Диссертация (1138062), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Следовательно,ru′ T 0 ⇔ B S 1. Теперь исследуем компоненту A. Из следствия 3 известно:(ℰ x [u])′ T 0⇔rln u S 1⇔ℰ x [u]S 1,1 − ruкоторое влечет(ℰ x [u])′ T 0⇔A S 1.Таким образом, в зависимости от знаковнуть два случая.ru′и(ℰ x [u])′могут возник193Случай 1:ru′ ≤ 0и(ℰ x [u])′ ≤ 0,A ≥ 1, B ≥ 1Случай 2:ru′ ≥ 0andв этом случае(ℰ x [u])′ ≥ 0,A ≤ 1, B ≤ 1Заметим, что только когдаℰL [ĉ] ≥ 0.⇒в этом случаеℰL [ĉ] ≤ 0.⇒A = B = 1,будем иметьспециальный случай соответствует функции полезностиℰL [ĉ] = 0.u,Этотявляющейсястепенной функцией, т.е. соответствует случаю ces предпочтений.
Случаи неопределенности возникают когдаA>1иB < 1,что эквивалентно(ℰ x [u])′ < 0 и ru′ > 0; или когда A < 1 и B > 1, что эквивалентно (ℰ x [u])′ > 0иru′ < 0.Вспоминая, чтоℰL [µ] = ℰL [Yĉ ],и объединяяя (A.13), (A.14) и(A.21),получаем в итоге:ℰL [µ] = r̂u (1 + ℰL [ĉ]) − ℰL [ĉ] = r̂u − (1 − r̂u ) ℰL [ĉ] =1+1+Поэтому величина эластичностимодификатора спросаJĉYĉr̂u û γ̂ĉ1−r̂u ̃︀u Γ̂+1 û γ̂ĉ1−r̂u ̃︀u Γ̂≥ 0.(A.22)µ ограничена внутри интервалов:⎧⎪⎪⎪⎪⎨[ru (xĉ ); 1] , ifℰL [µ] ∈ ⎪⎪⎪⎪⎩[0; ru (xĉ )] , ifДоказательство утверждения 2.5ℰL [ĉ] ≤ 0(A.23)ℰL [ĉ] ≥ 0Покажем, что неравенство по доходусреди предпринимателей, измеряемое ‘межквантильным размахом’ междуc1иc2 ,тогда и только когдаru′ ≥ 0,в то время как величина неравенства остается неизменной если и только еслиru– константа, т.е.
в случаеces предпочтений. Для доказательства рассмотрим влияние размера рынка на отношение прибылейπc1 /πc21/c1 > 1/c2предпринимателей двух произвольноxc1 > xc2 . Поэтому, имеем:[︃]︃(︃)︃[︃ ]︃π c111r̂u(︀ )︀ − (︀ )︀ (1 − r̂u )− ℰL [ĉ] .= ℰL [πc1 ] − ℰL [πc2 ] =ℰLπ c2r u x c2ru xc11 − r̂uвзятых типов, гдетак, что(A.24)194ПосколькуℰL [ĉ] ≤r̂u1−r̂u (см.
уравнение (A.22) ), и посколькуru ≤ 1,tэтоru′ ≥ 0.выражение будет положительным тогда и только тогда, когдаПриложение 22.1. Доказательства утверждений из раздела 3.1Равновесиености типаxcВыразив объем индивидуального потребленияcиз уравнения (3.3), подставив затем его в уравнение (3.2),2ρ1и разрешив уравнение относительноµ получим: µ 1−ρ = Lρ 1−ρRĉρ2ρразновидρ− 1−ργc dc =ccLρ 1−ρ Γĉ c̃− 1−ρ .Подставив найденное выражение в уравнение (3.5), и преобразовавего, получим уравнение (3.7), которое можно преобразовать следующимобразомρZĉ (︃ )︃ 1−ρĉρ(1 − ρ) =γc dcc(B.1)cОчевидно, что правая часть уравнения является возрастающей функцией отприĉ , принимающей значения от 0 при c = c доc cγcdc =Γ(︁ c )︁ĉ = c.
