 I.σccТогда искомое следует из (B.21), (B.24) и уравнения (3.19).(B.24)206Приложение 3Компьютерное моделированиеДля того, чтобы охватить все возможные случаи общей функцииполезности, следуя работе [173], рассмотрим такой класс функций полез­ностиu(x):]︁1 [︁(a + hx)ρ − aρ + bx.ρявляется ces когда a = b = 0u(x) =Частным случаем(C.1)иh = 1.IED относится спецификация этой функции с параметрамиandb = 0,а к классу DED когдаa=0иb = h = 1.К классуa = h = 1Таким образом, дан­ный класс функций (C.1) может быть использован для иллюстрации всех14принципиально важных случаев.Рассмотрены три вида распределенияпредпринимательских способностей.

Во-первых: равномерное распреде­лениена интервале[c, c].Во-вторых, распределение с линейно-возрас­тающей функцией плотности на том же носителе, что и в предыдущемслучае. И в-третьих: распределение с линейно-убывающей плотностью.В последних двух случаях, мы будем иметь относительно низкий (со­ответственно – высокий) уровень предпринимательских способностей вэкономике.В таблицу 1 сведены результаты компьютерных симуляций для трехразличных спецификаций функции полезности и для трех типов рас­пределений предпринимательских способностей в экономике. В верхнейчасти таблицы представлены результаты изменений размера рынкаL(при заданном распределении), в то время как в нижней части таблицы- результаты мультипликативного преобразования распределения (присохранении размера рынка постоянным). Данное преобразование моде­лируется следующим образом: новая плотность распределения получа­ется из старой плотностисителе14[kc; kc]γ(c)по правилу(︁ )︁c1k γ k ,и определена на но­с помощью коэффициента преобразованияk > 0.КогдаЗаметим, что функция (C.1) относится к классу IED или DED для всех значений x привыбранных значениях параметров.

Поэтому эту функцию нельзя использовать для иллюстрацииситуации, когда функция меняет свое поведение IED или DED при изменении аргумента x.207k > 1,среднее значение предпринимательских способностей в экономи­ке снижается, в то время как в случаеk < 1– увеличивается. Во всехслучаях в качестве меры неравенства между групп приводится значе­ние средней прибыли фирмы к заработной плате (πc /w).

Также приво­дятся значения доли предпринимателей в экономикеΓ(ĉ)и три мерынеравенства доходов в экономике в целом: межквартильный размах iqr= 100 × [(incomep25 − incomep75 )/incomep75 ], коэффициент вариации дохода(cv) и коэффициент Джини.Как видно из среднего столбца таблицы 1, в случае ces предпочте­ний не происходит изменений в доли предпринимателей и в уровне нера­венства по доходу при изменении параметровLилиk.Эти результатыбудут более подробно обсуждаться в следующей главе.

Таблица 1 При­ложения 3 также выявляет некоторое число интересных случаев. Какможно видеть из части (a) таблицы, доля предпринимателей (а в месте сней и значение разделяющего уровня) убывает поLв случае IED и воз­растает в случае DED. При ces предпочтениях, как и должно быть, доляпредпринимателей постоянна. Рисунок 12 показывает, как изменяется до­ля предпринимателей по мере изменения размера рынка. Это изменениев доле предпринимателей приводят к увеличению неравенства, измеряе­мого межквартильным размахом (IQR%) или коэффициентом вариациидохода (cv), в случае IED, и приводят к уменьшению неравенства в слу­чае DED. Замечательно, что результаты для IQR - те же самые, что бы­ли получены аналитически в разделе 2.4.2. Заметим также, что индексДжини убывает в обоих случаях.На основе данных симуляций эффект размера рынка может бытьпроинтерпретирован следующим образом в случаях IED и DED: если раз­мер рынка увеличивается на 40%, то доля предпринимателей возрастаетна 7% в случае DED и убывает на 11% в случае IED.Из частей (b)–(d) таблицы 1 можно видеть, что эффект измене­ния носителя распределения оказывается неоднозначным.

Во-первых, ces2080.20CESDED0.150.10IED0.05101112131415xxthmouarBarnsSa tabnta le−Fe −YaCitylIowCBhloamompainiggnto−n−−U−rNbaonrmaaLafaAp yepletteto Gren− e−O n Bsh aykoshM−−LailBwuaNeeCffuakro loenasse−−he −NRiaagcainraeFaCllsedarRapidsaordGiteloebo−3Steubenville−−ShntoyganKJa okneomsv oille−−B−−Rkeeau−2.75WeirgarNiaffalo−−ilwMBuPunta−2log(Share of self−employed)−2.5−2.25acineFaaaheenosh−−Nshkn−−OpletoApCKouIo mkbomoeb wa erlaoy La Cit ndga C yn rossBloJeanoillem esin vil−−gtoleLa ChWefair amn−−−ytoe p−NBentte aigorloitG n−mre −alen UBa rbay na−3SteubenvSh−2.75FortMFo Pieedrt rcefoM −−rdye P−−rs orAs−− t ShlaC t.ap Lnde ucC ieoralEuSagerasoneta−−−−SBW prSa radilm ingn N enin fieLu ap togto ldis le nSanO snta WebisstBapoPa−−rblmarAtaBea−scac−Sadh−aner−Btao−ocM−ParaasiaR−−atooRLonobmleposc−1.75natoRBocaalmWestPWilmllslog(share of self−employed)−2.5−2.25MissoulaGrandJunction−2PuntaGordaBeMach−−edfo−1.75SaBantarn Festable−−rd−−YaAsrhla moSaNuthainnndgtoLu plesisnObisEupoge−ne−A−taSa −Sscanta prinFodeBa gfirort−−Mrb eldyearPaa−rsso−−−RC Sa Saobap ra nlee so tasC ta Mor − aral − iaBr −−ad Len omto pon cРис.

12. Доля предпринимателей в зависимости от размера рынка L.11121314log(MSA population)151617−2−1.75−1.5−1.25log(Share of ’some college’ educated)−1−.75Рис. 13. Доля самозанятых (share of self-employed) в зависимости от размера рынка(MSA population) и от доли поступивших в колледж (share of "some college"educated),все данные в логарифмах (us Census, 2000).опять оказывается пограничным случаем, когда мультипликативное пре­образование распределения не приводит ни к каким изменениям в долепредпринимателей в экономике и в уровне неравенства. Причина здесьв том, что мультипликативное преобразование распределения приводитк пропорциональному изменению разделяющего уровняĉ,что означа­ет, что доля предпринимателей остается той же самой (см.

Характеристики

Список файлов диссертации