Диссертация (1137765), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Остаѐтся выработать подходк получению собственных значений.Нопреждечем приступить крассмотрению способов получениясобственных значений обозначим две проблемы:– поскольку параметризующие функции в уравнении (5) не задаются априорно,невозможно вычислить собственные значения из задачи Штурма – Лиувилля дажепри известной весовой функции w(x,y) = W(x,y), полученной экзогенно поотношению к уравнению Штурма – Лиувилля (15);– собственные значения α из формализма Пригожина (9), мы не можемиспользовать при разложении функции выплат в формализме (7), посколькууравнение Пригожина описывает прямую эволюцию, а для оценки деривативовтребуется обратная эволюция.В этой связи, возможны шесть способов получения собственных значений λ.40Первый способ. Двумерное уравнение Штурма – Лиувилля (15) являетсяуравнением Эйлера – Лагранжа для функционала:, ()-∑∬[ (() ()()() ()())()(16)]Здесь и в формализмах ниже ( ) – базисные функции, построенные на степенных моментахфункции плотности W(x,y), служащей решением уравнения Пригожина (9).Ставится вариационная задача на поиск функций() и().
ВПриложении В рассматривается применение метода Ритца для решенияуравнения Пригожина (9). Данный подход может быть также использован и вотношении вариационной задачи на поиск функций, которые дают минимумфункционалу (16).(Получив функции)и() , определим собственные значения λ изформализма (7) следующим образом:∬[ (() ()()() ()) ](17)Второй способ. Заменим в формализме (16) символьный вид собственногозначения β на выражение:∬[ (() ()()) (()) ](18)Получим следующий функционал:, ()-∑∬* ()()() ∬ ()+(19)где:()() (())() (())Также как и в первом способе, ставится вариационная задача на поискфункций() и() ,которые дают минимум функционалу (19).Собственные значения λ из формализма (7) определяются по формуле (17).41Во втором способе, в отличие от первого, решением вариационной задачи(служит только одна пара функций)и(), поскольку в формализме (19)отсутствует β, что, вообще говоря, облегчает решение.(Третий способ.
Ставится вариационная задача на поиск функций(, ()и), которые дают минимум функционалу:)-∑∬ *( (()))( (()))()()(20)+Как видно из формализма (20), задача заключается в минимизации нормы,подынтегральное выражение – квадрат оператора Штурма – Лиувилля (15).(Получив функции)и() , определим собственные значения λ изформализма (7) по формуле (17).Четвѐртыйспособ.Заменимвформализме(20)символьныйвидсобственного значения β на выражение (18).
Получим следующий функционал:, ()-∑∬*∬ (( ())+())( ()())()()(21)где:()() (())() (())Также как и в третьем способе, задача заключается в минимизации нормы.С учѐтом полученных из решения вариационной задачи функций()и(),которые дают минимум функционалу (21), собственные значения λ изформализма (7) определяются по формуле (17).Пятыйспособ.Оценкасобственныхзначенийпроизводитсяпоквантильным точкам (в двумерном случае – узлам двумерной сетки). Сами узлыложатся равномерно в смысле отсекаемого объѐма.
Но, поскольку, распределениев общем случае асимметрично, то значения этих узлов на осях ОХ и ОY необязаны располагаться на одинаковом расстоянии друг от друга. Затем строитсявырожденное ядро, берѐтся матрица его значений в узлах двумерной сетки. В42качестве собственных значений λ из формализма (7) принимаются собственныезначения такой матрицы.Шестой способ. Строятся вырожденное ядро и матрица его значений.Элементами матрицы служат двойные интегралы попарных произведенийбазисных функций γ(x,y), полученных с помощью подхода Гамбургера наопределителях матриц Ганкеля степенных моментов функции плотностивероятности w(x,y) (см.
параграф 2.1 и Приложение Г), в области V:∬[ ()()](22)В качестве собственных значений λ из формализма (7) принимаютсясобственные значения такой матрицы.В каждом из шести способов обеспечивается монотонность спектрасобственных значений, что соответствует максиминному принципу Р.
Куранта(теореме Куранта).Для обеспечения состоятельности решения по отношению к полученнымэкзогенно (на основе функции плотности из уравнения Пригожина) базиснымфункциям γ(x,y), и в то же время меньшей громоздкости формальных выкладок, внашем исследовании используется шестой способ получения собственныхзначений. Иначе говоря, спектральные значения получаются как собственныезначения матрицы, элементы которой – попарные произведения базисныхфункций γ(x,y), т.е. двойные интегралы.2.3Разложениефункциивыплатиожидаемаястоимостьструктурированного деривативаНаряду с функцией плотности w(x,y), базисными функциями γ(x,y) исобственными значениями λ в формализме (7), позволяющем вычислятьсправедливую стоимость F(x,y,t) сложного финансового продукта, присутствуютвеса, которые определяются в виде коэффициентов разложения функциивыплат Φ(x,y) по базису в соответствующей области интегрирования:43∫∫где,()()()(23), a, b – определены выше, см.
(7).Функция выплат структурированных деривативов, зависящих от двухслучайных процессов, определяет финансовый результат по сделке в моментисполнения контракта и представляет собой функцию двух переменных x и y.Например:(){()(())где K – цена исполнения по продукту.Область интегрирования в (23) определяется профилем исполненияконтракта. В этой связи, двойной интеграл в (23), вообще говоря, может быть спеременной областью интегрирования, либо же с переменными верхним инижним пределами интегрирования по каждой из переменных.
