Диссертация (1138062), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Поскольку согласно условиюпервого порядка задачи потребителя2 − ru′T11 − ruru ≤ 1,⇔то получаем требуемое:ru′ T 0.Лемма 2.u′ℰ x [(1 − ru )u′ ] = − 2−r1−ru ru < 0.Доказательство. Для доказательства достаточно высчитать эластичность,берясоотвествующие производные поx:ℰ x [(1 − ru )u′ ] = −ruℰ x [ru ] − ru .1 − ruПосле применения Следствия 1, получаем необходимое равенство.
Отметить отрицательноть эластичности вследствие неравенств0 < ru < 1иru′ < 2 , вытекающих из условия первого порядка для задачи потребителяи условия второго порядка для задачи производителя.Лемма 3. Вычисляя rlv для функцииln[u(x)],имеем:rlnu = −ℰ x [u′ ] +ℰ x [u] = ru + ℰ x [u].Доказательство. Применяя (2.7), непосредственными вычислениями получаемrlnu(︃ ′ )︃′(︃ ′′)︃u uuu′2 x u= −x=−− 2xu u′uu u′[︀ ]︀u′′u′= − ′ x − x = −ℰ x u′ + ℰ x [u] = ru + ℰ x [u] .uuСледствие 3. Из Леммы 3получаем следующие формулы двойной эластичности:ℰ x [ℰ x [u]] = 1 − ru − ℰ x [u] = 1 − rln u .Доказательство. Применяя Лемму 1 к функции−ℰ x [u′ ],u,и учитывая чтоru =а также применяя Лемму 3, получаем:ℰ x [ℰ x [u]] = 1 + ℰ x [u′ ] − ℰ x [u] = 1 − ru − ℰ x [u] = 1 − rln u .1851.2. Доказательства утверждений из главы 2Доказательство утверждения2.1Доказательство.
Рассмотрим двух предпринимателей с типами 1 и 2 , такчто1/c1 > 1/c2 .ший выпускДокажем, что предприниматель 1: (i) производит боль(xc1 > xc2 );(ii) устанавливает меньшую цену ( p(xc1 )и (iii) получает большую прибыль (π(xc1 )> π(xc2 ))< p(xc2 ));чем предприниматель 2.Докажем (i). Заметим, что выпуск фирмы типаyc = xc L,c в оптимуме равени определяется из условияu′ (xc )[1 − ru (xc )] = cµ,(A.3)являющимся комбинацией условий первого порядка для задачи потребителя и задачи производителя. Из (A.3) находим оптимальный уровеньc, xc ,индивидуального потребления разновидности типаиµ.как функциюcИз Леммы 2, получаем, что левая часть уравнения (A.3) – убывающая функция отx.Тогда из (A.3) следует также, что левая часть этогоуравнения – также убывающая функцияℰc [xc ] = ℰµ [xc ] = −cиµпоскольку1 1 − ru≤ 0.ru 2 − ru′(A.4)Для доказательства (ii) будем использовать выражение оптимальной цены на разновидность типаc:pc = c/[1 − ru (xc )].По определениюэластичности, и , применяя правило взятия эластичности от эластичности, выведенное в Лемме 1 из раздела 1.1, а также используя (A.4),получимℰc [pc ] = ec [pc ] + e xc [pc ] · ℰc [xc ] = 1 + ℰru [pc ] · ℰ xc [ru ] · ℰc [xc ] =1 − ru≥ 0.2 − ru′Докажем (iii).
Оптимальная прибыль предпринимателя задаетсявыражениемогибающей.πc = (pc − c) yc ,которое убывает поcв силу теоремы об186Доказательство утверждения 2.2Перед доказательством утверждения 2.2докажем следующую лемму.Лемма 4. Оптимальное потребление разновидности, производимой предпринимателем разделяющего типа,ющего значенияĉxĉ , отрицательно зависит от разделяи от размера рынкаL.Доказательство. Для простоты примем следующие обозначения:x̂ ≡ xĉ , û ≡u ( x̂) , û′ ≡ u′ ( x̂), and r̂u ≡ ru ( x̂). Условие безразличия (self selection condition,далее – ssc), задается уравнениемr̂ux̂Lĉ = 1,1 − r̂u(A.5)которое определяет индивидуальное потреблениеУвеличивая значениеx̂как функциюĉиL.Lĉ к бесконечности, и, беря соответствующие частные эластичности от обеих частей уравнения поĉ,получим:}︃[︃ ]︃]︃ {︃1r̂u x̂r̂uℰ x̂ [r̂u ] + 1 eĉ [ x̂] = eĉeĉ= ℰ x̂ [r̂u ] += −1.1 − r̂u1 − r̂uLĉ[︃Применяя следствие 1, будем иметь:eĉ [ x̂] = −(1 − r̂u )/(2 − r̂u′ ) < 0.симметрии уравнения (A.5) частная эластичностьтакое же выражение:x̂поLВ силубудет иметьeL [ x̂] = −(1 − r̂u )/(2 − r̂u′ ) < 0.Теперь мы можем доказать основной результат утверждения, именно:существование и единственность равновесия.Доказательство.
