Диссертация (1137765), страница 7
Текст из файла (страница 7)
ниже).В научной литературе по теории динамических систем [11–14;38] это однаиз типичных нелинейностей среди возможных правых частей уравненийдвижения, которая даѐт информацию о широком классе объектов. Именно она ибыла нами выбрана для описания ценовых процессов, будучи качественносхожими с природными.В дополнение к рассматриваемой в Приложении А связи между уравнениемПригожина и уравнением Дынкина в контексте теории поля, в Приложении Бприводится обоснование выбора уравнения Пригожина (а не, например, Фоккера– Планка, решением которого также служит функция плотности вероятности икоторое сопряжено с уравнением Дынкина) с точки зрения современной теориидинамических систем. Предлагаются также принципы, которыми следуетруководствоваться при выборе динамической системы.Параметры c, d, m, q, u, v динамической системы (10) определяютсячисленно по рыночным котировкам базовых активов, формирующих сложныйфинансовый продукт (финансовые переменные x и y в формализме (10)описывают динамику рыночных цен базовых активов).
Для этого можновоспользоваться методом построения проекции на центральное многообразие[13], преобразованием подобия и процедурой минимизации среднеквадратичнойошибки [9] (на конечном числе точек, представляющих собой переоценки иуточнения с учѐтом вновь доступной на рынке информации).Посленеоднородноеустановкиправыхдифференциальноечастейуравненийуравнениедвижения,Пригожина(9)срешаетсячастнымипроизводными первого порядка с двумя переменными (между которыми34существуют нетривиальные связи) в отношении функции плотности w(x,y) СНАРвероятностей двумерной случайной величины.В Приложении В подробно рассматривается подход к решению.
Заметим,что построить аналитическое (в смысле, нечисленное) решение уравнения (9) свыбранными правыми частями уравнений движения (10) не представляетсявозможным. В этой связи, а также ввиду необходимости решения задачи особственных значениях и собственных функциях (аналогично по смыслу задачеШтурма – Лиувилля), ставится вариационная задача на поиск минимумафункционала, являющегося функцией – решением исходного дифференциальногоуравнения (9).
Для этого применяются так называемые прямые методы (внастоящем исследовании – метод Ритца), которые позволяют при заданныхкраевых естественных условиях (Feller’s boundary classification [36;37]) получатьчисленное решение уравнения (9).Получив из решения уравнения Пригожина (9) функцию плотности w(x,y)СНАР вероятностей двумерной случайной величины, перейдѐм к построениюбазисных функций γ(x,y) на еѐ степенных моментах.Базис отвечает за динамику ценового процесса во времени. Соответственно,разложение функции выплат по базису (о чѐм пойдѐт речь в параграфе 2.3) изаставляет эволюционировать равновесную (справедливую) стоимость продуктаво времени.В связи с этим следует сделать одно важное замечание.
В зависимости отвыбранного базиса функция выплат будет эволюционировать по-разному.Другими словами, базис оказывает влияние на теоретическое справедливоеценообразование структурированного дериватива.Покажем на условном примере влияние двух различных базисов напредставление одной и той же дифференциальной функции распределения(плотности вероятности), служащей решением уравнения Фоккера – Планка, вовремени (рисунок 4).35Эволюция плотности вероятности вовремени (базис: ортонормированныемногочлены Эрмита)Эволюция плотности вероятности вовремени (базис: классическиеортонормированные многочлены, весоваяфункция – гауссовская функцияплотности)На оси аппликат – значения функции плотности вероятности p(x,t) при данном значениислучайной величины (x) в момент времени (t).
На оси абсцисс – значения случайнойвеличины (x пробегает значения от 0 до 1 с шагом 0,01). На оси ординат – моментывремени (t пробегает значения от 0 до 1 с шагом 0,01).Hermite_evolutionGaussian_evolutionРисунок 4 – Эволюция во времени дифференциальной функции распределения(плотности вероятности), служащей решением уравнения Фоккера – Планка,которая разложена по четырѐм ортонормированным полиномам в двух различныхбазисахИсточник: разработано авторомТаким образом, в зависимости от выбранного базиса, функция плотностивероятностиэволюционируетпо-разному.Подчеркнѐм,чтоэволюциясправедливой стоимости производного финансового инструмента, в том числеструктурированного, зависит от выбранного базиса, по которому раскладываетсяфункция выплат.Второй важной особенностью предлагаемого теоретического подхода каналитическойструктурированныхоценкеравновеснойдеривативовявляется(справедливой)построениебазисныхстоимостифункций(системы ортонормированных по двум переменным полиномов, т.е.
базиса) γ(x,y)при помощи модифицированного (адаптированного под функции несколькихпеременных) оператора, который основан на определителях матриц Ганкеля36((подходе Гамбургера) степенных моментов) весовой функции (функцииплотности вероятности) w(x,y):()∬()(11)где Γ – верхняя граница области интегрирования, соответствующая верхней границе областиопределения весовой функции, рассматриваемой как функции плотности СНАР вероятностейдвумерной случайной величины (т.е.
