Диссертация (1138062), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

В этом случае можно гаранти­ровать наличие внутреннего равновесия при произвольной функции по­лезности нижнего уровняu(·), при котором современный сектор будетне пуст. Этот результат будет доказан и обсужден более детально ни­же в разделе 2.2. Вообще, существование и единственность равновесиявыполняется и для произвольной функцииV(·),но в некоторых случаяхрешение может быть краевым. Этот результат я привожу в дополнитель­ных материалах в статье [28].Бюджетное ограничение для индивида типаξ ∈ [c; c]:ZĉL pc xc γc dc + A = I(ξ) + A,(2.2)cгде его доходI(ξ)в зависимости от типа равен:⎧⎪⎪⎨ 1I(ξ) = ⎪⎪⎩π(ξ)еслиеслиξ ∈ (ĉ; c][︁ ]︁ξ ∈ c; ĉ .(2.3)77Условия первого порядка для задачи потребителя позволяют по­лучить уравнение для функции обратного индивидуального спроса наразновидность типаc,так что ее цена оказывается пропорциональнойпредельной полезности и обратно-пропорциональна некоторой величинеµ:′u (xc )p(xc ) =µZĉ[︁ ]︁∀c ∈ c; ĉ ,µ ≡ L u(xc )γc dc.(2.4)cВ силу свойств функции полезности нижнего уровня функция спро­p(x) оказывается убывающей от некоторого положительного значениясак нулю по мере увеличения объема индивидуального потребленияметим, что чем больше значениеµ,x.За­тем меньше индивидуальный спросна каждую разновидность дифференцированного блага, и тем большеиндивид стремится диверсифицировать свое потребление при заданномдоходе.

Это стимулирует индивидов с меньшими способностями к пред­принимательству становится предпринимателями. Поскольку величинаµне зависит от типа индивида, то она является универсальной харак­теристикой рынка, которую предприниматели принимают во вниманиепри выборе оптимального объема выпуска и устанавливаемых цен напроизводимые разновидности. Таким образом,µ – рыночная статистика,характеризующая степень фрагментации спроса, как в [173].Заметим, во-первых, что квазилинейность предпочтений позволя­ет исключить эффект дохода, так что индивиды, обладающие различ­ным доходом тем не менее будут потреблять разновидность данного ти­паcв одинаковом объеме. Во-вторых, нелинейность функции верхнегоуровняV(·)является необходимым условием для того, чтобы гарантиро­вать нетривиальный эффект замещения между однородным продуктоми дифференцированным благом.

Поскольку из условия (2.4) следует, что(︁ Rĉ)︁µ ≡ 1/V L c u(xc )γc dc ,′то в случае линейной функциине будет зависеть от разделяющего значенияĉV(·)статистикаµи от численности населе­78нияL.То есть изменение размера рынка не будет оказывать влияния нина уровень конкуренции, ни на уровень неравенства в экономике.В дальнейшем степень вогнутости функцииu(·)будет играть клю­чевую роль в анализе модели. Для произвольной функцииизмерять степень ее вогнутости в точкеxf (·)будемпо формуле:x f ′′ (x)r f (x) ≡ − ′f (x)(2.5)Применительно к функции полезностиu(·) эта мера носит названиеотносительной склонности к разнообразию (relative love for variety, далее– rlv), и формально совпадает с индексом Эрроу-Пратта относительногоотвращения к риску:xu′′ (x).ru (x) ≡ − ′u (x)(2.6)Заметим, что большая вогнутость функцииu(·)соответствует боль­шему значению rlv.Введем также полезное в дальнейшем обозначение для эластично­сти функцииe x [ f (x, ·)]f (x)по ее аргументуx: ℰ x [ f (x)].– частную эластичность функцииАналогично обозначимf (x, ·)по переменнойxприсохранении остальных переменных на неизменном уровне.

В этих обо­значениях эластичность функции спроса, а значит и величина наценки,характеризуется значением индекса Эрроу-Праттаru (·)для функции по­лезности нижнего уровня. Действительно, из уравнения (2.4) получаем:u′′ (x)xp′ (x)x′=−ℰ[u(x)]=ℰ[p(x)]=−xxu′ (x)p(x)значение ru (x) в формуле выше, вычисляемоеru (x) = −Заметим, чтокретной точке индивидуального потребленияцииu(·)(2.7)в кон­x, измеряет кривизну функ­в данной точке. При сделанных выше предположениях о свой­ствах этой функции величинаru (x)не отрицательна и не превосходитединицу. Монотонность этой величины зависит от того, как сильно функ­цияu(·)отличается от степенной. В последнем случае, что соответству­ет случаю функции полезности с постоянной эластичностью замещения79(constant elasticity of substitution, в дальнейшем ces), rlv постоянна прилюбом значенииx,как и эластичность спроса, что хорошо известно.

Та­кие предпочтения играют важную роль в дальнейшем анализе, являясьграничным случаем в некоторым смысле. Случай возрастающейru (x) со­ответствует возрастающей эластичности спроса (increasing elasticity ofdemand, в дальнейшем - IED), в противоположном случае - убываю­щей эластичности спроса (decreasing elasticity of demand в дальнейшем –DED). Вообще говоря, свойства IED и DED – локальные.2.1.3. Предложение и условие безразличияКаждый предприниматель типаприбыльπ(c) = [p(xc ) − c]Lxc ,данной функции спросастатистикеp(·)cмаксимизируют операционнуювыбирая оптимальный выпускLxcпри за­на производимую разновидность, рыночнойµ и ставке заработной плате w ≡ 1.