Опять же для простоты, примем следующие обозначения:x̂ ≡ xĉ , û ≡ u( x̂), û′ ≡ u′ ( x̂), û′′ ≡ u′′ ( x̂), r̂u ≡ ru ( x̂), r̂u′ ≡ ru′ ( x̂), u = u(xc ).Уравнения задающие равновесие: (2.4), (2.9) и (2.12):u (xc ) [1 − ru (xc )] = µc,′[︁ ]︁∀c ∈ c; ĉ(A.6)Zĉµ = L u(xc )γc dc(A.7)cr̂uĉL x̂ = 11 − r̂u(A.8)187Покажем вначале, что если равновесие существует, то оно - единственно.Во-первых, индивидуальное потребление развновидности типа– убывающая функция поcи поµ(в силу (A.4) .
Как было показано вЛемме 2, левая часть условия (A.6) – убывающая функция поСледовательно,xcc, xc ,– убывающая функцияcи{xc }c∈[c;ĉ] .µ.Во-вторых, правая часть уравнения (A.7) положительно зависит отL, ĉxc ,ии отрицательно – отc.функции индивидуального спросаубывающая функция поВ силу вышеустановленных свойствxc ,правая часть уравнения (A.7) –µ и по c, и возрастающая – по ĉ и по L. Применяятеорему о неявной функции к уравнению (A.7), получаем возрастающую(︁ ⃒)︁µ(ĉ), параметризованную L и c.
Обозначим ее, как µ = µ1 ĉ ⃒⃒ L, c .кривуюLЗаметим, чтосдвигает эту кривую вверх, в то время какcсдвигает еевниз. Эта кривая отражает ‘изменение силы конкуренции’ при данномзначении разделяющего значенияµ, тем меньше индивидуальное потребление. Будем ссылаться наспроса,µ1ĉ: чем больше величина модификаторакак на intensity of competition curve (icc).В-третьих, мы знаем из уравнения (A.8) чтоно отĉи отLr̂u ,зависит отрицатель(см. Лемму 4 выше). Объединяя уравнения (A.6) и (A.8),получим следующее условие:делениеx̂получимµµ = r̂u û′ L x̂. Альтернативно, используя опрекак убывающую функцию поx̂: µ = − x̂2 û′′ L.самом деле: правая часть этого условия – убывающая функция повозрастающая поx̂,посколькуℰ x̂ [− x̂2 û′′ L] = 2 − r̂u′ > 0.LВи–Следовательно, вµ(ĉ), параметризован⃒⃒ную L.
Обозначим ее, как µ = µ2 (ĉ ⃒ L). Заметим, что увеличение L сдвигасилу свойствx̂,будем иметь нисходящую кривуюет кривую вверх. Функцияµ2отражает эффект самоотбора индивидов впредеприниматели при заданном значении интенсивности конкуренцииµ:чем выше интенсивность конкуренции, тем меньше разделяющее значениеĉ и меньше доля предпринимателей. Поэтому в дальнейшем будемссылаться на эту кривуюµ2как на self-selection curve (ssc).188Посколькувающая поµ1 – возрастающая функция по ĉ, в то время как µ2 – убыĉ, очевидно, что если пересечение есть, то оно – единственное,что и доказывает единственность равновесия.Покажем теперь, что равновесие существует и единственно.
Заметим, во-первых, что из поведения кривой icc (A.7) очевидно следует, чтоlimĉ→c µ = 0, поскольку полезность всегда конечна. Так как u(xc ) убываетпоc,то заменивu(xc )наименьшим значениемu(xĉ ),получим в итогеZĉµ(ĉ) = L u(xc )γ(c)dc ≥ Lu(xĉ )Γ(ĉ).cПереходя к пределуĉ → c,будем иметьµ(c) ≥ Lu(xc ).Обратимся теперьк кривой ssc, комбинируя уравнения (A.6) и (A.8), так что она можетбыть записана какимеемµ(ĉ) = r̂u x̂û′ L = r̂u ℰ x̂ [û]ûL.Посколькуru ≤ 1, ℰ x [u] ≤ 1,µ ≤ ûL. Иначе говоря, кривая ssc начинается с некоторого положительного значения, убывает, и не превосходит значенияСледовательно,limĉ→c µ = Lu(xc ).µ(c) ≤ Lu(xc ).Из всего вышеизложенного следует (по непрерывности), что кривые icc и ssc должны пересечься, и причем – один только раз (в худшемслучае равновесие будет таким, что разделяющее значениеверхним значениемĉсовпадет сc).Влияние размера рынка на размер фирмСейчас будет получена характеризация эластичности индивидуального потребления отдельной разновидности,рынкаxc , и ее совокупного выпуска , yc = Lxc , при изменении размераL как функция эластичности разделяющего значения ĉ по размерурынка.Лемма 5.