Последнее неравенство следует из того, что c̃ ∈ c; ĉзначенииcρRc (︁ c )︁ 1−ρĉρ(︁ )︁ 1−ρcc̃>1при любом, т.к. оно является условным степенным средним величинына интервале[︁ ]︁c; c .0 < ρ(1 − ρ) < 0.25,(︁ )︁интервале c; c .Посколькуединственное решение наМультипликатитвно эквивалентные экономикито уравнение имеетДля экономики, в которой типы индивидов распределены на интервале[︁tc; tc]︁с плотностью(︁ )︁γ ct , уравнение, определяющее значение разделяющего типа ρ(1 − ρ) =ρ(︁ )︁Rĉt (︁ ĉt )︁ 1−ρc 1cγtc ct t dc после замены переменной z = t выглядит следующимобразом:ĉtρ Zt(︃ )︃− 1−ρρĉtρ(1 − ρ) =z− 1−ρ γ(z)dztc(B.2)195Это уравнение эквивалентно уравнению (B.1) и (как доказано выше) имеет единственное решение:Прибыль фирмы типабылью фирмы типаρ(︁ )︁ 1−ρtctĉ= πc .c= ĉ ≡ ĉt .ĉttct = tcв экономике типаtсовпадает с прив эталонной экономике, посколькуπ ct =ρ(︁ c )︁ 1−ρСледовательно, совокупный доход произвольной группыпредпринимателей из экономики типа=tĉtΩ1tt совпадает с совокупным доходомгруппы соответствующих предпринимателейΩ1из базовой экономики,то есть отношение совокупных доходов любых двух групп предпринимателейΩ1tиΩ2tне зависит от типа экономики.Аддититвно эквивалентные экономикииспользовать обозначение:α=Для упрощения записи будемρ1−ρ .
Запишем теперь несколько преобраt: ρ(1 − ρ) =Rĉtĉαt t+cc−α γ(c − t)dc. Сделаем замену переменной z = c−t и, получив ρ(1 −Rĉ −tρ) = ĉαt ct (z + t)−α γ(z)dz , возьмем дифференциал от этого уравнения по)︁(︁)︀(︀α−1переменным t и ĉt : αĉtIα + γĉt dct = αĉαt Iα+1 + γĉt dt.Rĉt −tαĉtα+1 Iα+1 +ĉt γĉtdct−αТаким образом,=,здесьI≡αc (z + t) γ(z)dz. Поdtαĉα Iα +ĉt γĉзованное уравнение (3.7), примененное к экономике типаttα+1кажем, что ĉtIα+1 > ĉαt Iα . Действительно, для произвольного α верно)︁α γ(z)[︁]︁Rĉt −t (︁ ĉtĉαt Iα=z+t)dz.
Поскольку ∀z ∈ c; ĉ − tравенствоcΓ(ĉt −t)(Γ(ĉt −t)ĉtz+t ≥ 1, то правая часть равенства тем больше, чем больше α, следоваdctтельно неравенство верно. Таким образом,dt > 1 , т.е. ĉt растет быстрее,чем t, значитĉ − tвозрастает.Эластичность замещения и форма распределения(3.7) следующим образом:RHS (ĉ) = Γĉличенииρρ(︁ )︁ 1−ρĉc̃=ρRĉ (︁ ĉ )︁ 1−ρc cLHS (ĉ) = RHS (ĉ),γc dc.Посколькуграфик возрастающей функцииа график функцииздесьĉ > cиRHS (ĉ)Запишем уравнениеLHS (ĉ) = ρ(1 − ρ),ρ > 0.05,ато при уверастягивается вверх,LHS (ĉ), представляющий из себя горизонтальную линию, смещается вниз. Таким образом, точка пересечения двух графиковсмещается влево,т.е.
значениеся и доля предпринимателейĉуменьшается, следовательно уменьшаетS = Γĉ196Используя выражения для функции плотности и функции распределения семейства степенных распределений, вычислим:ρ− 1−ρc̃tZĉ= cρ− 1−ρc(︂ c )︂t−1 t 1ρ− 1−ρtdc = ĉtρcc Γĉtt − 1−ρПерегруппировав это выражение, получимρ(︁ )︁ 1−ρπc̃ =ĉc̃1ρ 1 , и подставив1− 1−ρtв (3.7), получим выражение для доли предпринимателей:(︁ρ) 1 −ρ 11−ρ t . Данная величина возрастает по)︁tS t = Γĉt = ρ(1 −и убывает поρприρ ∈(0.5; 1).Значение разделяющего типа получим из функции распределения:(︃ĉt = cρ (1 − ρ) 1 −1t1tρ 11−ρt)︃ 1t(︂ Совокупный2 )︂ доход работников по найму равен: Wt = L(1 − S t ) =L 1 − ρ(1 − ρ) + ρt .