Отметим, что в отличие отстандартного подхода в качестве переменной максимизации здесь высту­пает выпуск фирмы, а не цена, поскольку, как показано в [168], в случаемонополистической конкуренции результаты оказываются одинаковыми.Условие первого порядка для задачи производителяp′ (xc )xc + p(xc ) = cопределяет оптимальную цену на данную разновидность и выпуск, про­порциональный объему индивидуального потребления. Переписав дан­ное условие в терминах наценкиM(c) ≡ [p(xc ) − c]/p(xc ),и используявыражение для эластичности спроса (2.7), можно получить простое усло­вие, определяющее оптимальную цену в терминах rlv:M(c) = ru (xc )⇒p(c) =c.1 − ru (xc )(2.8)Данное условие вместе с условием первого порядка для задачи по­требителя (2.4) позволяет получить объем индивидуального потребленияразновидности типаcпри данном значении рыночной статистикиµ,какрешение следующего уравнения:u′ (xc ) [1 − ru (xc )] = µc(2.9)80Достаточное условие максимизации прибыли задается условием вто­рого порядка[︃]︃′′′′′′′′′′u(x)x∂2 π(c)u(x)xu(x)u(x)cccccc= p′′ (xc )xc + 2p′ (xc ) =2 + ′′< 0,+2=2µµµu (xc )∂xcкоторое в терминахr f (·) может быть переписано в следующем виде:ru′ (xc ) < 2(2.10)Данное условие означает, что при оптимальных ценах функция спро­са, определяемая условием (2.4) не должна быть слишком выпуклой.Используя условие (2.8) оптимальная операционная прибыль в тер­минах rlv может быть записана так:π(c) =ru (xc )cLxc1 − ru (xc )(2.11)Как и в статье Лукаса [128], индивиды выбирают предприниматель­скую деятельность, если она приносит им больший доход, чем работа понайму.

Индивид типадивидаĉ,и в случаеcсравнивает свой тип с типом безразличного ин­c ≤ ĉстановится предпринимателем. Общее числопредпринимателей и, соответственно, число фирм, таким образом равноN ≡ LΓ(ĉ).Формально, условие безразличия может быть записано следу­ющим образом:π(ĉ) = w ≡ 1⇔ru (xĉ )ĉLxĉ = 1.1 − ru (xĉ )(2.12)Данное условие позволяет получить равновесное значение разделя­ющего типаĉ,которое тоже является некоторой рыночной статистикой,которую индивиды принимают во внимание, выбирая вид своей деятель­ности: быть предпринимателем или наемным рабочим. Чем больше дан­ное значение, тем больше доля предпринимателей и их общее число, азначит – выше диверсификация современного сектора.

Неоднозначностьмежду диверсификацией рынка (большое значениеĉ– большее разнооб­разие потребляемых разновидностей) и индивидуальным потреблением81(меньшее значениеĉ – больший объем потребления) является ключевымфактором, определяющем то, как меняется доля предпринимателей приизменении размера рынка. Конечно, данная неоднозначность существен­но зависит от вида потребительских предпочтений.2.1.4. Способность к предпринимательству и эффективность фирмыВ этом разделе я анализирую равновесные значения цен, выпускови прибылей фирм по отношению к предпринимательским способностяморганизовавших их предпринимателей. Естественно ожидать, что болееспособные индивиды будут организовывать более эффективные фирмы,которые будут устанавливать меньшие цены на свою продукцию, произ­водить больший выпуск и получать большую прибыль.

Однако, связь сустанавливаемой наценкой не однозначна – более продуктивные фирмымогут устанавливать большую или меньшую наценку, чем менее эффек­тивные фирмы в зависимости от спецификации функции полезности.Например, в работах [25, 132] более продуктивные фирмы делают боль­шую наценку на свою продукцию, причем эта наценка тем меньше, чембольше размер рынка. Напротив, в случае предпочтений с возрастающейэластичностью замещения наценка тем выше, чем больше размер рынка(см.

например [38, 173]).Обозначим для удобства и сокращения записиπc ≡ π(c).В этихобозначениях можно доказать следующий результат.Утверждение 2.1. (Предпринимательские способности и эффективностьфирм) Рассмотрим двух предпринимателей со способностямиc1 < c2 . То­гда более способный предприниматель, то есть – первый, организует фир­му, которая 1) производит больший выпускменьшую ценуLxc1 > Lxc1 ,2) устанавливаетp(xc1 ) < p(xc2 ), 3) получает большую прибыль πc1 > πc2 . На­ценка первой фирмы выше, чем у второй, если функцияru (·) убывающая, и ниже, чем у второй в противоположном случае.Доказательство.

приведено в Приложении 1.82Содержательно, данное утверждение следует из того факта, что пре­дельные издержки фирмы, организованной индивидом с большими пред­принимательскими способностями, ниже. Это позволяет фирме устано­вить меньшую цену на ее продукцию. Поскольку потребительские пред­почтения симметричны относительно разновидностей, то спрос на болеедешевую разновидность выше, что приводит к большему индивидуаль­ному потреблению, и соответственно – к большему выпуску. Посколь­ку эластичность спроса на любую разновидность меньше единицы, какотмечалось выше, то больший выпуск приводит к большей выручке:[︀]︀ℰ x p(x)xL = 1 − ru (x) > 0.Наценка же, однако, может быть возраста­ющей или убывающей функцией выпуска в зависимости от свойствru (·).Иначе говоря, установит ли более продуктивная фирма наценку вышеили ниже, чем низкопродуктивная фирма, будет зависеть от потреби­тельских предпочтений.

Характеристики

Список файлов диссертации