Эластичность индивидуального потребленияx̂ разновидности,производимой предприниателем с безразличным уровнем предпринимательских способностей по отношению к размеру рынка задается,как:ℰL [ x̂] = −1 − r̂u· (1 + ℰL [ĉ]) .2 − ru′c(A.9)189Эластичность индивидуального потребленияLxлюбой разновидности поэто следующее выражение:(︃)︃r̂u1 − r̂u r̂u 1 − ru (xc )ℰL [xc ] = −− ℰL [ĉ] .r̂u ru (xc ) 2 − ru′ (xc ) 1 − r̂u(A.10)Доказательство.
Для сокращзения записи, используем следующую нотация:x̂ ≡ xĉ , û ≡ u ( x̂) , û′ ≡ u′ ( x̂) , r̂u ≡ ru ( x̂).Для доказательства (A.9),мы можем просто декомпозировать полную эластичностьeĉ [ x̂]ℰL [ĉ]ℰL [ x̂] = eL [ x̂] +и использовать формулы частной эластичности из Леммы 4.Для доказательства (A.10) используем условиеu′ (xc )[1 − ru (xc )] = cµ,применив его к функции индивидуального потребления разновидности,производимой предпринимателем разделяющего типа и к функциям индивидуального потребления прочих разновидностей:(1 − r̂u ) û′[1 − ru (xc )] u′ (xc )=µ=cĉВзяв эластичность левой части поL,используя результат из Леммы 2,и применив правило вычисления эластичности сложной функции, будемиметь:[︃ℰL]︃(1 − ru (xc )) u′ (xc )[︀]︀= ℰ xc (1 − ru (xc )) u′ (xc ) · ℰL [xc ]c2 − ru′ (xc )=−· ru (xc ) · ℰL [xc ].1 − ru (xc )Для того, чтобы вычислить эластичность правой части, поступим такимже образом, учтятот факт, что эластичностьĉ по L – ненулевая.
ИспольℰL [ x̂] из (A.9), имеем:[︃]︃(1 − r̂u ) û′[︀]︀ℰL= ℰĉ (1 − r̂u ) û′ · ℰL [ x̂] − ℰL [ĉ]ĉ1 − r̂u2 − r̂u′=· r̂u ·· (1 + ℰL [ĉ]) − ℰL [ĉ]1 − r̂u2 − r̂u′= r̂u − (1 − r̂u ) · ℰL [ĉ].зуя выражение дляПоскольку в равновесии эластичности обоих частей доджны быть равны,получим:−2 − ru′ (xc )· ru (xc ) · ℰL [xc ] = r̂u − (1 − r̂u ) · ℰL [ĉ].1 − ru (xc )190Преобразовав выражение, получим требуемое (A.10).Имея выражение для эффекта размера рынка на индивидуальноепотребление, эффект размера рынка на выпуск отдельной фирмыLxcyc =будет следующим:(︃)︃r̂u1 − r̂u r̂u 1 − ru (xc )− ℰL [ĉ] .ℰL [yc ] = 1 −r̂u ru (xc ) 2 − ru′ (xc ) 1 − r̂u(A.11)Поэтому, можем записать полную характеризацию эффекта размера рынка на выпуск фирм в следующем виде:(pointwise atЕслиdru′ (x)/dx < 0,dedx)iedr′u < 0r′u = 0r′u > 0ĉ ↑yc ?yc ↑yc ↑dĉ = 0yc ↓yc = constyc ↑ĉ ↓yc ↓yc ↓yc ?изменение размера рынка влияет на выпуск эффективных фирм сильнее, чем на выпуск неэффективных, если ied.