Примеромсложной спецификации структурированного дериватива, требующей заданияпеременной области интегрирования, служит наличие различных условий кмоменту T исполнения контракта:∑()∑()где Λ – «целевой» страйк по сложному финансовому продукту; – «включающая» величина(накопленная разница между текущим спотовым значением превышения финансовойпеременной y над финансовой переменной x и «целевым» страйком);– «выключающая»величина (накопленная разница между текущим спотовым значением превышения финансовойпеременной y над финансовой переменной x и «целевым» страйком); – момент истечениясрока действия контракта.То есть контракт может быть исполнен:– в моменты времени T, когда накопленная разница между текущим спотовымзначением превышения финансовой переменной y над финансовой переменной xи «целевым» страйком находится в интервале [ ;– в момент истечения срока действия контракта η.);44Подчеркнѐм, что именно веса(23) в формализме (7) зависят отспецификации функции выплат Φ(x,y) и профиля исполнения структурированногодериватива.
Другими словами, выбор функции выплат сложного финансовогопродукта и постановка дополнительных (конечного или конечного и граничных)условий задачи оказывают влияние на значения весов, а значит, и на оценкусправедливой стоимости продукта.С учѐтом установленных в формализме (7) функции плотности w(x,y),базисных функций γ(x,y), собственных значений λ, весови заданной областиинтегрированиядвухполучаемискомуюфункциюF(x,y,t)финансовыхпеременных x и y, описывающих динамику рыночных цен базовых активов,котораяопределяетэволюциювовремениравновеснойстоимостиструктурированного дериватива.Подставляя значения финансовых переменных x и y (т.е.
рыночныекотировки базовых активов) в момент времени t в функцию F(x,y,t), получаемсправедливую стоимость сложного финансового продукта в момент времени t.Сделаем важное замечание. Мы предполагаем, что финансовые рынкихарактеризуются состоянием неполной информационной эффективности, чтоозначает временную задержку в обработке данных участниками рынков, а,следовательно, отложенную реакцию цен на поступающую информацию.Цены сложных финансовых продуктов зависят от цен базовых активов.Формирование последних предшествует формированию первых. Это служитестественной предпосылкой для прогнозирования цен сложных продуктов спомощью предложенного теоретического подхода к их аналитической оценке.Подставляя значения котировок базовых активов в момент t в функцию F(x,y,t),получаем цену структурированного дериватива в некоторый момент t+ε, с учѐтомвременной задержки в обработке данных участниками рынка.Предпримем ещѐ два небольших отступления.
В контексте теории поля рольбазисных функций, помноженных на соответствующие им веса(за которыми,ещѐ раз подчеркнѐм, стоят дополнительные условия, функция выплат), выполняетотношение частных производных по правым частям уравнений движения к45функции, служащей решением уравнения Риккати (А.7). Заметим, что куравнению Риккати (А.7) мы приходим на определѐнном этапе решенияуравнения Гамильтона – Якоби (А.2) для уравнения Дынкина (5) послеразделения переменных. В Приложении А, при рассмотрении связи междууравнением Дынкина и уравнением Пригожина, данное отношение представленофункцией Θ(x,y).Как функция – решение уравнения Риккати (А.7) определяет поле(совокупность согласованных между собой дополнительных условий) уравненияДынкина, так и веса, определяемые в виде коэффициентов разложенияфункции выплат, основаны на дополнительных (конечном или конечном играничных) условиях, которые задают область интегрирования в формализме (23).Второеотступление.Важноподчеркнуть,чтофункцияплотностивероятности w(x,y), базисные функции γ(x,y) и собственные значения λопределяются экзогенно по отношению к уравнению Дынкина (5).
С учѐтомустановленной взаимосвязи между уравнением Дынкина (5) и Пригожина (8),обеспечиваетсявозможностьмгновенной диффузии(),((получения),(обширногосемействафункций) и функций мгновенного смещения) из решения уравнения Дынкина при априорно заданных функцииплотности вероятности, базисных функций и собственных значений. Для этогостроится система уравнений Эйлера и решается методом коллокации.В завершение второй главы определим теоретическую цену существующегона рынке структурированного дериватива, в основе которого лежат два базовыхактива, с помощью:– предложенного нами подхода;– рассмотренных в параграфе 1.3 модификаций модели Блэка – Шоулза.Отметим, что сделки со сложными финансовыми продуктами совершаютсяна внебиржевом рынке.
Инвестиционные банки и управляющие компании нераскрывают их ценообразование. Соответственно, у провайдеров финансовойинформации, в частности агентства Bloomberg [122], отсутствуют данные потекущим и историческим ценам структурированных продуктов. Существуют46лишь встроенные функции Bloomberg (например, OVML, OVME) для расчѐтатеоретических цен.
Однако все они, по сути, основаны на модификациях моделиБлэка – Шоулза.Тем не менее, мы располагаем информацией об очищенных от банковскоймаржи ценах реальных сделок со структурированным деривативом одного изкрупнейших швейцарских финансовых конгломератов.Коль скоро каждый банк использует свою методику ценообразования ибиржевые котировки отсутствуют, то расчѐт теоретической стоимости продукта спомощью предложенного нами подхода и модификаций модели Блэка – Шоулзапредставляет собой реконструкцию банковского метода оценки, а не эмпирики вканоническом смысле (когда речь идѐт об определении справедливых ценликвидных стандартизированных биржевых инструментов).Эмпирические данные по сделкам со структурированными деривативамиесть результат применения вполне определѐнных банковских моделей оценки.Сравнивая полученные разными способами теоретические цены с эмпирикой, мыбудем говорить не о степени точности теоретических оценок по отношению кнаблюдаемым на рынке премиям, а о знаке матожидания разницы между ними.Важно подчеркнуть, что в целях такого сравнения эмпирические данные должныбыть очищены от маржи банка, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