верхняя граница области интегрирования, в которой объѐмпод поверхностью весовой функции равен единице).Формула для ортонормированных многочленов записывается в виде:()(√)(12)(при k = 0 под знаком корня имеем:), где (значения степенныхмоментов из формализма (11) обозначены как M):||()||||((13);|.|)(14)Каждая базисная функция имеет степень n, но при этом устроена по-своему,поскольку*содержитсвоѐуникальноечислоодночленоввида+. Таким образом, нарушается симметрия во всѐм множествемногочленов. Это значит, что при последующем разложении функции выплат (7)минуется «ловушка», когда вместо более точной (и с высокой надѐжностью)теоретической цены продукта на двумерный случайный процесс получаетсясумматеоретическихценсоставныхчастейпродукта,основанныхнасоответствующих одномерных случайных процессах с одинаковым ожиданием xи y.
В Приложении Г подробно разбираются формализмы (11) – (14).Полученная система ортонормированных по двум переменным полиномовγ(x,y) служит базисом линейного пространства, который обеспечивает эволюцию37вовременитеоретическойравновесной(справедливой)стоимостиструктурированного дериватива.Базис позволяет построить вырожденное ядро для получения спектрасобственных значений λ, которые отвечают за скорость и направление изменениятеоретической равновесной (справедливой) стоимости сложного продукта вформализме (7). В следующем параграфе рассматриваются способы получениясобственных значений.2.2 Способы получения собственных значений, определяющих скоростьи направление изменения ожидаемой стоимости структурированногодеривативаВ формализме (7), определяющем эволюцию во времени теоретическойравновесной(справедливой)стоимостисложногофинансовогопродукта,присутствуют собственные значения λ, которые соответствуют базиснымфункциямγ(x,y).Собственныезначенияврассматриваемомконтекстеопределяют скорость и направление изменения коэффициентов разложения, азначит, и самой равновесной стоимости структурированного дериватива.Стандартныйобщийподходкполучениюсобственныхзначенийзаключается в том, что уравнение Дынкина (5) после разделения переменныхприводится к двумерному обобщению уравнения Штурма – Лиувилля:( (()))( ()())()()(15)где ( ) – собственная функция, определяющая теоретическую равновесную (справедливую))стоимость сложного продукта (после разделения переменных в (5): (( ) ( )), свесовой функцией W(x,y), рассматриваемой как функция плотности вероятности; β –собственное значение, соответствующее функции H(x,y).В уравнении (15) функцииследующим образом:()()()()() ,() и W(x,y)определяются38(()()()())где:()∬()∬(),(()(())(),)(),() – определены в (5).Решается задача Штурма – Лиувилля в отношении собственных значений βи соответствующих им собственных функций H(x,y).
Для этого задаютсяпараметризующиефункции (функции мгновенной диффузии и функциимгновенного смещения).Формула Родрига (Rodrigues's formula) позволяет получить собственныезначения β и соответствующие им собственные функции H(x,y) задачи Штурма –Лиувилля (15), которые формируют вместе с весовой функцией W(x,y) полныйортогональный базис гильбертова пространства.Поскольку мы представляем общее решение уравнения (5) в видеразложения по базисным функциям, то для обеспечения его близости к искомойфункции F(x,y,t), базис должен быть ортонормированным.Если собственные функции H(x,y), полученные по формуле Родрига, ужеявляются ортонормированными с весовой W(x,y), то мы их вправе использовать вформализме (7) в качестве базисных функций γ(x,y) 8. В таком случае собственныезначения λ из формализма (7) тождественны собственным значениям β.Если же собственные функции H(x,y) не являются ортонормированными, тодля решения данной проблемы можно воспользоваться ортонормировкой поГраму – Шмидту, либо же построить базисные функции на моментах полученнойвесовой функции W(x,y), рассматриваемой как функция плотности вероятности.
Впоследнем случае, полученные многочлены уже не будут служить частными8Поскольку формула Родрига относится к классическим многочленам, то динамическаясистема и весовая функция выбираются такими, чтобы построенный на них базис оказалсяобобщением классического полиномиального.39решениями исходной задачи (15). Однако они могут являться решениямиуравнения Штурма – Лиувилля (15) с отличными от первоначальной постановкизадачи (5) спецификациями параметризующих функций. И, таким образом,полученные базисные функции можно считать наилучшим приближением ксобственным функциям задачи Штурма – Лиувилля (15).
Собственные значения β,при этом, остаются тождественными собственным значениям λ из формализма(7).Однаизособенностейаналитическойоценкепредлагаемоготеоретическогоравновесной(справедливой)подходакстоимостиструктурированных деривативов заключается в том, что параметризующиефункции в (5) не задаются априорно.Основываясь на установленной связи между уравнением Дынкина иуравнением Пригожина в контексте теории поля (см. параграф 2.1 и ПриложениеА), мы вправе отождествить весовую функцию W(x,y) и функцию плотностиw(x,y), которая служит решением уравнения Пригожина (9). В этой связи,построенныенастепенныхмоментахфункцииплотностиw(x,y)ортонормированные полиномы γ(x,y) тождественны собственным функциямH(x,y) инфинитезимального оператора Дынкина (5).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