В случаеже ded эффект будет обратным.Доказательство утверждения 2.3Докажем основной результат главыоб эластичности разделяющего значенияотношению к размеру рынкаL.ĉи модификатора спросаµпоОбозначим для простоты записи:Zĉx̂ ≡ xĉ , û ≡ u( x̂), û′ ≡ u′ ( x̂), r̂u ≡ ru ( x̂), Yĉ = L u(xc )γc dc,cиZĉZĉγ̂ ≡ γĉ , Γ̂ ≡ γ(c)dc, Uĉ =cИспользуя условияµĉ = (1 − r̂u )û′u(xc )γ(c)dc.(A.12)cиµ = Yĉ ,получим:[︀]︀ℰL [ĉ] = ℰL (1 − r̂u )û′ − ℰL [Yĉ ] ,так что[︀]︀ℰL û′ (1 − r̂u ) = ℰ x̂ [û′ (1 − r̂u )]ℰL [ x̂].(A.13)191Применяя Лемму 2 и выражение (A.9), будем иметь:]︀[︀ℰL û′ (1 − r̂u ) = r̂u (1 + ℰL [ĉ])Вспоминая, чтоµ = Yĉ = LUĉ ,(A.14)имеем:ℰL [µ] = 1 + ℰL [Uĉ ].Во-первых, представим полную эластичность(A.15)ℰL [Uĉ ]черзе частные эластичности следующим образом:ℰL [Uĉ ] = eL [Uĉ ] + eĉ [Uĉ ] · ℰL [ĉ],гдеeĉ [Uĉ ] =и где̃︀u≡∂Uĉ ĉûγ̂ĉ û γ̂ĉ·==̃︀∂ĉ UĉUĉu Γ̂(A.16)(A.17)Uĉможет быть проинтерпретировано как условное мат.
ожижаΓ̂ние полезности. Первая эластичность равна:∂Uĉ LLeL [Uĉ ] =·=∂L Uĉ UĉZĉu′ (xc )ℰL [xc ]xcγc dcLcПолагаяZĉJĉ =1 − ru (xc )1Lγc dcu(xc )ℰ xc [u(xc )] ·ru (xc )2 − ru′ (xc )(A.18)cи используя (A.10),имеем:1eL [Uĉ ] =UĉZĉu(xc )ℰ xc [u(xc )]ℰL [xc ]γc dccZĉ)︃(︃1 − r̂u r̂u 1 − ru (xc )r̂uu(xc )ℰ xc [u(xc )]ℰL [ĉ] −γc dcr̂u ru (xc ) 2 − ru′ (xc )1 − r̂uc)︃(︃r̂uJĉ= (1 − r̂u ) ℰL [ĉ] −.1 − r̂u Yĉ1=UĉИспользуя выражение (A.18) и (A.19), можем представить равенство (A.16)следующим образом:]︃Jĉû γ̂ĉJĉ· ℰL [ĉ] − r̂u .ℰL [Uĉ ] =+ (1 − r̂u )̃︀u Γ̂YĉYĉ[︃(A.19)192Используя (A.15), получим:]︃û γ̂ĉJĉJĉℰL [µ] = 1 ++ (1 − r̂u )· ℰL [ĉ] − r̂u .̃︀u Γ̂YĉYĉ[︃(A.20)Используя (A.13), (A.14), и (A.20) имеем:]︃û γ̂ĉJĉJĉℰL [ĉ] = r̂u + r̂u · ℰL [ĉ] − 1 −+ (1 − r̂u )· ℰL [ĉ] + r̂u .̃︀u Γ̂YĉYĉ[︃Преобразовав, получим:ℰL [ĉ] =r̂u − 1 +1 − r̂u +JĉYĉJĉYĉ r̂u(1 − r̂u ) + ̃︀ûu γ̂ĉΓ̂1 − r̂1u + YJĉĉr̂u=.1 − r̂u 1 + Jĉ + 1 û γ̂ĉ(A.21)1−r̂u ̃︀u Γ̂YĉВ итоге имеем:ℰL [ĉ] T 0Iĉ T 0,⇔Используя выражение (A.12) дляем:withYĉIĉ ≡ (r̂u − 1) Yĉ + r̂u Jĉ .и выражение (A.18) дляJĉ ,получа]︃Zĉ [︃r̂u 1 − ru (xc )Iĉ = (r̂u − 1) u(xc ) + u(xc )ℰu [xc ]γc dcru (xc ) 2 − ru′ (xc )cЛегко проверяется, чтоℰ x [u] 1 − ru 1 − ru r̂uT1′ 1 − r̂u ru1−r2−ruu⏟ ⏞ ⏟⏞A⇒Iĉ T 0⇔ℰL [ĉ] T 0.BИсследуем сперва компонентуB.Из следствия 2 известно, что1 − ruS12 − ru′а из утверждения 2.1, известно что⇔ru′ T 0,xc > xĉ для всех c < ĉ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