Это выражение убывает по t и возрастает по ρ приρ ∈ (0.5; 1).Поскольку совокупный доход предпринимателей равенΠt =Lρ(1 − ρ)(︂, то совокупныйдоход всех индивид в экономике равен E t = Πt +)︂Wt = L 1 +ρ2t , который также возрастает поρи убывает поt.Следовательно, доля доходов предпринимателей в совокупном доходе в экономике снижается при увеличенииρили при уменьшении t, и повышаетсяв противоположном случае. Соответственно, неравенство двух групп индивидов изменяется таким же образом.Кривая Лоренца и индекс ДжиниПредпринимателиДоля предпринимателей с типамищей массе:1δ=ΓĉtZĉcc ∈ [c; ĉ](︂ c )︂tΓĉt − ΓcΓcγc dc ==1−=1−ΓĉtΓĉtĉв их об(B.3)Доля дохода этой группы предпринимателей в совокупном доходе предпринимателей:197RĉLcπc γc dcΠρ (︁ )︁Rĉ (︁ ĉt )︁ 1−ρc t−1=ccĉtc dcρ(1 − ρ)=1−ρ(︂ c )︂t− 1−ρ(B.4)ĉИз (B.3) и (B.4) получаем выражение для кривой Лоренца:ρ 1l(δ) = 1 − (1 − δ)1− 1−ρ tОчевидно, что чем больше значениекривая вогнута.
Т.е. чем большеρρ(B.5)и меньше значение t, тем сильнееили меньшеt,тем больше уровеньнеравенства среди предпринимателей. Тот же результат демонстрируетиндекс Джини:Z1G = 1 − 2 l(δ)dδ =0То есть, чем большеВсе населениеtили меньшеρ,(B.6)тем индекс меньше.c ∈ [c; ĉ](︂ c )︂tДоля индивидов с типамиδ = 1 − Γc = 1 −Если2ρ 11−ρ tρ 1− 1−ρtc > ĉ,в их общей массе:(B.7)cто есть это только работники по найму, то доля доходов этой группы индивидов в совокупном доходе в экономике:Учитывая выражение (B.4) и выведенную ранее формулуEt ,L(1−Γĉ ).Etполучаемуравнение той части кривой Лоренца, которая соответствует работникампо наймуl1 (δ) =ЕслиWt + Lδ1+c < ĉ,RĉcEtρ2t[︁ ]︁ρ2∀δ ∈ 0; δ̂ , δ̂ = 1 − Γĉt = 1 − ρ(1 − ρ) +t(B.8)то доля доходов этой группы индивидов равна:πz γz dz=Wt + Π t − LEtRc0 πz γz dz=1−ρ 1(︁ )︁1− 1−ρtcc11+ρ2t(︁ρ(1 − ρ) −)︁ ρ 1ρ2 1− 1−ρ tt198Таким образом, уравнение второй части кривой Лоренца:l2 (δ) = 1 −11+ρ2t⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝ρ 1⎞1− 1−ρt⎟[︁ ]︁⎟⎟⎟1−δρ2⎟∀δ ∈ δ̂; 1 , δ̂ = 1 − Γĉt = 1 − ρ(1 − ρ) +2 ⎟⎠tρ(1 − ρ) − ρt(B.9)В точкеδ̂= l2 (δ) = lˆ = 1 −обе части кривой стыкуются: l1 (δ)Таким образом, уменьшение12 .1+ ρtt или увеличение ρ приведет к большейвогнутости кривой Лоренца, то есть к большему неравенству.Индекс Джини:Z1Z1⎛⎞⎜⎜⎜⎟⎟ˆ − 2(1 − δ̂) ⎜⎜⎜1 − 1 − l ⎟⎟⎟⎟G = 1 − 2 l1 (δ)dδ − 2 l2 (δ)dδ = 1 − δ̂2 (1 − l)ρ 1⎠⎝2 − 1−ρt0(B.10)02.2.
Доказательства утверждений из раздела 3.3Доказательство утверждения3.3.1(︂ 2 )︂−σ⎧⎪µσ cθ⎪⎪x(θ) = (σ−1)⎪2⎪⎪⎪⎪⎨⎪c(ϕ) = ϕ(σ−1)⎪Lxc(ϕ)⎪⎪⎪⎪R⎪σ−1⎪⎩µ =σ (θ)dθxΩeРассмотрим сначала первое уравнение системы для разновидностейθ, производимых безразличными индивидами с характеристиками (c(ϕ); ϕ),т.е. для таких разновидностей имеем:x(θ) = xc(ϕ)итеперь его со вторым уравнением системы, получим:иσσσxc(ϕ) = (σ − 1)z−1 L− σ−1 µ σ−1 ϕ σ−1 ,гдеz=(︁)︁ 2σσ − σ−1σ−1Теперь для произвольной разновидностидом с характеристикамиcθ = c(ϕ).1σ1c(ϕ) = zL σ−1 µ− σ−1 ϕ− σ−11(σ − 1)− σ−1 .θ,производимой индиви(cθ ; ϕθ ) рассмотрим разновидность θ̂, производимую безразличным индивидом с характеристиками(c(ϕθ ); ϕθ ), т.е.
у которого вторая характеристика такая же, как у индивида типапервого уравнения системы имеем:(︁ )︁вместо x θ̂ = xc(ϕ )θ̂и c(ϕ) выражения,Объединивx(θ) = x(θ̂)(︁ c(ϕ ) )︁σθcθθ.Тогда из. Подставим теперьполученные выше, и получим:199σ−1 − σ−1x(θ) = (σ − 1)z Lµσσ−1⎛ 1 − σ − 1 ⎞σ⎜⎜⎜ zL σ−1 µ σ−1 ϕ σ−1 ⎟⎟⎟⎟⎠ = (σ − 1)zσ−1 µ−σ c−σ⎝⎜θcθσσ−1ϕПодставив теперь это в третье уравнение системы, мы будем иметь:⎛⎞ σ1Z⎜⎟⎟⎟⎜⎜⎜1 ⎜σ−11σ−1 2dθ⎟⎟⎟1−σµ = (σ − 1) σ2 z( σ ) L σ S Eσ ⎜⎜⎜⎜ cθ⎟ ,LS E ⎟⎟⎠⎝ΩEздесьSE– для предпринимателей в экономике.
Подставляя данное выражение в найденную выше формулу для окончательно получим:1c(ϕ) = Kϕ− σ−1 ,где11−2K = (σ − 1)− σ−1 σ− σ−1 c̃S E σ−1тель, зависящий от доли предпринимателейрепрезентативного предпринимателяДоказательство утвержденияc̃ =(︁R– масштабирующий множиSEи предельных издержки1−σ dθΩ E cθLS E)︁ σ1.3.3.2Константа в выражении для разделяющей кривойможет быть выражена через интеграл:11J =RΩEdθc1−σθL,1c(ϕ) = Kϕ− σ−1при этомK =2kJ − σ−1 , k = (σ − 1) σ−1 σ− σ−1 .J,Вычислим интегралучитывая, что для каждой для каждой пары индивидуальных характеристик(c; ϕ)существуетΩE(︁ ϕ )︁δcразличных предпринимателей из множестваности имеют вид:g(c) =δcc(︁ )︁δcccиψ(ϕ) =δϕϕϕLγ(c; ϕ) = Lg(c)ψ(ϕ). Соответствующие плот.
Таким образом, интегралравен:ZZ∞ c(ϕ)J=c1−σ g(c)ψ(ϕ)dcdϕ = δϕ ϕδϕ δc c−δcϕ 0ZZ∞ c(ϕ)cδc −σ ϕ−δϕ −1 dcdϕϕ 0Z∞J=δc −σ+1 −δϕ −1ϕc(ϕ)dϕϕJ=Kδc −σ+1Z∞δc−δϕ − σ−1ϕϕδϕ ϕδϕ δc c−δcδc − σ + 1δϕ ϕδϕ δc c−δcδc − σ + 1200Учитывая что,J=K 1−σ, то из формулы выше мы имеем:k1−σδcδϕ ϕδϕ δc c−δc ϕ1−δv arphi− σ−1K 1−σ(︁ δ)︁ (︁)︁ K δc −σ+1=1−σδcck(σ − 1) σ−1− 1 δϕ + σ−1−1(︁ )︁2σkσ−1=Посколькуσ−1σ−1 , то окончательно имеем:K = cϕ((︂ δ)︂ δ1c (︂)︂ δ1c − 1 − 1 (︃ σ − 1 )︃ δ2cδcc)−1− 1 δϕ δc δc δcδϕ +σ−1σ−1σδc1σ−1 −1 δcТаким образом, видно, что с увеличениемтает, т.е.
разделяющая криваяc(ϕ)c и ϕ константа Kвозрассдвигается вверх.Доля предпринимателей вычисляется по формуле:ZZ∞ c(ϕ)(︃ )︃δ dcdϕδc (︂ c )︂δc δϕ ϕ c=c c ϕ ϕSE =ϕ 0Беря интеграл последовательно, мы имеем:Z∞ (︃SE =ϕc(ϕ)c)︃δc(︃ )︃δϕ ϕ δc dϕ=ϕ ϕПодставляя теперь выражение длявыше константыK,1c(ϕ) = Kϕ− σ−1с учетом найденнойполучим:SE =δcσ−1ϕδc(︃σ−1σ)︃2 ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝1 −1δϕ +δcσ−1⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠Отсюда очевидно, что доля предпринимателей не зависит отϕδϕc, а отзависит отрицательно. При этом по обоим параметрам распределенийиδcдоля предпринимателей зависит положительно.Выпишем условие, при котором будет наблюдаться паттерн типа A:c(ϕ) ≤ cПодставляя в выражение для разделяющей кривойвыражение для константыK,1c(ϕ) = Kϕ− σ−1полученное при доказательстве утверждения 3.3.2, условие для образования паттерна типа A может быть записанотеперь так:201ϕ≥δcσ−1ϕδc(︃σ−1σ)︃2 (︂δϕ +δc )︂σ−1Точное равенство соответствует ситуации, в которой разделяющаякривая проходит через верхний левый угол области, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
